Числовые промежутки
Разберемся, что такое числовые промежутки, какими они бывают, как их записывать и изображать на координатной прямой, а также научимся находить объединение и пересечение промежутков
Когда мы решаем неравенство, ответом часто становится не одно число, а целый набор значений. Например, выражение x > 2 означает, что переменная может принимать любое значение больше двух: 3, 3.5, 4, 10, 1000 и бесконечно много других чисел.
Чтобы удобно записывать такие множества, в математике используют числовые промежутки. Они помогают коротко и точно показать, какие числа входят в ответ, где находятся границы и включаются ли они в решение.
Вместе с преподавателем математики и программирования Артемом Островским разберем, что такое числовые промежутки, чем отличаются интервал, отрезок, полуинтервал и луч, а также научимся находить объединение и пересечение промежутков.
Что такое числовые промежутки в математике
Числовой промежуток — это множество чисел, расположенных между двумя границами или по одну сторону от заданного числа на координатной прямой.
Проще говоря, числовой промежуток показывает, какие значения может принимать переменная. Он может быть ограничен с двух сторон, как отрезок от 4 до 9, а может продолжаться бесконечно, например все числа больше 5.
Числовые промежутки часто используют при записи решений неравенств. Например, x > 5 можно записать в виде промежутка: x ∈ (5; +∞). Эта запись читается так: «икс принадлежит промежутку от 5 до плюс бесконечности». Число 5 в него не входит, потому что знак неравенства строгий.
Если же дано неравенство: x ≥ 5, то ответ будет другим: x ∈ [5; +∞). В этом случае число 5 входит в промежуток, поэтому используется квадратная скобка.
Чтобы не путаться, важно помнить главное правило: круглая скобка означает, что граница не входит в промежуток, а квадратная — что входит.
При изображении числовых промежутков на координатной прямой используют несколько условных обозначений:
- пустая точка — число не входит в промежуток;
- закрашенная точка — число входит в промежуток;
- стрелка — промежуток продолжается бесконечно.
Тема числовых промежутков изучается в школьном курсе алгебры и рассматривается в учебниках, входящих в федеральный перечень.1
Полезная информация о числовых промежутках
Перед тем как перейти к видам числовых промежутков, рассмотрим основные обозначения и правила их записи. Самую важную информацию собрали в таблице.
| Характеристики числовых промежутков | Описание |
|---|---|
| Определение | Множество чисел, расположенных между двумя границами или по одну сторону от заданного числа |
| Основное применение | Запись решений неравенств и систем неравенств |
| Обозначение принадлежности | x ∈ (a; b) |
| Круглая скобка ( ) | Граница не входит в промежуток |
| Квадратная скобка [ ] | Граница входит в промежуток |
| Символ ∞ | Обозначает бесконечность и никогда не считается числом |
| Основные виды | Интервал, полуинтервал, отрезок, луч, вся числовая прямая |
| Изображение на координатной прямой | Используют пустые и закрашенные точки, а также стрелки для бесконечных промежутков |
Изучение числовых промежутков предусмотрено федеральной рабочей программой по математике и является основой для решения неравенств и их систем.2
это интересно
Рациональные числа
Что такое рациональные числа и как используются в алгебраических выражениях и уравнениях
Подробнее
Виды числовых промежутков
В математике используют несколько видов числовых промежутков. Они отличаются тем, входят ли граничные точки в промежуток и ограничен ли промежуток с одной или с двух сторон. Рассмотрим каждый вид подробнее.
Интервал
Интервал — это числовой промежуток, в который входят все числа между двумя границами, но сами границы не входят.
Интервал записывают так:
(a; b)
Ему соответствует неравенство:
a < x < b
Например, промежуток (2; 6) содержит все числа больше 2 и меньше 6.
Полуинтервал
Полуинтервал — это числовой промежуток, у которого одна граница входит в промежуток, а другая не входит.
Полуинтервал может записываться двумя способами:
[a; b) или (a; b]
Им соответствуют неравенства:
a ≤ x < b или a < x ≤ b
Например, промежуток [1; 5) содержит все числа от 1 включительно до 5 не включительно.
Отрезок
Отрезок — это числовой промежуток, в который входят все числа между двумя границами, включая сами границы.
Отрезок записывают так:
[a; b]
Ему соответствует неравенство:
a ≤ x ≤ b
Например, промежуток [3; 8] содержит все числа от 3 до 8 включительно.
Луч
Луч — это числовой промежуток, который имеет одну границу и продолжается бесконечно в одну сторону.
Луч может быть направлен вправо:
(a; +∞) — соответствует неравенству x > a;
[a; +∞) — соответствует неравенству x ≥ a.
Или влево:
(-∞; a) — соответствует неравенству x < a;
(-∞; a] — соответствует неравенству x ≤ a.
Например, промежуток [4; +∞) содержит все числа, которые больше или равны 4.
Бесконечный промежуток
Бесконечный промежуток — это числовой промежуток, который не ограничен хотя бы с одной стороны.
К бесконечным промежуткам относятся лучи, а также вся числовая прямая.
Вся числовая прямая записывается так:
(-∞; +∞)
Она соответствует множеству всех действительных чисел.
Важно помнить, что бесконечность не является числом, поэтому рядом с символами −∞ и +∞ всегда ставят только круглые скобки.
Объединение и пересечение числовых промежутков
При решении неравенств и их систем часто приходится работать сразу с несколькими числовыми промежутками. В таких случаях используют операции объединения и пересечения промежутков.
Объединение числовых промежутков — это множество всех чисел, которые принадлежат хотя бы одному из данных промежутков.
Объединение обозначают знаком ∪.
Например, даны промежутки (-∞; 2) и [5; +∞).
Их объединение записывают так: (-∞; 2) ∪ [5; +∞).
В результате получаются все числа, которые меньше 2 или больше либо равны 5.
Пересечение числовых промежутков — это множество чисел, которые одновременно принадлежат каждому из данных промежутков.
Пересечение обозначают знаком ∩.
Например, даны промежутки [1; 5] и (3; 7).
Их общей частью являются все числа больше 3 и не превышающие 5.
Следовательно, [1; 5] ∩ (3; 7) = (3; 5].
Если у промежутков нет общих чисел, их пересечение называют пустым множеством и обозначают символом ∅.
Например, (-∞; 0) ∩ [2; +∞) = ∅.
Задачи по теме «Числовые промежутки»
После знакомства с основными видами числовых промежутков попробуйте решить несколько задач. Они помогут научиться записывать промежутки, определять их вид и выполнять операции объединения и пересечения.
Задача 1
Запишите неравенство −3 ≤ x < 5 в виде числового промежутка.
Решение и ответ к задаче 1
Левая граница входит в промежуток, поэтому используем квадратную скобку. Правая граница не входит, так как неравенство строгое, поэтому ставим круглую скобку. Соответственно, x ∈ [−3; 5).
Ответ: x ∈ [−3; 5)
Задача 2
Определите вид числового промежутка (2; 8].
Решение и ответ к задаче 2
Левая граница не входит в промежуток, а правая входит. Такой промежуток называется полуинтервалом.
Ответ: полуинтервал
Задача 3
Найдите пересечение промежутков [1; 7] и (4; 10).
Решение и ответ к задаче 3
Пересечение состоит только из тех чисел, которые одновременно принадлежат обоим промежуткам. Общая часть начинается сразу после числа 4 и заканчивается числом 7, которое входит в оба промежутка.
Ответ: (4; 7]
Популярные вопросы и ответы
Отвечает Артем Островский, преподаватель курсов программирования и машинного обучения Московского физико-технического института:
Что означают круглые и квадратные скобки в записи числовых промежутков?
Скобки показывают, включается ли граничное значение в множество решений. Если число удовлетворяет условию и должно входить в промежуток, используют квадратную скобку. Если же граничное значение не является решением, ставят круглую скобку. Это правило напрямую связано со знаками неравенства: при знаках ≤ и ≥ граница включается, а при < и > — нет. На практике ошибки чаще всего возникают не при решении самого неравенства, а именно на этапе записи ответа. Поэтому после получения решения полезно еще раз проверить, должны ли крайние точки входить в промежуток. Такая проверка занимает всего несколько секунд, но помогает избежать одной из самых распространенных ошибок.
Чем интервал отличается от отрезка?
Оба понятия описывают множество чисел, расположенных между двумя границами, однако отличаются отношением к крайним точкам. Интервал включает только числа, находящиеся строго между границами, поэтому его записывают с помощью круглых скобок. Отрезок, наоборот, содержит и все внутренние значения, и обе границы, поэтому для записи используют квадратные скобки. На координатной прямой это различие также хорошо видно: у интервала крайние точки остаются незакрашенными, а у отрезка — закрашиваются. При решении неравенств именно вид скобок показывает, соответствует ли граничное значение условию задачи.
Почему тему «Числовые промежутки» изучают в 8–9 классах?
К этому времени школьники уже знакомы с координатной прямой, умеют сравнивать числа и переходят к изучению линейных и квадратных неравенств. Именно на этом этапе возникает необходимость записывать не отдельные числа, а целые множества решений. Интервальная запись позволяет сделать это компактно и понятно. Кроме того, тема становится основой для многих следующих разделов школьной математики. Без уверенного понимания числовых промежутков сложно изучать системы неравенств, области определения функций, а также многие задания, которые встречаются в старших классах. Поэтому эта тема является не самостоятельной, а связующим звеном между несколькими важными разделами курса алгебры.
В каких заданиях ОГЭ и ЕГЭ встречаются числовые промежутки?
В экзаменационных вариантах числовые промежутки редко становятся самостоятельной темой задания. Гораздо чаще они используются как удобный способ записи ответа при решении других задач. Например, интервальная запись необходима при решении линейных и квадратных неравенств, систем неравенств, а также при нахождении области допустимых значений выражений и исследовании функций. На ОГЭ важно правильно определить, какие значения подходят условию, и корректно записать полученный промежуток. На ЕГЭ этот навык используется еще шире, поскольку многие задания требуют анализа нескольких условий одновременно и последующего нахождения объединения или пересечения промежутков. Поэтому уверенное владение этой темой помогает не только правильно оформить ответ, но и быстрее выполнять более сложные задания.
Тема числовых промежутков регулярно встречается в заданиях ОГЭ и ЕГЭ по математике, представленных в открытом банке заданий ФИПИ.3
Тема числовых промежутков регулярно встречается в заданиях ОГЭ и ЕГЭ по математике, представленных в открытом банке заданий ФИПИ.3
5 тем по алгебре, при изучении которых используются числовые промежутки
- Линейная функция: как определять промежутки возрастания, убывания, положительных и отрицательных значений функции
- Квадратичная функция: как исследовать график параболы и находить промежутки знакопостоянства функции
- Рациональные неравенства: как находить множество решений и записывать ответ в виде числовых промежутков
- Показательные неравенства: как решать неравенства с показательной функцией и правильно записывать множество решений
- Производная: как исследовать функцию и находить промежутки возрастания, убывания и экстремумы
Источники
Статья подготовлена в соответствии с официальными документами и рекомендациями:
1. Министерство просвещения России. Федеральный перечень учебников. URL: https://fpu.edu.ru/
- Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И. и другие. «Алгебра. 8 класс. Базовый уровень.»
- Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И. и другие. «Алгебра. 9 класс. Базовый уровень.»
- Мерзляк А. Г., Полонский В. Б., Якир М. С. «Алгебра. 8 класс. Базовый уровень»
- Мерзляк А. Г., Полонский В. Б., Якир М. С. «Алгебра. 9 класс. Базовый уровень»
2. Министерство просвещения России. Федеральная рабочая программа по учебному предмету «Математика». URL: https://static.edsoo.ru/projects/fop/index.html#/sections/200215
3. Федеральный институт педагогических измерений. Открытый банк заданий ОГЭ и ЕГЭ по математике. Методические рекомендации для учителей. URL: https://fipi.ru/
