Дискриминант
Решать квадратные уравнения можно разными способами. В этой статье узнаем, что такое дискриминант, и научимся решать квадратные уравнения по формуле c помощью дискриминанта
Уравнение вида ax2 + bx + c = 0 (х — переменная; а, b, с — действительные числа, или коэффициенты; а не равно 0) называют квадратным уравнением.
Решить уравнение — значит найти все его корни или доказать, что их нет. Способов решить квадратное уравнение много:
- выделение полного квадрата;
- по формуле дискриминанта;
- по формулам теоремы Виета;
- разложение квадратного трехчлена на множители;
- графический и другие.
При выполнении задания можно выбрать для себя любой способ, но, как показывает практика, наиболее востребованными являются формулы теоремы Виета и формулы корней квадратного уравнения.
Что такое дискриминант в алгебре
Дискриминант — это многочлен, составленный из коэффициентов квадратного трехчлена, с помощью которого можно определить, сколько корней имеет данное уравнение, и найти их.
Полезная информация о дискриминанте
| Дискриминант при чтении графика квадратичной функции | В зависимости от того, чему равен дискриминант, можно узнать, есть ли точки пересечения графика квадратичной функции с осью Ох: • D > 0, две точки пересечения; • D = 0, одна точка пересечения; • D < 0, точек пересечения нет, т.е. график не пересекает ось Ох |
| Биквадратное уравнение | Формула дискриминанта используется при решении биквадратного уравнения ax4 + bx2 + c = 0, которое сводится к решению квадратного уравнения, путем введения новой переменной. |
| Формула корней квадратного уравнения при четном коэффициенте b | ax2 + bx + c = 0, если b — четное число m = b/2, ax2 + 2mx + c = 0, то в этом случае можно применить следующие формулы (см. ниже) |
\(\frac D4\;=\;m^2\;–\;ac,\;\\x_1\;=\;\;\frac{-m-\;\sqrt{\;m^2\;–\;ac}}a;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\\x_2\;=\;\frac{-m+\;\sqrt{m^2\;–\;ac}}a.\)
Формула дискриминанта
Дискриминант квадратного трехчлена ax2 + bx + c равен D = b2– 4ac
Решение квадратных уравнений через дискриминант
Если дано уравнение вида ax2 + bx + c = 0, выполняем следующие шаги:
- Находим коэффициенты a=; b=; c=.
- Находим дискриминант по формуле D = b2– 4ac.
- Определяем знак дискриминанта, количество корней.
- Находим корни.
- Записываем ответ.
Корни, если дискриминант равен нулю
Если дискриминант (D = 0), то квадратное уравнение имеет один корень (вернее, два одинаковых корня):
\(\;x\;=\;\frac{-b}{2a}\;=\;-\frac b{2a}\)
это интересно
Разложение числа на простые множители
Преподаватель математики – об умножении простых чисел и разложении числа на простые множители
Подробнее
Корни, если дискриминант больше нуля
Если дискриминант больше нуля (D > 0), то квадратное уравнение имеет два корня:
\(x_1\;=\;\frac{-b-\sqrt D}{2a}\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;x_2\;=\;\frac{-b+\sqrt D}{2a}\)
Корни, если дискриминант меньше нуля
Если дискриминант меньше нуля (D < 0), то действительных корней нет.
Задачи и примеры по теме «Дискриминант»
Квадратные уравнения, а также задачи и различные задания, сводящиеся к их решению, занимают большой объем в школьном курсе не только алгебры, а также геометрии и других предметов. Умение решать квадратные уравнения очень востребованы на ОГЭ и ЕГЭ.
Решим несколько.
Задача 1
Решите квадратное уравнение x2 – x – 56 = 0.
Задача 2
При каком значении t уравнение 9х2– tx+1=0 имеет один корень?
Задача 3
Выберите правильный вариант ответа.
1. Чему равны коэффициенты в уравнении –3х2 + 4х – 2=0?
а) a = 4; b = 2; c = –3
б) a = –3; b = 4; c = – 2
в) a = 3; b = 4; c = 2
2. При каком значении дискриминанта квадратное уравнение не имеет корней?
а) D < 0
б) D > 0
в) D = 0
Ответы к задачам
Давайте посмотрим, как решаются задачи
Задача 1
Нам дано уравнение x2 – x – 56 = 0.
Решение:
ax2 + bx + c = 0
1x2 – 1x – 56 = 0
1. a =1; b = – 1; c = – 56
2. D = b2– 4ac D = (– 1)2 – 4 • 1 • (– 56) = 1 + 224 = 225
3. D = 225 > 0, два корня
4.
\(x_1\;=\;\frac{-b-\sqrt D\;}{2a}\;\;\;\;\;\;\;\;{x\;}_1=\;\frac{-(-1)-\sqrt{225}}{2\times1}=\frac{1-15}2=\frac{-14\;}2=–\;7\\\;x_2\;=\;\frac{-b+\sqrt D\;}{2a}\;\;\;\;\;\;\;x_2\;=\;\frac{-(-1)+\sqrt{225}}{2\times1}=\frac{1+15}2=\frac{16\;}2=\;8\)
Ответ: -7; 8
Задача 2
Квадратное уравнение имеет один корень, если дискриминант равен 0. Найдем его:
9х2– tx+1=0
a=9 ; b=-t ; c=1
D = b2– 4ac
D = (-t)2– 4 • 9 • 1 = t2– 36
По условию D = 0, значит
t2– 36 =0
t2=36
t1= – 6 или t2= 6
Проверка:
При t1= – 6
9х2–(– 6)x + 1=0
9х2+ 6x + 1=0
(3х + 1)2=0
3х + 1=0
\(х=-\frac13\)
При t2= 6
9х2– 6x+1=0
(3х – 1)2=0
3х – 1=0
\(х=\frac13\)
Ответ: при t1= – 6 или t2= 6 уравнение 9х2– tx+1=0 имеет один корень.
Задача 3
Правильные ответы:
- б) a = –3; b = 4; c = – 2
- а) D < 0
Популярные вопросы и ответы
Почему дискриминант изучают в 8 классе?
В 8 классе школьники знакомятся с понятием квадратного уравнения и способами его решения. Чтобы найти корни уравнения по формуле с использованием дискриминанта, необходимо знать, что такое арифметический квадратный корень, а с ним ребята знакомятся также в 8 классе.
Сколько корней у уравнения, если дискриминант равен 1?
Если дискриминант равен 1, то квадратное уравнение имеет два различных корня.
В каком задании ЕГЭ по математике проверяется умение находить дискриминант?
Квадратные уравнения часто встречаются при решении логарифмических, показательных, иррациональных, тригонометрических уравнений и неравенств, текстовых задач и других заданий. Для их решения можно применить знание формул с дискриминантом.
В базовом варианте ЕГЭ по математике для выполнения заданий №17, 18, 20, а профильном для заданий №6, 7, 9, 10 нужно уметь решать квадратные уравнения. Это можно сделать с помощью дискриминанта, однако выбор способа решения остается за учеником.
В базовом варианте ЕГЭ по математике для выполнения заданий №17, 18, 20, а профильном для заданий №6, 7, 9, 10 нужно уметь решать квадратные уравнения. Это можно сделать с помощью дискриминанта, однако выбор способа решения остается за учеником.
