Линейные неравенства

Представьте обычные рычажные весы — они идеально объясняют суть линейных неравенств. Когда мы видим запись 3x > 15, можно представить три одинаковых груза на одной чаше весов, которые перевешивают гирю в 15 граммов на другой. Знак неравенства подобно стрелке весов показывает, какая сторона перетягивает: > означает «тяжелее», < — «легче», а знаки ≥ или ≤ добавляют важное уточнение — «или ровно столько же».

Линейные неравенства работают как точные измерительные приборы. Особенно удобны двойные неравенства вроде 2 < y < 5 — они подобны электронным весам, показывающим точный диапазон: «больше двух, но меньше пяти». Такой математический инструмент незаменим, когда нужно определить допустимые границы, сравнить варианты или найти оптимальное решение в самых разных сферах — от планирования бюджета до расчета строительных материалов или калорий в блюде.

Что такое линейные неравенства в алгебре

Линейное неравенство — это математическое выражение, содержащее буквенную переменную в первой степени, в котором две части связаны знаками сравнения: 

• > (больше)
• < (меньше)
• ≥ (больше или равно)
• ≤ (меньше или равно)

Общий вид линейного неравенства с одной переменной ax + b > 0, где:

• x – переменная,
• a и b – действительные числа (a ≠ 0).

Полезная информация о линейных неравенствах

Рассмотрим основные примеры линейных неравенств. Эта таблица поможет быстро ориентироваться в основных типах и особенностях их решения.

Линейное неравенство	Пример
Строгое неравенство (> или <)	4x — 3 > 17 → 4x > 20 →  x > 5
Нестрогое неравенство (≥ или ≤)	2x ≤ 8 → x ≤ 4
Двойное неравенство	-3 < 2x + 1 ≤ 7 → -4 < 2x ≤ 6 → -2 < x ≤ 3
Неравенство с дробным коэффициентом	½ x + 1 ≥ 5 → ½ x ≥ 4 → x ≥ 8
Неравенство с отрицательных коэффициентом	-3x < 9 → x > -3 (знак неравенства меняется на противоположный)

Что такое решение неравенства

Решить неравенство — значит найти все значения переменной, при которых неравенство становится верным.

Разберемся, чем отличается решение линейных неравенств и решение линейных уравнений. Уравнение имеет единственное решение, в то время как у неравенства бесконечное множество решений — все числа, которые удовлетворяют условию.

Рассмотрим два примера:

• Уравнение 2x + 3 = 7 → 2x = 4 → x = 2 
• Неравенство 2x + 3 < 7 → 2x < 4 → x < 2

Типы решений неравенств

Результат линейного неравенства может быть записан различными способами. Существует три основные формы записи решений.

1. Запись в виде неравенства. Является самым простым способом представить решение. Типы записи:

• x > a, x < a — строгий ответ
• x ≥ a, x ≤ a — нестрогий ответ
• a < x < b, a ≤ x ≤ b, a < x ≤ b, a ≤ x < b — двойное неравенство

Примеры: 

2x + 1 < 5 → 2x < 4 → x < 2
-4 < 2x ≤ 6 → -2 < x ≤ 3

2. Запись в виде числового промежутка. Является более формальной математической записью.

Типы промежутков:

• (a; b) — интервал (a < x < b)
• (a; b] — полуинтервал (a < x ≤ b)
• [a; b) — полуинтервал (a ≤ x < b)
• [a; b] — отрезок (a ≤ x ≤ b)
• (-∞; a) — открытый луч (x < a)
• (a; +∞) — открытый луч (x > a)
• (-∞; a] — закрытый луч (x ≥ a)  
• [a; +∞) — закрытый луч (x ≥ a)

Примеры:

x > 3 → x ∈ (3; +∞)
x ≤ 7 → (-∞; 7]
-1 ≤ x < 4 → [-1; 4)

3. Графическое представление. Наглядный способ изображения решения на числовой прямой.

Правила обозначений:

• ● — точка включается (для знаков ≥ или ≤)
• ○ — точка не включается (для знаков > или <)
• → или ← — направление решения

Примеры:

Для x > 2:

Для -3 ≤ x < 1:

Все три формы записи решений являются равнозначными и используются в зависимости от конкретной задачи или требований. В школьной практике часто требуется представлять решение всеми тремя способами.

Методы решения линейных неравенств

Перед тем как приступить к решению линейных неравенств, важно понимать, что существует несколько основных методов. Выбор метода зависит от вида неравенства и личных предпочтений. Все они дают одинаково верный результат, но могут быть более удобны в разных ситуациях. Рассмотрим три основных подхода.

• Метод равносильных преобразований — основной способ, аналогичный решению линейных уравнений, но с учетом правила смены знака при умножении или делении на отрицательное число.
• Метод интервалов — эффективный метод для неравенств, у которых легко найти нули функции.
• Графический способ — наглядный метод, позволяющий визуально представить множество решений.

Теперь разберем каждый метод подробно с примерами.

Метод равносильных преобразований

Наиболее простой способ, особенно удобный для простых линейных неравенств и быстрого получения ответа.

Алгоритм:

1. Перенести все члены, содержащие переменную, в одну сторону неравенства, числа без переменной — в другую. Важно при переносе каждого члена из одной части в другую менять его знак на противоположный.
2. Привести подобные слагаемые в обеих частях неравенства.
3. Разделить обе части на коэффициент при переменной: если коэффициент положительный — знак сохраняется, если отрицательный — знак меняется на противоположный

Примеры

Решим неравенство: 3x — 6 < 0.

Переносим -6 вправо с противоположным знаком: 3x < 0 + 6 → 3x < 6.
Делим на 3 обе части неравенства, знак неравенства не меняется: x < 2.

Ответ: x ∈ (-∞; 2)

Решим неравенство: -2x + 4 ≥ 8.

Переносим 4 вправо с противоположным знаком: -2x ≥ 8 — 4 → -2x ≥ 4.
Делим на -2 обе части неравенства, знак неравенства меняется: x ≤ -2.

Ответ: x ∈ (-∞; -2]

Метод интервалов

Такой способ не очень эффективен для решения простых линейных неравенств. Но изучить его важно, так как через линейные неравенства происходит подготовка к решению более сложных неравенств.

Алгоритм:

1. Перенести все члены неравенства в одну сторону, соблюдая правило смены знака каждого члена.
2. Приравнять выражение со всеми членами неравенства к нулю. Решить полученное уравнение, тем самым найдя нуль функции.
3. Отметить полученную точку на числовой прямой: ○ для строгих неравенств (<, >), ● для нестрогих (≤, ≥).
4. Определить знак выражения на получившихся промежутках.
5. Выбрать нужный промежуток согласно знаку неравенства. Важно не забыть включить в ответ нуль функции тоже, если неравенство нестрогое. 

Примеры

Решим неравенство: 2x — 6 > 0.

Находим нуль функции: 2x — 6 = 0 → 2x = 6 → x = 3.
Отмечаем выколотую точку x = 3 на числовой прямой, так как неравенство строгое. Отмечаем знаки выражения на промежутках. При x < 3 знак -; можно проверить, например x = 0 → 2 × 0 — 6 = -6 → отрицательное. При x > 3 знак +, например x = 4 → 2 × 4 — 6 = 2 → положительное.

Смотрим на знак неравенства >, выбираем промежуток с положительными значениями: x ∈ (3; +∞).

Ответ: x ∈ (3; +∞)

Решим неравенство: -3x + 12 ≤ 0.

Находим нуль функции: -3x + 12 = 0 → -3x = -12 → x = 4.

Отмечаем закрашенную точку x = 4 на числовой прямой, так как неравенство нестрогое. Отмечаем знаки выражения на промежутках. При x < 4 знак +; можно проверить, например x = 2 → -3 × 2 + 12 = 6 → положительное. При x > 4 знак -, например x = 5 → -3 × 5 + 12 = -3 → отрицательное.

Смотрим на знак неравенства ≤, выбираем промежуток с отрицательными значениями и саму точку x = 4: x ∈ [4; +∞).

Ответ: x ∈ [4; +∞)

Метод интервалов особенно полезен, когда более сложное неравенство можно разложить на линейные множители вида (ax + b)(cx + d) > 0.

Решим неравенство: (x — 1)(x + 2) < 0

Находим нули функции: (x — 1)(x + 2) = 0 → x = 1 и x = -2.
Отмечаем полученные точки на прямой и анализируем знаки:

x < -2 → (-)(-) = +
-2 < x < 1 → (+)(-) = —
x > 1 → (+)(+) = +

Смотрим на знак неравенства <, выбираем промежуток с отрицательными значениями: x ∈ (-2; 1).

Ответ: x ∈ (-2; 1)

Хотя этот пример уже не является строго линейным неравенством, он демонстрирует, как метод интервалов естественно расширяется для более сложных случаев, сохраняя ту же логику, что и для простых линейных неравенств.

Графический способ

Такой способ помогает понять геометрический смысл неравенства и визуально представить его решение, а также это удобный вариант для сравнения двух линейных выражений.

Алгоритм для неравенства вида ax + b > 0:

1. При сравнении левой части с нулем построим график функции y = ax + b — прямая.
2. Находим координату x точки пересечения прямой с осью OX (y = 0).
3. Определяем для знака > часть графика выше оси OX, для знака < ниже оси OX. Для знаков ≥ и ≤ включаем точку пересечения. Выписываем нужный промежуток для значений x.

Алгоритм для неравенства вида ax + b > cx + d:

1. При сравнении выражений из левой и правой частей строим два графика функций y₁ = ax + b и y₂ = cx + d — прямые.
2. Находим координату x точки пересечения прямых. В этой точке выражения левой и правой частей равны.
3. Определяем для знака > часть графика где y₁ выше y₂, для знака < — y₁ ниже y₂. Для знаков ≥ и ≤ включаем точку пересечения. Выписываем нужный промежуток для значений x.

Примеры

Решим неравенство: 2x — 6 > 0.

Строим график прямой y = 2x — 6.
Находим точку пересечения: x = 3.
Знак неравенства >, соответственно, включаем в ответ ту часть прямой, которая выше оси OX: x > 3.

Ответ: x ∈ (3 ; +∞)

Решим неравенство: x + 3 ≥ 2x — 1.

Обратите внимание: при других методах решения мы бы переносили члены неравенства через знак сравнения, но в графическом методе это необязательно. Мы можем сразу сравнивать обе части.

Строим графики прямых y₁ = x + 3 и y₂ = 2x — 1. 
Находим точку пересечения: x = 4.
Знак неравенства ≥, соответственно, включаем в ответ ту часть графика, где y₁ выше y₂: x ≤ 4.

Ответ: x ∈ (-∞; 4]  

Системы линейных неравенств с одной переменной

Система линейных неравенств с одной переменной — это два или более линейных неравенств, объединенных фигурной скобкой.

Решением системы называется множество всех значений переменной, которые удовлетворяют каждому неравенству системы одновременно.

Алгоритм:

1. Решить каждое неравенство отдельно любым методом.
2. Изобразить решение всех неравенств на одной числовой прямой. 
3. Найти пересечение решений — общую область, где выполняются все неравенства системы одновременно 

Примеры

Решим систему: 

Решаем первое неравенство: 3x — 6 < 0 → 3x < 6 → x < 2.
Решаем второе неравенство: x + 2 ≥ -1 → x ≥ -3.
Изображаем решения неравенств на числовой прямой:
Находим пересечение x < 2 и x ≥ -3. Общее решение: x ∈ [-3; 2).

Решим систему:

Решаем первое неравенство: 3x > 15 → x > 5.
Решаем второе неравенство: x — 6 > -4 → x > 2.
Изображаем решения неравенств на числовой прямой:

Находим наложение x > 5 и x > 2. Общее решение: x ∈ (5; +∞).

Ответ: x ∈ (5; +∞) 

Решим систему:

Решаем первое неравенство: 2x — 1 ≤ x + 1 → 2x — x ≤ 1 + 1 → x ≤ 2.
Решим второе неравенство: 3x — 12 > 0 → 3x > 12 → x > 4.
Изображаем решения неравенств на числовой прямой:

В данном случае пересечения промежутков не произошло. Это значит, что система неравенств не имеет решения.

Ответ: ∅

Задачи по теме «Линейные неравенства»

Попробуйте решить следующие задачи на линейные неравенства, используя изученные методы. Обращайте внимание на тип неравенства и не забывайте правильно записывать ответ в нужной форме.

Задача 1

Решите неравенство 2x + 5 < 17

Задача 2

Найдите все целые решения неравенства −3 ≤ x+2 < 4

Задача 3

Решите систему неравенств

Задача 4

При каких значениях x выражение 2x — 5 принимает неотрицательные значения? 

Ответы к задачам

Сверьте свои ответы с приведенными ниже решениями. Если что-то не совпало — проанализируйте, на каком этапе была допущена ошибка, и повторите соответствующий раздел теории.

Задача 1

Неравенство можно решить любым из трех изученных способов. Воспользуемся методом равносильных преобразований:

2x + 5 < 17 → 2x < 17 — 5 → 2x < 12 → x < 6

Ответ: x ∈ (-∞; 6)

Задача 2

Решим двойное неравенство используя равносильные преобразования, а именно, пересем значение числа из середины неравенства в обе стороны одновременно, меняя знак числа на противоположный: 

-3 ≤ x+2 < 4 → -3 — 2 ≤ x < 4 — 2 → -5 ≤ x < 2
В промежутке -5 ≤ x < 2 лежат целые числа: -5, -4, -3, -2, -1, 0, 1
Обратите внимание, что число -5 является граничным значением, входящим в промежуток, а число 2 не входит в него. Именно поэтому в ответ мы вносим -5, но не включаем 2.  

Ответ: -5, -4, -3, -2, -1, 0, 1

Задача 3

Решим первое неравенство: 4x — 7 > 1 → 4x > 8 → x >2
Решим второе неравенство: 3x + 2 ≤ 14 → 3x ≤ 12 → x ≤ 4
Находим пересечение x >2 и x ≤ 4 и получаем ответ 2 < x ≤ 4

Ответ: x ∈ (2; 4] 

Задача 4

Под «неотрицательными значениями» подразумеваются положительные значения и нуль. Тогда можно составить неравенство, где с левой стороны выражение 2x — 5, с правой 0, а между ними знак ≥ и решить его.  

2x — 5 ≥ 0 → 2x ≥ 5 → x ≥ 2,5
Тогда при х ∈ (2,5; +∞) выражение 2x — 5 принимает неотрицательные значения.

Ответ: х ∈ (2,5; +∞)        

Популярные вопросы и ответы

Отвечает Ольга Комарова, учитель математики: