Параллелограмм

Четырехугольники окружают нас повсюду. Их можно увидеть в архитектуре, технике и повседневных предметах. Многие из этих фигур имеют особую геометрическую структуру. Одной из самых важных является параллелограмм. Эта фигура часто встречается в задачах по геометрии и служит основой для изучения других четырехугольников.

Понимание свойств и признаков параллелограмма помогает не только решать учебные задачи, но и лучше ориентироваться в геометрии. Вместе с учителем математики Вероникой Бороздиной мы разберем основные свойства параллелограмма, научимся распознавать его по признакам и применим знания на практике.

Что такое параллелограмм в геометрии

Параллелограмм — это четырехугольник, у которого противолежащие стороны попарно параллельны. Это означает, что противоположные стороны в такой фигуре параллельны друг другу.

Такая фигура является одной из базовых в геометрии, так как на ее основе изучаются свойства других четырехугольников.

Определение параллелограмма и его основные свойства и признаки рассматриваются в учебниках геометрии, входящих в Федеральный перечень учебников.¹

Полезная информация о параллелограмме

Чтобы быстро ориентироваться в свойствах параллелограмма и не путаться при решении задач, удобно держать под рукой краткую сводку основных фактов. В таблице ниже собраны ключевые характеристики этой фигуры.

Свойства параллелограмма

Параллелограмм обладает рядом важных свойств, которые позволяют легко находить его элементы и доказывать геометрические утверждения. Эти свойства напрямую следуют из определения параллельности сторон и активно используются при решении задач. Рассмотрим основные из них.

Противолежащие стороны параллелограмма равны

Если ABCD — параллелограмм, то AB = CD и BC = AD.

С помощью этого свойства можно находить неизвестные стороны и использовать его при доказательствах равенства треугольников.

Противоположные углы параллелограмма равны

Если ABCD — параллелограмм, то ∠A = ∠C, ∠B = ∠D.

Это следует из параллельности сторон и свойств накрест лежащих углов.

Сумма соседних углов параллелограмма равна 180°

Если ABCD — параллелограмм, то ∠A + ∠B = 180°, ∠B + ∠C = 180°.

Соседние углы являются односторонними при параллельных прямых, поэтому их сумма всегда составляет 180°.

Диагонали параллелограмма пересекаются и точкой пересечения делятся пополам

Если ABCD — параллелограмм и O — точка пересечения диагоналей, то AO = OC, BO = OD.

Это свойство часто используется для доказательства равенства отрезков и нахождения координат в задачах.

Каждая диагональ параллелограмма разбивает его на два равных треугольника

Если ABCD — параллелограмм, то △ABC = △CDA и △ABD = △CBD.

Также диагонали параллелограмма делят его на четыре треугольника, которые попарно равны: △AOB = △COD и △AOD = △BOC.

Это свойство применяется при доказательствах и вычислениях площадей.

Сумма квадратов диагоналей параллелограмма равна удвоенной сумме квадратов его сторон

d₁² + d₂² = 2(a² + b²),

где:

• d₁ и d₂ — диагонали параллелограмма;
• a и b — стороны параллелограмма.

Это свойство используется в более сложных задачах и позволяет связывать диагонали со сторонами.

Биссектриса угла параллелограмма отсекает равнобедренный треугольник

Если ABCD — параллелограмм и AK — биссектриса угла A, а точка K лежит на стороне BC, то △ABK — равнобедренный.

Это свойство помогает находить равные стороны и углы в задачах.

Биссектрисы углов параллелограмма, прилежащих к одной стороне, пересекаются под прямым углом

Если ABCD — параллелограмм и P — точка пересечения биссектрис углов A и B, то ∠APB = 90°.

Это свойство используется в задачах на доказательство перпендикулярности и нахождение углов.

Отрезки биссектрис противоположных углов параллелограмма параллельны и равны

Если ABCD — параллелограмм, AK — биссектриса угла A, CN — биссектриса угла C, K и N — точки пересечения биссектрис с соответствующими сторонами (или их продолжениями), то AK॥CN и AK = CN.

Это свойство помогает устанавливать параллельность и равенство отрезков при решении задач.

Кроме геометрических свойств, важно уметь находить основные числовые характеристики параллелограмма, такие как периметр и площадь. 

Периметр параллелограмма равен сумме длин всех его сторон. С учетом равенства противоположных сторон формула принимает вид:

P = 2(a + b),

где:

• P — периметр параллелограмма;
• a и b — стороны параллелограмма.

Площадь параллелограмма равна произведению основания на высоту, опущенную на это основание:

S = a · h_a = b · h_b, 

где: 

• S — площадь параллелограмма;
• a и b — стороны параллелограмма;
• h_a и h_b — высоты параллелограмма, проведенные к соответствующим сторонам.

Также площадь параллелограмма равна произведению сторон на синус угла между ними:

S = a · b · sinα,

где:

• S — площадь параллелограмма;
• a и b — стороны параллелограмма; 
• α — угол между сторонами параллелограмма.

Эти свойства позволяют по нескольким известным элементам не только определить остальные характеристики фигуры, но и установить связи между сторонами, углами и диагоналями, что значительно упрощает решение геометрических задач и доказательство различных утверждений.

это интересно

Подобные треугольники

Что такое подобные треугольники, каковы их свойства и признаки подобия

Подробнее

Признаки параллелограмма

Чтобы доказать, что четырехугольник является параллелограммом, важно знать его признаки. Признаки параллелограмма — это условия, при выполнении которых четырехугольник обязательно является параллелограммом. Рассмотрим их.

Первый признак параллелограмма

Если в четырехугольнике две противолежащие стороны равны и параллельны, то этот четырехугольник является параллелограммом.

Если в четырехугольнике ABCD AB॥CD и AB = CD, то ABCD — параллелограмм.

Второй признак параллелограмма

Если в четырехугольнике противолежащие стороны попарно равны, то этот четырехугольник является параллелограммом.

Если в четырехугольнике ABCD AB = CD и BC = AD, то ABCD — параллелограмм.

Третий признак параллелограмма

Если в четырехугольнике диагонали точкой пересечения делятся пополам, то этот четырехугольник является параллелограммом.

Если в четырехугольнике ABCD AC пересекается с BD в точке O и AO = OC, BO = OD, то ABCD — параллелограмм.

Четвертый признак параллелограмма

Если в четырехугольнике противолежащие углы попарно равны, то этот четырехугольник является параллелограммом.

Если в четырехугольнике ABCD ∠A = ∠C и ∠B = ∠D, то ABCD — параллелограмм.

Частные случаи параллелограмма

Параллелограмм имеет несколько частных случаев — фигур, которые обладают всеми его свойствами, но имеют дополнительные особенности.

К частным случаям параллелограмма относятся:

• прямоугольник — параллелограмм, у которого все углы прямые;
• ромб — параллелограмм, у которого все стороны равны;
• квадрат — параллелограмм, у которого все стороны равны и все углы прямые.

Эти фигуры изучаются отдельно, так как имеют дополнительные свойства и широко используются при решении задач.

Интересные факты о параллелограмме

Параллелограмм — одна из самых устойчивых геометрических фигур. Так, если соединить четыре стержня шарнирами в его вершинах, конструкция сможет менять форму, но противоположные стороны при этом всегда остаются параллельными и равными. Благодаря этому принципу создаются различные механизмы, например элементы подвески или складные конструкции, где важно сохранить взаимное расположение деталей.

Интересно, что площадь параллелограмма определяется только длиной основания и высотой, опущенной на него. Если изменять угол между сторонами, наклоняя фигуру, но сохранять эти величины, площадь не изменится. Это позволяет удобно преобразовывать фигуры, заменяя их на равновеликие параллелограммы.

В природе и технике формы, близкие к параллелограмму, встречаются достаточно часто. Например, при деформации рамок и конструкций именно эта фигура показывает, как может изменяться форма без изменения длин сторон. Это делает параллелограмм удобной моделью для изучения устойчивости и подвижности различных систем.

Задачи и ответы по теме «Параллелограмм»

Теперь, когда мы разобрали свойства и признаки параллелограмма, применим эти знания на практике. Ниже представлены задачи разного уровня сложности, которые помогут закрепить тему и подготовиться к экзаменам.

Задача 1

В параллелограмме ABCD стороны равны 8 см и 12 см. Найдите периметр параллелограмма.

Задача 2

В параллелограмме ABCD угол A равен 65°. Найдите углы B и C.

Задача 3

В параллелограмме ABCD диагонали пересекаются в точке O. Известно, что AO = 6 см, BO = 9 см. Найдите длины диагоналей.

Задача 4

В параллелограмме ABCD биссектриса угла A пересекает сторону BC в точке K. Известно, что AB = 8 см, BC = 13 см. Найдите KC.

Задача 5

В четырехугольнике ABCD диагонали AC и BD пересекаются в точке O. Известно, что треугольники AOB и COD равны. Докажите, что ABCD — параллелограмм.

Популярные вопросы и ответы

Отвечает Вероника Бороздина, старший преподаватель математики Домашней школы «ИнтернетУрок»:

Источники

Материал подготовлен в соответствии с официальными документами и рекомендациями.

1. Министерство просвещения России. Федеральный перечень учебников. URL: https://fpu.edu.ru/ 

• Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б. «Геометрия. 7-9 классы»
• Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б. «Геометрия. 10-11 классы. Базовый и углубленный уровни»
• Мерзляк А.Г., Номировский Д.А., Поляков В.М. «Геометрия. 8 класс»
• Мерзляк А.Г., Номировский Д.А., Поляков В.М. «Геометрия. 9 класс»
• Мерзляк А.Г., Номировский Д.А., Поляков В.М. «Геометрия. 10 класс. Углубленный уровень»
• Мерзляк А.Г., Номировский Д.А., Поляков В.М. «Геометрия. 11 класс. Углубленный уровень»
• Смирнов В.А., Смирнова И.М. «Геометрия. 8 класс»
• Смирнов В.А., Смирнова И.М. «Геометрия. 9 класс»

2. Министерство просвещения России. Федеральная рабочая программа по учебному предмету «Математика». URL: https://static.edsoo.ru/projects/fop/index.html#/sections/200215

3. Федеральный институт педагогических измерений. Открытый банк заданий ОГЭ и ЕГЭ по математике. Методические рекомендации для учителей. URL: https://fipi.ru/