Перпендикулярные прямые

Принцип перпендикулярности помогает строить дома, рисовать карты, прокладывать дороги и даже создавать шрифты.

В древности мастера не знали про транспортир, но умели добиваться точности: отвес показывал, где вертикаль, а натянутый шнур — горизонталь. Так появлялись ровные стены и прочные перекрытия.

Сегодня мы используем линейки, треугольники и циркули, но принцип остался тем же — перпендикулярные линии делают все вокруг нас аккуратным и устойчивым. Разберемся, что такое перпендикулярные прямые, как их строить и какие задачи с ними решают.

Что такое перпендикулярные прямые

Перпендикулярные прямые — это две прямые, которые пересекаются под прямым углом, всегда равным 90°. Их обозначают знаком ⟂. Если прямая a перпендикулярна прямой b, это записывают как a ⟂ b, что означает «прямая a перпендикулярна прямой b». Такой способ записи используют математики по всему миру.

Перпендикулярные прямые встречаются не только в геометрии, но и в жизни. Ствол дерева растет вертикально, образуя прямой угол с землей. Когда дверь стоит ровно, она образует прямой угол с полом. Некоторые кристаллы имеют структуру с правильными прямыми углами. В 3:00 и 9:00 стрелки часов образуют угол в 90°. И даже в букве Т есть прямой угол.

В природе редко встречаются идеальные прямые углы — чаще их создает человек.

Полезная информация о перпендикулярных прямых

В таблице ниже собраны интересные факты, которые помогут лучше понять тему.

Как построить перпендикулярные прямые 

Еще в Древнем Египте строители использовали необычный способ для построения прямых углов. Они брали веревку и завязывали на ней 12 узлов на равном расстоянии. Затем веревку делили на части в соотношении 3:4:5 и связывали концы. Натягивая такую веревку между колышками, они получали прямоугольный треугольник с углом 90°.

Сегодня для построения перпендикуляров используют различные методы. Рассмотрим самые простые из них.

С помощью транспортира

Предположим, у нас есть прямая AB. На ней отмечена точка O, через которую нужно провести перпендикуляр. 

1. Поставьте центр транспортира в точку O.
2. Совместите нулевую отметку шкалы транспортира с прямой AB.
3. Найдите на шкале отметку 90° и отметьте ее — это точка C.
4. Уберите транспортир и проведите прямую через точки O и C.
5. Продлите эту линию в обе стороны  — получится прямая CD, перпендикулярная AB.

С помощью чертежного треугольника

У нас есть прямая MN, и на ней лежит точка P. Нужно провести через точку перпендикуляр к этой прямой.

1. Приложите одну сторону прямого угла треугольника к MN.
2. Совместите вершину прямого угла с точкой P.
3. Проведите линию по второй стороне угла — это перпендикуляр.

Если точка С находится вне прямой MN:

1. Приложите одну сторону треугольника к MN.
2. Поставьте линейку вдоль другой стороны треугольника.
3. Сдвигайте треугольник по линейке, пока вершина угла не окажется в точке P.
4. Проведите линию по второй стороне угла.
5. Получится прямая CD, перпендикулярная MN.

С помощью циркуля и линейки 

Циркуль и линейка помогают построить перпендикуляр без измерения углов. Циркуль нужен для откладывания равных расстояний и построения дуг, линейка — для соединения точек прямыми линиями.

1. Отметим точку на прямой О.
2. Циркулем отложим от точки О равные отрезки. Обозначим их концы как A и B.
3. Проведем окружности с центром в точках A и B и радиусом AB.
4. Соединим точки пересечения окружностей линейкой. Обозначим их как C и D.
5. Отрезок CD будет перпендикулярен AB.

Теорема о перпендикулярных прямых 

Если у нас есть прямая линия и точка, которая не лежит на ней, то через эту точку можно провести только одну линию, пересекающую данную под прямым углом, то есть под 90°. Это значит, что:  

• перпендикуляр из точки к прямой всегда можно построить;
• другого перпендикуляра из этой же точки к той же прямой не получится — он единственный.  

Проще говоря, если выбрать точку вне линии, есть только один способ провести через нее прямую так, чтобы угол между ними был прямым.

это интересно

Параллельные прямые

Какими признаками и свойствами обладают параллельные прямые

Подробнее

Свойства перпендикулярных прямых 

Перпендикулярные прямые подчиняются четким геометрическим законам, которые помогают решать задачи и строить точные чертежи. Рассмотрим их поподробнее. 

Если две прямые на плоскости перпендикулярны одной и той же третьей прямой, то они параллельны между собой.

Если прямая a⟂c и прямая b⟂c, то a||b.

Это значит, что если каждая из двух прямых образует угол 90°с одной и той же прямой, то они идут в одном направлении и никогда не пересекутся.

Так быть не может:

Если прямая перпендикулярна одной из двух параллельных прямых, то она перпендикулярна и второй.

Если a||b и прямая c⟂a, то c⟂b.

Иными словами, если одна прямая образует угол 90° с первой из двух параллельных, то с другой она образует такой же угол.

Задачи по теме «Перпендикулярные прямые»

Давайте потренируемся решать задачи.

Задача 1

От дома до прямой дороги 80 м. У дома есть наклонная тропинка длиной 160 м, по которой можно выйти к дороге. Какой путь будет самым коротким и на сколько метров тропинка длиннее кратчайшего пути?

Задача 2

Нужно понять, перпендикулярны ли боковые стенки полки ее основанию. Есть только лист бумаги (с ровным прямым углом). Опишите проверку и объясните, почему она работает.

Задача 3

Прямые AB и CD пересекаются в точке O и перпендикулярны (AB⟂CD). Внутри угла ∠AOC проведен луч OE так, что ∠AOE = 35°. Перечислите все прямые углы в точке O и найдите величины углов ∠EOC, ∠BOD, ∠AOB и ∠EOD.

Ответы к задачам

Проверим, что у вас получилось.

Задача 1

Кратчайшее расстояние от точки до прямой измеряется по перпендикуляру. Значит, самый короткий путь — идти от дома к дороге по линии, перпендикулярной дороге, и его длина равна 80 м. 

Наклонная тропинка имеет длину 160 м. Разница между фактическим и кратчайшим путем равна 160 − 80 = 80 м.

Задача 2

У листа бумаги угол между соседними сторонами — 90°. Приложим угол листа впритык к углу «боковина–основание», совмещая одну сторону листа со стенкой, а другую — с основанием. Если границы листа ложатся без зазоров и разворотов вдоль обеих деталей одновременно, угол полки тоже прямой. 

Если заметен зазор или одна сторона листа уходит в сторону, угол отличается от 90° — детали не перпендикулярны. Этот способ работает, потому что мы сравниваем проверяемый угол с эталонным прямым углом.

Задача 3

При пересечении перпендикулярных прямых получаются четыре прямых угла: ∠AOC = ∠COB = ∠BOD = ∠DOA = 90°. 

Угол ∠AOE равен 35°, значит, оставшаяся часть прямого угла ∠EOC равна 90° – 35° = 55°. 

Вертикальные углы равны, поэтому угол, вертикальный к ∠AOE, то есть ∠BOD, тоже равен 35°. 

Угол ∠AOB — развернутый (сумма двух соседних прямых углов), следовательно, 180°.

Чтобы найти ∠EOD, заметим: луч OE находится в полуплоскости с OC, а OD перпендикулярен OC и составляет с ним угол 90°. Значит, ∠EOD равен ∠EOC + 90° = 55° + 90° = 145°.

Ответ: прямые углы — ∠AOC, ∠COB, ∠BOD, ∠DOA, остальные — ∠EOC = 55°, ∠BOD = 35°, ∠AOB = 180°, ∠EOD = 145°.

Популярные вопросы и ответы

Отвечает Дмитрий Малык, учитель математики и информатики высшей квалификационной категории, репетитор по подготовке к ЕГЭ и ОГЭ: