Теорема косинусов
Узнаем, что такое теорема косинусов, разберем ее доказательство и научимся находить с ее помощью стороны и углы треугольника
Геометрию нередко воспринимают как набор абстрактных правил и чертежей, существующих только в тетради. Но на самом деле за каждым таким правилом скрывается возможность решить реальную задачу. Рассмотрим пример.
Представьте, что вы рассчитываете длину кабеля, который нужно проложить между двумя вышками, зная лишь расстояния до третьей вышки и углы между направлениями. Возникает треугольник, в котором искомая сторона неизвестна, но две другие и угол между ними вполне доступны. Именно здесь и нужна теорема косинусов. Она обобщает уже известную нам теорему Пифагора на любые треугольники.
Вместе с преподавателем математики мы разберем формулировку и доказательство теоремы косинусов, научимся применять ее для решения задач и выясним, как с ее помощью находить стороны и углы треугольника.
Формулировка теоремы косинусов в геометрии
Теорема косинусов является обобщением теоремы Пифагора для произвольных треугольников. Это одна из ключевых теорем геометрии, представленных в учебниках Федерального перечня1, и она работает для любых треугольников.
Теорема косинусов:
Квадрат любой стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон минус удвоенное произведение этих сторон на косинус угла между ними.
Иными словами, теорема косинусов позволяет найти сторону треугольника, зная две другие стороны и угол между ними.
Формула теоремы косинусов
Математическая запись теоремы косинусов для треугольника ABC со сторонами a = BC, b = AC, c = AB и углами A, B, C, противолежащими соответствующим сторонам, выглядит следующим образом:
где:
- a, b, c — длины сторон треугольника;
- ∠A, ∠B, ∠C — углы, противолежащие сторонам a, b, c соответственно.
Обратите внимание, что если угол прямой (90°), его косинус равен нулю, и формула превращается в теорему Пифагора: a2 = b2 + c2.
Полезная информация о теореме косинусов
Чтобы быстро ориентироваться в возможностях теоремы косинусов и всегда держать под рукой ключевую информацию, сохраните эту таблицу-шпаргалку.
| Теорема косинусов | Описание |
|---|---|
| Суть теоремы | Квадрат стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон минус удвоенное произведение этих сторон на косинус угла между ними |
| Основная формула | a2 = b2 + c2 — 2bc × cos∠A |
| Для каких треугольников работает | Для любых треугольников |
| Что можно найти | Неизвестную сторону по двум сторонам и углу между ними или угол по трем сторонам |
| Частный случай | При угле 90° теорема косинусов превращается в теорему Пифагора |
Доказательство теоремы косинусов
Докажем теорему косинусов для треугольника ABC со сторонами a = BC, b = AC, c = AB. Рассмотрим угол A и докажем, что a2 = b2 + c2 — 2bc × cos∠A.
Способ 1
Рассмотрим треугольник ABC. Проведем высоту BH из вершины B на сторону AC. Получим два прямоугольных треугольника ABH и CBH.
В треугольнике ABH:
AH = AB × cos∠A = c × cos∠A, так как cos∠A равен прилежащему катету, деленному на гипотенузу.
BH = AB × sin∠A = c × sin∠A, так как sin∠A равен противолежащему катету, деленному на гипотенузу.
Сторона AC = b состоит из двух отрезков: b = AH + HC.
Отсюда: HC = b — AH = b — c × cos∠A.
В прямоугольном треугольнике CBH по теореме Пифагора: BC2 = BH2 + HC2.
Подставляем выражения:
a2 = (c × sin∠A)2 + (b — c × cos∠A)2
a2 = c2 × sin2∠A + b2 — 2bc × cos∠A + c2 × cos2∠A
a2 = b2 + c2(sin2∠A + cos2∠A) — 2bc × cos∠A
a2 = b2 + c2 — 2bc × cos∠A
Что и требовалось доказать. Аналогично доказывается формула для других сторон.
Способ 2
Расположим треугольник ABC в координатной плоскости. Поместим вершину A в начало координат (0; 0), вершину C на положительной полуоси OX так, чтобы AC = b. Тогда координаты точки C (b; 0).
Вершину B расположим так, чтобы AB = c, а угол A задан.
Тогда координаты точки B (c × cos∠A; c × sin∠A).
Сторона a = BC — это расстояние между точками B и C:
a2 = (b — c × cos∠A)2 + (0 — c × sin∠A)2
Раскрываем скобки: a2 = b2 — 2bc × cos∠A + c2 × cos2∠A + c2 × sin2∠A
Выносим c2 за скобки: a2 = b2 — 2bc × cos∠A + c2(cos2∠A + sin2∠A)
Так как cos2∠A + sin2∠A = 1 по основному тригонометрическому тождеству, получаем: a2 = b2 + c2 — 2bc × cos∠A
Что и требовалось доказать. Аналогично можно доказать формулу для сторон b и c.
это интересно
Подобные треугольники
Что такое подобные треугольники, каковы их свойства и признаки подобия
Подробнее
Практическое применение теоремы косинусов
Теорема косинусов является одним из основных инструментов для решения произвольных треугольников. С ее помощью можно находить неизвестные стороны и углы по известным элементам фигуры.
Как найти сторону треугольника по теореме косинусов
Чтобы найти неизвестную сторону, нужно знать две другие стороны и угол между ними. Неизвестная сторона вычисляется по формуле:
Пример
В треугольнике ABC известны стороны b = 7 см, c = 8 см и угол A = 60° между ними. Найдем сторону a.
a2 = 72 + 82 — 2 × 7 × 8 × cos60° = 49 + 64 — 112 × ½ = 57
a = √57 см
Как найти угол треугольника по теореме косинусов
Чтобы найти неизвестный угол, нужно знать все три стороны треугольника. Из теоремы косинусов выражаем косинус искомого угла:
Пример
В треугольнике ABC стороны равны: a = 7 см, b = 3 см, c = 5 см. Найдем угол A, противолежащий стороне a.
cos∠A = (32 + 52 — 72) / (2 × 3 × 5) = (9 + 25 — 49) / 30 = (-15) / 30 = -0,5
Так как косинус отрицательный, угол A тупой. Этому значению соответствует угол ∠A = 120°.
Задачи и ответы по теме «Теорема косинусов»
Проверим, как вы усвоили материал. Попробуйте решить каждое задание самостоятельно, а затем сверьтесь с решениями. Если какой-то шаг вызывает вопрос, всегда можно вернуться к соответствующему разделу статьи и повторить теорию.
Задача 1
В треугольнике ABC стороны AB = 5 см, AC = 8 см, угол A = 60°. Найдите сторону BC.
Решение и ответ к задаче 1
Сторона BC противолежит углу A. Запишем теорему косинусов:
BC2 = AB2 + AC2 — 2 × AB × AC × cos∠A
Подставляем известные значения:
BC2 = 52 + 82 — 2 × 5 × 8 × cos60° = 25 + 64 — 80 × ½ = 49
BC = √49 = 7 см
Ответ: 7 см
Задача 2
В треугольнике ABC стороны AB = 3 см, AC = 8 см, BC = 7 см. Найдите угол A.
Решение и ответ к задаче 2
Угол A противолежит стороне BC. Выразим его косинус из теоремы косинусов:
cos∠A = (AB2 + AC2 — BC2) / (2 × AB × AC)
Подставляем известные значения:
cos∠A = (32 + 82 — 72) / (2 × 3 × 8) = (9 + 64 — 49) / 48 = (24) / 48 = 0,5
Данному значению косинуса соответствует угол ∠A = 60°.
Ответ: 60°
Задача 3
В треугольнике ABC стороны AB = 4 см, BC = 6 см, угол B = 120°. Найдите сторону AC.
Решение и ответ к задаче 3
Сторона AC противолежит углу B. Запишем теорему косинусов:
AC2 = AB2 + BC2 — 2 × AB × BC × cos∠B
Подставляем известные значения. Обратите внимание, что cos120° = -½:
AC2 = 42 + 62 — 2 × 4 × 6 × (-½) = 52 + 24 = 76
AC = √76 = 2√19 см
Ответ: 2√19 см
Задача 4
В треугольнике ABC стороны равны: a = 4 см, b = 5 см, c = 6 см. Найдите косинус наибольшего угла треугольника.
Решение и ответ к задаче 4
Наибольший угол треугольника лежит против наибольшей стороны. В данном треугольнике наибольшая сторона c = 6 см, значит, ищем угол C, противолежащий стороне c.
Из теоремы косинусов выражаем косинус угла C:
cos∠C = (a² + b² — c²) / (2ab)
Подставляем известные значения:
cos∠C = (4² + 5² — 6²) / (2 × 4 × 5) = (16 + 25 — 36) / 40 = 5 / 40 = ⅛ = 0,125
Ответ: 0,125
Популярные вопросы и ответы
Отвечает Анастасия Андросова, преподаватель математики онлайн-платформы «Школково»:
Как понять, когда в задаче нужно применять теорему синусов, а когда — теорему косинусов?
Теорема косинусов и теорема синусов связывают длины сторон и углы произвольного треугольника. Чтобы понять, какая из них подойдет больше, нужно внимательно прочитать условие задачи.
Если предлагается найти сторону треугольника, когда известны две стороны и угол между ними, то логично применить теорему косинусов. Если нужно вычислить угол треугольника, а известны три стороны, то используют теорему косинусов. Если необходимо найти сторону треугольника, а известны два угла (соответственно, можно найти и третий) и любая сторона, то стоит вспомнить теорему синусов. Если предстоит найти угол треугольника, лежащий напротив известной стороны, а известны две стороны и угол, лежащий напротив одной из них, то поможет теорема синусов.
Если предлагается найти сторону треугольника, когда известны две стороны и угол между ними, то логично применить теорему косинусов. Если нужно вычислить угол треугольника, а известны три стороны, то используют теорему косинусов. Если необходимо найти сторону треугольника, а известны два угла (соответственно, можно найти и третий) и любая сторона, то стоит вспомнить теорему синусов. Если предстоит найти угол треугольника, лежащий напротив известной стороны, а известны две стороны и угол, лежащий напротив одной из них, то поможет теорема синусов.
Всегда ли по теореме косинусов можно найти сторону треугольника?
Нет, не всегда: теорему применяют только если известны две стороны и угол между ними. Если, например, в задаче дана лишь одна сторона и углы, то стоит выбрать теорему синусов.
Также теорема косинусов не сработает, если допустить одну из обидных, но довольно частых ошибок, на которых иногда прокалываются даже учителя. Например, выбрать неправильный угол. Нужен именно тот, который лежит напротив стороны, которую мы ищем. Или допустить ошибку в знаке. Необходимо помнить, что если угол тупой, то косинус отрицательный, и минус на минус в формуле дает плюс. Также есть риск забыть извлечь корень в самом конце при нахождении стороны.
Также теорема косинусов не сработает, если допустить одну из обидных, но довольно частых ошибок, на которых иногда прокалываются даже учителя. Например, выбрать неправильный угол. Нужен именно тот, который лежит напротив стороны, которую мы ищем. Или допустить ошибку в знаке. Необходимо помнить, что если угол тупой, то косинус отрицательный, и минус на минус в формуле дает плюс. Также есть риск забыть извлечь корень в самом конце при нахождении стороны.
Почему теорема Пифагора — это частный случай теоремы косинусов?
Теорема косинусов — обобщение всем известной теоремы Пифагора. Пифагоровы штаны, которые во все стороны равны, работают только тогда, когда один из углов 90 градусов. А если треугольник произвольный, то в игру вступает теорема косинусов. Она позволяет находить длину третьей стороны, зная две другие и угол между ними, который может быть разным, в то время как в теореме Пифагора он всегда 90 градусов.
Теорема косинусов звучит так: квадрат одной стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон минус удвоенное произведение этих сторон на косинус угла между ними. Таким образом, теорема косинусов — универсальный инструмент, а теорема Пифагора — частный случай, когда косинус прямого угла равен 0. Именно поэтому последнее слагаемое в теореме Пифагора просто пропадает.
Теорема косинусов звучит так: квадрат одной стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон минус удвоенное произведение этих сторон на косинус угла между ними. Таким образом, теорема косинусов — универсальный инструмент, а теорема Пифагора — частный случай, когда косинус прямого угла равен 0. Именно поэтому последнее слагаемое в теореме Пифагора просто пропадает.
Почему тему по геометрии «Теорема косинусов» изучают в 9-11 классах?
В 9 классе ученики уже изучили треугольники, тригонометрию в прямоугольных треугольниках и теорему Пифагора, то есть наработали базу, чтобы понять новую формулу. Школьники учатся доказывать теоремы, применять их и обобщать полученные знания. В выпускных классах теорема косинусов нужна для нахождения неизвестных сторон и углов, вычисления медиан, диагоналей и в других случаях. Ее используют как часть системной подготовки к ЕГЭ по математике и физике. Повторение на разных уровнях сложности помогает не забыть материал к 11 классу и подготовиться к экзаменам, что соответствует требованиям Федеральной рабочей программы по математике2.
В каких заданиях ОГЭ и ЕГЭ встречаются задачи на теорему косинусов?
В ОГЭ по математике теорема косинусов есть в заданиях по геометрии второй части, в самой сложной задаче из всего экзамена №25.
Типичные формулировки заданий из банка ФИПИ: треугольник с заданными тремя сторонами, необходимо найти косинус или величину угла, или нахождение стороны треугольника по двум сторонам и углу между ними.
В ЕГЭ по математике задачи на теорему косинусов входят в геометрический блок второй части №14,17, также может встретиться в задании №1.
Типичные формы задач из банка ФИПИ: найти сторону треугольника по двум сторонам и углу между ними, найти сторону или диагональ в четырехугольнике по сторонам и углу между ними, найти косинус или значение угла по трем сторонам треугольника.
Для эффективной подготовки к экзаменам рекомендуется всегда использовать проверенные источники и задания из Открытого банка ФИПИ.3
Типичные формулировки заданий из банка ФИПИ: треугольник с заданными тремя сторонами, необходимо найти косинус или величину угла, или нахождение стороны треугольника по двум сторонам и углу между ними.
В ЕГЭ по математике задачи на теорему косинусов входят в геометрический блок второй части №14,17, также может встретиться в задании №1.
Типичные формы задач из банка ФИПИ: найти сторону треугольника по двум сторонам и углу между ними, найти сторону или диагональ в четырехугольнике по сторонам и углу между ними, найти косинус или значение угла по трем сторонам треугольника.
Для эффективной подготовки к экзаменам рекомендуется всегда использовать проверенные источники и задания из Открытого банка ФИПИ.3
Источники
Материал подготовлен в соответствии с официальными документами и рекомендациями:
1. Министерство просвещения России. Федеральный перечень учебников. URL: https://fpu.edu.ru/
- Смирнов В.А., Смирнова И.М. «Геометрия. 9 класс»
- Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б. «Геометрия. 10-11 классы. Базовый и углубленный уровни»
- Мерзляк А.Г., Номировский Д.А., Поляков В.М. «Геометрия. 10 класс. Углубленный уровень»
- Мерзляк А.Г., Номировский Д.А., Поляков В.М. «Геометрия. 11 класс. Углубленный уровень»
2. Министерство просвещения России. Федеральная рабочая программа по учебному предмету «Математика». URL: https://static.edsoo.ru/projects/fop/index.html#/sections/200215
3. Федеральный институт педагогических измерений. Открытый банк заданий ОГЭ и ЕГЭ по математике. Методические рекомендации для учителей. URL: https://fipi.ru/
