Векторы в математике

Представьте, что вы зовете друга на встречу и вам нужно не просто сказать «кафе находится в 300 метрах от дома», а точно указать направление: «кафе находится в 300 метрах на северо-восток». В математике для таких ситуаций существуют векторы. Это инструмент, который позволяют одновременно учитывать и величину, и направление.

Мы сталкиваемся с векторами ежедневно, даже не задумываясь об этом. Когда вы бросаете мяч другу, его полет описывается вектором – у него есть и скорость, и направление. Ветер, дующий с определенной силой в сторону вашего дома, автомобиль, поворачивающий на перекрестке, – все эти явления можно описать с помощью векторов. В физике они помогают рассчитывать силы, в географии – строить маршруты, а в компьютерных играх – создавать реалистичное движение персонажей.

Что такое векторы в математике

Вектор – это направленный отрезок, у которого есть длина и направление. Этот отрезок обязательно имеет начало и конец, что делает его похожим на стрелку.

Векторы обозначают двумя способами:

Векторы обозначают двумя способами:

• строчной буквой со стрелочкой сверху — a
• двумя заглавными буква со стрелочкой сверху — AB, где A – начало вектора, B – конец вектора.

Важно в названии вектора не перепутать буквы местами, иначе получится совсем другой вектор – BA, он такой же длины, но направленный в обратную сторону. 

Полезная информация о векторах в математике

Векторы – непростая тема, но важная. Чтобы легко разбираться в задачах, сохраните эту таблицу-шпаргалку. В ней собраны все основные понятия о векторах – от простых обозначений до важных свойств, которые пригодятся вам.

Термин	Определение векторов
Вектор	направленный отрезок
Длина вектора	расстояние между началом и концом вектора
Нулевой вектор	вектор с длиной 0, начало и конец совпадают
Единичный вектор	вектор с длиной 1, используется для указания направления
Коллинеарные векторы	– лежат на параллельных прямых или на одной прямой
Сонаправленные векторы	– коллинеарные векторы, направленные одинаково
Противоположно направленные векторы	– коллинеарные векторы, противоположные по направлению

Виды векторов в математике

Векторы можно классифицировать по нескольким ключевым признакам, которые определяют их свойства и возможности применения в различных задачах. Основные различия между векторами проявляются в их длине и направлении, взаимном расположении относительно друг друга, а также особых математических характеристиках.

По взаимному расположению векторы бывают коллинеарными и неколлинеарными. По направлению мы различаем сонаправленные и противоположно направленные векторы. Отдельно выделяются векторы с особыми свойствами: единичные, нулевые, равные и противоположные. Подробно разберем каждый из этих видов.

Коллинеарные и неколлинеарные векторы

Все векторы делятся на два принципиально разных типа:

• коллинеарные векторы – лежат на одной прямой или на параллельных прямых.
• неколлинеарные векторы – не являются коллинеарными.

На рисунке видно, что векторы a и b являются коллинеарными относительно друг друга, так как лежат на параллельных прямых, а также векторы k и d, потому что лежат на одной прямой. Пары векторов m и n, x и y неколлинеарны относительно друг друга.

Коллинеарные векторы можно обозначить так: a || b.

Сонаправленные и противоположно направленные векторы

Коллинеарные векторы можно разделить, в свою очередь, на два типа в зависимости от направления:

• сонаправленные – направлены в одну сторону;
• противоположно направленные – направлены в разные стороны.

На рисунке векторы a и b, f и e сонаправлены между собой. Векторы m и n, x и y противоположно направлены. 

Сонаправленные векторы обозначаются так: , а противоположно направленные записываем следующим образом: .

Равные векторы

Очень большое значение имеет понятие равенства векторов. Важно понимать, что это не просто совпадение длин отрезков.

Равные векторы сонаправлены и имеют равные длины. Записывается это так: a = b.

Противоположные векторы

Противоположные векторы противоположно направлены, при этом имеют равную длину. Если a – произвольный вектор, то противоположный ему вектор записывается как —a.

Нулевой вектор

В векторном мире нулевой вектор занимает особое положение, аналогичное нулю в обычной арифметике.

Нулевой вектор определяется как вектор с нулевой длиной, у которого начало и конец совпадают. Его направление считается неопределенным, а в координатном представлении все его компоненты равны нулю. Он считается коллинеарным любому вектору. Обозначается как 0.

Единичный вектор

Зачастую в задачах мы сталкиваемся с понятием единичного вектора. Это базовый элемент для описания направлений.

Единичный вектор – это вектор, длина которого равна единице. Его можно получить из любого ненулевого вектора, разделив этот вектор на его собственную длину. Математически это записывается так:

Сложение векторов

Сложение векторов – это операция, в результате которой получается новый вектор, называемый суммой векторов. Существует три основных способа сложения, удобных в разных ситуациях.

Правило треугольника

Правило треугольника является наиболее интуитивно понятным способом сложения двух векторов. Его суть заключается в последовательном откладывании векторов: начало второго вектора совмещается с концом первого. При этом результирующий вектор проводится от начала первого вектора к концу второго.

Правило параллелограмма

Для случаев, когда два вектора выходят из одной точки, чаще применяют правило параллелограмма. В этом методе оба вектора откладываются из общего начала, на них строится параллелограмм, и искомая сумма совпадает с диагональю этого параллелограмма.

Правило многоугольника

Когда требуется сложить три и более векторов, наиболее универсальным становится правило многоугольника. Этот метод является естественным обобщением правила треугольника: все векторы последовательно соединяются «конец к началу», а суммарный вектор замыкает полученную ломаную линию, соединяя начало первого вектора с концом последнего.

Сложение векторов подчиняется тем же привычным правилам, что и обычное сложение чисел, но с учетом направления:

• a + b = b + a – переместительный закон,
• (a + b) + c = a + (b + c) – сочетательный закон,
• a + 0 = a – сложение с нулевым вектором,
• a + (-a) = 0 – сложение противоположных векторов.

Вычитание  векторов

Вычитание вектора равносильно сложению с противоположным вектором:

a — b = a + (-b),

где —b – вектор, противоположный b, то есть такой же длины, но противоположного направления.

Тогда при решении находим вектор, противоположный вычитаемому, а далее складываем векторы по правилу треугольника или параллелограмма.

Рассмотрим еще один, более наглядный способ вычитания векторов. Откладываем оба вектора из одной начальной точки. Вектор разности соединяет конец вычитаемого вектора с концом уменьшаемого. Этот способ позволяет не использовать дополнительно сложение векторов, а сразу находить их разность.

Умножение вектора на число

При умножении вектора на любое число k мы всегда получаем вектор, коллинеарный исходному. Значение k влияет на направление полученного вектора и на его длину. 

Рассмотрим три ситуации:

• k > 0 – вектор сохраняет направление (сонаправленный исходному);
• k = 0 – получаем нулевой вектор;
• k < 0 – вектор меняет направление (противоположно направленный исходному).

При умножении вектора a на число k длина вектора изменяется в |k| раз:

|ka| = |k|×|a|,

тогда при:

|k|>1 – вектор растягивается,
|k|<1 – вектор сжимается.

Координаты вектора на плоскости и в пространстве 

Векторы можно точно описать с помощью чисел – координат. Это позволяет перевести геометрические задачи в алгебраические вычисления.

На плоскости, то есть в двумерном пространстве, вектор задается двумя координатами: a = (a_x; a_y),

где a_x – проекция на ось OX, a_y – проекция на ось OY.

Если известны точки начала A(x₁; y₁) и конца B(x₂; y₂):

AB = (x₂-x₁; y₂-y₁)

В пространстве для векторов добавляется третья координата: b = (b_x; b_y; b_z), где b_x – проекция на ось OX, b_y – проекция на ось OY, b_z – проекция на ось OZ.

Аналогично, как и на плоскости, если известны точки начала A(x₁; y₁; z₁) и конца B(x₂; y₂; z₂):

AB = (x₂-x₁; y₂-y₁; z₂-z₁)

Действия с векторами в координатной форме

Когда векторы заданы координатами a = (a_x; a_y), b = (b_x; b_y), все операции с ними выполняются просто и наглядно – покоординатно. Рассмотрим основные действия, которые помогут вам легко решать задачи.

1. Сложение векторов: a + b = (a_x+b_x; a_y+b_y).
2. Вычитание векторов: a — b = (a_x-b_x; a_y-b_y).
3. Умножение вектора на число: ka = (ka_x; ka_y).

это интересно

Основное тригонометрическое тождество

Что такое основное тригонометрическое тождество и как его использовать

Подробнее

Длина вектора

Длина вектора, или модуль, – это числовая характеристика, показывающая «размер» вектора независимо от его направления. Геометрически это расстояние между начальной и конечной точками вектора.

Если вектор уже задан координатами (a_x; a_y), то его длина находится по формуле:

Если известны координаты начала A(x₁; y₁) и конца B(x₂; y₂) вектора, то найти его длину можно по формуле: 

Или можно найти изначально координаты вектора, зная координаты начала и конца, а затем воспользоваться первой формулой.

Возможна ситуация, когда нам неизвестны координаты вектора и координаты его точек. Тогда мы можем воспользоваться теоремой косинусов:

где α – угол между векторами.

Угол между векторами

В теореме косинусов для нахождения длины вектора нам встретилось понятие угла между векторами.

Угол между двумя векторами – это минимальный угол, на который нужно повернуть один вектор, чтобы его направление совпало с направлением другого вектора. Этот угол всегда находится в диапазоне от 0° до 180°. 

Рассмотрим, как будет выглядеть угол между векторами:

Если один из векторов или оба являются нулевыми, то угол между ними 0°.

Скалярное произведение векторов

Скалярное произведение – это мощный инструмент, который позволяет не только вычислять углы между векторами, но и определять их взаимное расположение в пространстве. Разберемся, как находить скалярное произведение и как значение угла α влияет на результат этой операции.

Скалярное произведение – это мощный инструмент, который позволяет не только вычислять углы между векторами, но и определять их взаимное расположение в пространстве. Разберемся, как находить скалярное произведение и как значение угла α влияет на результат этой операции.

Скалярное произведение векторов a и b вычисляется по формуле:

a × b = |a| × |b| × cosα,

где α – угол между векторами.

Значение угла α влияет на результат скалярного произведения. Так, если угол равен 0°, cos 0° = 1, произведение векторов максимально: a × b = |a| × |b|. Если угол равен 90°, cos 90° = 0, произведение векторов равно 0: a × b. = 0. Для значения угла 180°, cos 180° = -1, произведение векторов минимально: a × b = — |a| × |b|.

Соответственно, если угол острый, значение его косинуса положительно, произведение векторов тоже. Если угол тупой, то значение скалярного произведения отрицательно. 

Из основного определения скалярного произведения можно выразить косинус угла между векторами:

Также если векторы представлены через координаты a = (a_x; a_y), b = (b_x; b_y), можно найти скалярное произведение координатным методом: a × b = a_xb_x + a_yb_y.

Задачи по теме «Векторы в математике» 

Теперь, когда мы разобрали все основные понятия о векторах, давайте проверим, как вы можете применять эти знания на практике. Решите следующие задачи, используя изученные формулы и методы.

Задача 1

Даны векторы a = (2; -3), b = (-1;5). Найдите:

1. а + b
2. 2a — b

Задача 2

Вычислите длину вектора c = (6; -8).

Задача 3

Даны векторы m = (1; 0) и n = (0; 1). Найдите:

1. скалярное произведение m × n
2. угол между этими векторами 

Задача 4

Определите, являются ли векторы d = (2; -1) и p = (-6; 3) коллинеарными. Ответ обоснуйте.

Задача 5

Точка A имеет координаты (1;2), точка B -(4; 6). Найдите координаты вектора AB и его длину.

Популярные вопросы и ответы

Отвечает Ольга Комарова, учитель математики: