Логарифм

С древнегреческого «логарифм» переводится как «число отношений». Впервые о логарифмах заговорил шотландский математик Джон Непер в 1614 году. Затем логарифмические таблицы активно использовались в работе учеными и инженерами, но необходимость в них отпала с появлением калькуляторов и компьютеров. Однако и сегодняшние школьники должны уметь решать логарифмические задачи и примеры.

Что такое логарифм в алгебре

Логарифм – это показатель степени, в которую нужно возвести основание для получение определенного числа. При этом у логарифма есть условие, что основание должно быть больше нуля и не равно одному, а итоговое число должно быть больше нуля. Также у логарифма может быть целая часть – характеристика, и дробная – мантисса.   

Полезная информация о логарифмах

Основание логарифма

Основание логарифма считается его главной частью. Если у нескольких логарифмических функций равное основание, то с ними можно проводить различные операции. Основанием натурального логарифма называют число Эйлера – это число, приблизительно равное 2,71828.  

К основанию логарифма есть несколько требований:

• оно должно быть больше нуля;
• оно не может быть равно единице. Поскольку в какую бы степень ни возводили единицу, результат всегда будет единица.

Виды логарифмов

Существует несколько основных видов логарифмов. Познакомимся с ними подробнее.

Натуральный логарифм

Натуральным логарифмом называют логарифм по основанию а, где а – число, равное примерно 2,72. Обозначается натуральный логарифм на письме как ln b, log_a b, иногда просто log b, если основание а подразумевается.

Пример:

ln a = 1; a = a¹

Натуральные логарифмы используются при решении алгебраических уравнений, где неизвестная является показателем степени, они также необходимы в математическом анализе. 

это интересно

Первообразная

Важнейшее понятие, которое лежит в основе всего математического анализа

Подробнее

Десятичный логарифм

Десятичным логарифмом называют логарифм, основание которого равно 10. Десятичный логарифм числа а записывается как: log(a) или lg(a). То есть десятичным логарифмом числа а будет решение уравнения 10^x = a.

При этом различают вещественный и комплексный десятичные логарифмы. Вещественный десятичный логарифм числа а будет существовать только при значении а больше нуля, комплексный – при а не равном нулю.

Десятичный логарифм удобен при работе с круглыми числами.

Двоичный логарифм

Двоичным логарифмом называют логарифм по основанию 2. Для нахождения двоичного логарифма числа а необходимо решить уравнение 2^х = а.

Двоичный логарифм числа существует, если это число больше нуля.

Обозначается двоичный логарифм как lb a, lb(a), log₂ a.

Пример:

lb 1 = 0.

Основное логарифмическое свойство

Основное логарифмическое тождество следует из определения логарифма:

x^{log x Y}= y

Отсюда следует, что равенство двух вещественных логарифмов подразумевает равенство логарифмируемых выражений. То есть если log_x y = log_x z, то х^{logx Y}= х^{logx Z}. Тогда, согласно основному тождеству, у = z.

Другие свойства логарифмов

Знание свойств логарифмов поможет свести логарифм сложного выражения к простым арифметическим действиям над логарифмами.

1.  Логарифм единицы при любом основании равняется нулю: log_x 1 = 0.
2. Логарифм произведения равен сумме логарифмов сомножителей: log_x A B = log_x A + log_x B.
3. Логарифм частного равен разности логарифмов: log_x A / B = log_x A — log_x B.
4. Логарифм степени равен логарифму модуля основания, умноженному на показатель степени: log_x (A^b) = b × log_x A.
5. Логарифм корня равен логарифму модуля подкоренного выражения, поделенного на множитель корня: log_x а √В = log_x В / а.
6. Зависимость между логарифмами с различными основаниями определяется формулой: log_x A = 1 / log_y X × log_y A.

Задачи и примеры на тему «Логарифм»

Закрепим теорию на практике и решим несколько примеров по теме.

Пример 1

Решите уравнение: log₅ (5 — х) = 2 log₅ 3

Пример 2

log₂ (4 — х) = 7

Задача 1

36^{log6 5}

Ответы к задачам и примерам

Теперь проверим решения и сверим получившиеся ответы.

Решение 1

5 – х = 3²

5 – х =9

Х = -4

Решение 2

log₂ (4 — х) = log₂ 2⁷

4 – х = 2⁷

4 – х = 128

Х = -124

Решение 3

Популярные вопросы и ответы

Отвечает Роман Хадаханэ, преподаватель, популяризатор математики, основатель Школы Х2 I Математика ОГЭ ЕГЭ вживую: