Арифметическая прогрессия
Мы попросили преподавателя математики объяснить, что такое арифметическая прогрессия и какие формулы нужно знать, чтобы успешно сдать выпускной экзамен
В 9 классе на уроках алгебры школьники изучают арифметическую прогрессию и учатся решать задачи, используя полученные знания. В дальнейшем это пригодится для выполнения экзаменационной работы на ОГЭ и ЕГЭ.
Вместе с преподавателем математики узнаем, как находить разность и сумму первых членов арифметической прогрессии, изучим формулы и потренируемся в решении задач.
Что такое арифметическая прогрессия в алгебре
Числовая последовательность, в которой каждый следующий член отличается от предыдущего на одно и то же число d, называется арифметической прогрессией.
Полезная информация об арифметической прогрессии
| Числовая последовательность | Ряд чисел, каждому из которых возможно присвоить уникальный номер |
| Возрастающая числовая последовательность | Числовая последовательность, в которой каждый ее член, кроме первого, больше предыдущего |
| Убывающая числовая последовательность | Числовая последовательность, в которой каждый ее член, кроме первого, меньше предыдущего |
Формула арифметической прогрессии
Если известен первый член арифметической прогрессии a1 и ее разность d, то можно найти любой член этой последовательности по формуле:
an+1= an+d
К примеру, чтобы найти a2, a3 и a4 следует:
a2 = a1 + d
a3 = a2 + d = a1 + 2d
a4 = a3 + d = a1 + 3d
Чтобы найти n-ый член прогрессии, достаточно к a1 добавить (n-1) разностей:
an = a1+ d(n-1).
Потренируемся. Давайте найдем a2, a3, a10, a16 прогрессии, при условии, что a1 = 2, d = 5. То есть первый член арифметической прогрессии – 2, а каждый последующий больше предыдущего на 5.
Таким образом, получается:
a2=a1+d = 2+5 = 7
a3 = a2 + d = a1 + 2d = 2 + 2 • 5 = 12
a10 = a1 + d • (10 — 1) = 2 + 5 • (10 — 1) = 2 + 45 = 47
a16 = a1 + d • (16 — 1) = 2 + 5 • (16 — 1) = 2 + 75 = 77
Разность арифметической прогрессии
Чтобы найти разность арифметической прогрессии, достаточно из следующего члена вычесть предыдущий по формуле:
d = an+1 — an
К примеру, нам нужно найти разность арифметической прогрессии 5; 10; 15:
d = a2 — a1=a3 — a2
d = 15 — 10 = 5
d = 10 — 5 = 5
Сумма первых членов арифметической прогрессии
Чтобы найти сумму первых членов арифметической прогрессии, необходимо воспользоваться формулой:
\({\mathrm S}_{\mathrm n}=\;\frac{({\mathrm a}_1+{\mathrm a}_{\mathrm n})\;\cdot\;\mathrm n}2\;,\;\mathrm{где}\;\mathrm n\;–\;\mathrm{это}\;\mathrm{число}\;\\\mathrm{членов}\;\mathrm{последовательности}.\;\)
К примеру, нам нужно найти сумму первых восьми членов прогрессии, где a1= 5, d=10
\({\mathrm S}_8=\;\frac{(5+{\mathrm a}_8)\;\cdot\;8}2\)
Чтобы найти a8, используем формулу an = a1+d • (n — 1)
a8 = 5 + 10 • (8-1) = 5 + 70 = 75
\(\mathrm{Таким}\;\mathrm{образом},\:{\mathrm S}_8=\;\frac{(5+75)\;\cdot\;8}2\;=\;320\)
это интересно
Порядок действий в математике
Вспоминаем, как правильно делать вычисления со множеством действий
подробнее
Свойство арифметической прогрессии
Последовательность является арифметической прогрессией, только если каждый ее член, кроме первого, равен среднему арифметическому предыдущего и последующих членов.
Задачи и примеры на тему «Арифметическая прогрессия»
Чтобы лучше усвоить тему, предлагаем решить вместе пару задач.
Задача 1
Найдите разность арифметической прогрессии 12,6; 7,3; 2.
Задача 2
2 апреля Маша захотела подарить маме на день рождения, которое она отмечает 30 апреля, большой букет цветов. 2 апреля девочка отложила из карманных денег 20 рублей, а с каждым последующим днем откладывала на 30 рублей больше. Сколько денег накопит Маша на букет к 30 апреля?
Ответы к задачам
Давайте вместе проверим решения и ответы.
Задача 1
Чтобы найти разность, необходимо обратиться к формуле d = an+1 — an
Таким образом, получается:
d= a2-a1 = a3 — a2
d = 12,6-7,3 = 5,3
Ответ: 5,3
Задача 2
Для решения этой прогрессии нам нужно определить разность (d), первый член (a1) и число членов (n).
n – количество дней, которые Маша копит деньги
n = 30 — 2 + 1 = 29, так как откладывать Маша начала уже в первый день
d = 30
a1 = 20
\({\mathrm S}_{29}=\;\frac{(20+{\mathrm a}_{29})\;\cdot\;29}2\\{\mathrm a}_{29}=\;\;20+30\;\cdot\;(29-1)=20+30\;\cdot\;28=\;860\\{\mathrm S}_{29}=\;\frac{(20+{\mathrm a}_{29})\;\cdot\;29}2\;=\\=\mathrm S\;\frac{(20+860)\;\cdot\;29}2\;=\;12\;760\)
Ответ: 12 760 рублей
Популярные вопросы и ответы
Отвечает Иван Пежиров, преподаватель онлайн-уроков по математике для учеников 5-11 классов, репетитор по ОГЭ и ЕГЭ:
Почему арифметическую прогрессию изучают в 9 классе?
В 9 классе у школьников уже хорошо развит навык работы с формулами, текстовыми задачами и есть опыт в поисках закономерностей. К тому же арифметическую и геометрическую прогрессии проходятся друг за другом, а для геометрической прогрессии нужно уметь решать показательные уравнения, которые тоже изучаются в 9 классе.
Как отличить арифметическую прогрессию от геометрической?
В арифметической прогрессии каждый последующий член отличается от предыдущего на какое-то определенное число, а геометрической – во сколько-то раз.
В каком задании ЕГЭ по математике может понадобиться умение решать арифметические прогрессии?
Арифметическая прогрессия может встретиться в задании №10 и №16. Это текстовые и экономические задачи.
