Объем призмы
Призмой являются и двускатная крыша, и шестигранный карандаш, и треугольный сэндвич. Все эти объекты – трехмерные, а значит, имеют объем. Узнаем у эксперта, какие формулы пригодятся, чтобы вычислить объем призмы
Призма в геометрии – это трехмерное тело, имеющее два основания-многоугольника, лежащих в параллельных плоскостях, и несколько параллельных друг другу ребер, количество которых равно количеству углов основания. Школьники изучают это геометрическое тело в 10 классе, а к понятию объема призмы обычно переходят уже в 11-м. Вспомним формулы, которые помогут вычислить объем призмы, и решим несколько задач.
Что такое объем призмы в геометрии
Объем призмы в геометрии – это количество пространства, ей занимаемого. Переводя на привычные предметы, это количество воды, которое помещается в сосуд, имеющий форму призмы.
Полезная информация об объеме призмы
| Стандартное обозначение объема | V (от латинского volume) |
| Он измеряется в кубических метрах, галлонах, баррелях или литрах | А также в любых производных от них величинах: кубических сантиметрах, миллилитрах и прочих |
| Объем призмы – всегда неотрицательная величина | Так как длины сторон основания и ребер – скалярные величины и всегда больше либо равны нулю |
Формулы для вычисления объема призмы
Для нахождения объема призмы применяется несколько формул, и выбор при решении задач нужно делать, исходя из известных данных. Чтобы вы смогли решить большинство типовых заданий, перечислим основные методы вычисления.
Во всех выражениях будем использовать следующие обозначения:
V – объем призмы
Sосн – площадь основания
h – высота призмы
Дополнительные необходимые для разных методов параметры будем называть в конкретных формулах.
Объем правильной призмы через основание и высоту
Вспомним формулу нахождения объема правильной призмы. То есть такой прямой призмы, в основании которой лежит правильный многоугольник, например равносторонний треугольник или квадрат. Для вычисления понадобится знать площадь основания геометрического тела и его высоту.
Заметим, что это универсальная формула, и она подходит для любой, не только правильной, призмы.
V = Sосн * h
Объем прямой призмы через основание и боковое ребро
Так как у прямой призмы ребра перпендикулярны плоскости основания, любое из них можно принять за высоту. Обозначим длину ребра буквой l, тогда формула будет выглядеть следующим образом:
V = Sосн * l
Объем треугольной призмы
Треугольной называется призма, основания которой – треугольники. Объем такого геометрического тела вычисляется по основной формуле для призмы.
V = Sосн * h
Объем четырехугольной призмы
Основанием четырехугольной призмы могут быть параллелограммы, прямоугольники, квадраты или трапеции, но основная формула вычисления объема все та же: через площадь основания и высоту, которую иногда называют длиной призмы.
Ниже приведем вариант для частного случая: прямой четырехугольной призмы с прямоугольником в основании. Так как площадь прямоугольника – это произведение длин двух его смежных сторон (обозначим их буквами a и b), получаем следующую формулу:
V = a * b * h
Объем правильной шестиугольной призмы
Правильная шестиугольная призма – такая прямая призма, в основании которой лежит правильный шестиугольник, иначе называемый гексагоном. Его стороны равны, а углы составляют 120°. Вспомним формулу площади гексагона:
\(S\;=\;\frac{3\sqrt3}2\;\ast\;a^2,\:\\где\;a\;-\;длина\;стороны\;шестиугольника\;\)
Подставим это выражение и получим формулу объема правильной шестиугольной призмы:
\(V\;=\;\frac{3\sqrt3}2\;\ast\;a^2\;\ast\;h\)
Примеры и задачи по теме «Объем призмы»
Давайте потренируемся в вычислениях, решив несколько задач.
Задача 1
Шеф-повар Петров решил поставить в своем ресторане огромный шестиугольный аквариум в виде правильной призмы и разводить в нем креветок. Вычислите длину стороны основания аквариума для 1000 креветок, если для одной особи нужно три литра воды, а высотой сооружение будет ровно два метра.
Задача 2
Фермер Васильев, побывав в отпуске в Китае, впечатлился способом выращивания груш в виде фигурок Будды. Для получения таких плодов селекционеры надевают на каждый фрукт специальную форму, а после — ждут его созревания. Васильев решил применить эту технику в более практичном варианте и выращивать огурцы с квадратным сечением: такие овощи гораздо удобнее перевозить и нарезать.
Формы он решил заказать в виде четырехугольных прямых призм длиной 20 сантиметров. Вычислите сторону квадрата в основании такой призмы, если объем одного огурца приблизительно равен 250 квадратным сантиметрам.
Ответы к задачам
Рассмотрим подробно решение каждой задачи.
Задача 1
Воспользуемся формулой для правильной шестиугольной призмы:
\(V\;=\;\frac{3\sqrt3}2\;\ast\;a^2\;\ast\;h\)
Искомый объем:
1000 * 3 = 3000 литров, или 3 м3
Нам известна высота, вычислим длину стороны основания:
\(3\;=\;\frac{3\sqrt3}2\;\ast\;a^2\;\ast\;2\\a^2=3\div\frac{3\sqrt3}2\div2=\frac32\times\frac2{3\sqrt3}=\frac1{\sqrt3}=0,58\\a\;=\;\sqrt{0,58}\;\approx\;0,76\)
Ответ: Петрову нужен аквариум со стороной около 0,76 метра. Так как радиус описанной вокруг правильного шестиугольника окружности равен длине его стороны, сооружение получится примерно полтора метра диаметром.
Задача 2
Применим основную формулу для прямой призмы, учитывая, что площадь квадратного основания равна удвоенной длине его стороны.
V = Sосн * h
250 = a * a * 20
a2 = 12,5
a ≈ 3,5
Ответ: Фермеру Васильеву понадобятся формы с размерами: 3,5 x 3,5 x 20 сантиметров.
Популярные вопросы и ответы
Отвечает Альбина Бабурчина, репетитор по математике, автор курсов по подготовке к ЕГЭ и ОГЭ по математике
Где в жизни может пригодиться умение вычислять объем призмы?
В век открытия искусственного интеллекта сложно представить ситуацию, когда естественный интеллект, то есть мозг, нужно использовать для вычисления объема призмы. Но если представить ситуацию, что человек застрял в лифте без интернета и очень интересуется, на какое время ему хватит кислорода, то такое умение вполне может пригодиться, чтобы вычислить объем воздуха, который помещается в кабину лифта.
Почему объем призмы изучают в 11 классе?
Чаще всего объем призмы и других многогранников изучают в 11 классе, реже начинают изучение в 10-м. Главное, что к этому моменту ученики уже знают основные понятия для пространственной геометрии: аксиомы, теоремы, варианты расположения и взаимодействия прямых и плоскостей в пространстве.
В каком задании ЕГЭ понадобится умение вычислять объем призмы?
В экзамене «базового» уровня задачи на объем призмы можно встретить в 11-м и 13-м заданиях.
В первой части ЕГЭ по профильной математике эти знания проверяет третья задача. А во второй части это номер 14, и в нем нужно предоставить не только ответ, но и решение и правильно выполненный рисунок.
В первой части ЕГЭ по профильной математике эти знания проверяет третья задача. А во второй части это номер 14, и в нем нужно предоставить не только ответ, но и решение и правильно выполненный рисунок.
