Объем куба
Почему важно уметь вычислять объем куба, какие возможности открывает знание данного геометрического понятия и где оно применяется в реальной жизни – объясняют учителя математики
Объем тела – это пространство, занимаемое внутри него воздухом. Знания об объеме тела используют в различных сферах повседневной жизни. Возможность находить объем объекта поможет вам рассчитать, сколько материала он может в себя вместить. Например, у вас есть несколько пирожков, испеченных мамой, которые нужно отнести бабушке. Умея находить объем тела, вы с легкостью сможете найти подходящую корзинку, способную вместить в себя все пирожки.
Что такое объем куба в геометрии
Куб – это правильный многогранник, у которого все грани – квадраты, а все углы – прямые. Эта фигура обладает множеством интересных свойств, что делает ее важным объектом для изучения в геометрии.
Под объемом куба мы понимаем количество пространства, занимаемое этим трехмерным объектом.
Записывается объем положительным числом и измеряется в кубических единицах: м3, см3, мм3 и других.
Полезная информация об объеме куба
| Единичный куб | Куб, у которого ребром является единичный отрезок, а гранью единичный квадрат. Единичными кубами можно измерить объем чего угодно, от воды до любого объекта. Объем куба равен количеству единичных кубов, составляющих куб. |
| Кубометр | Кубометру равен объем куба с ребром 1 м. Кубический метр — единица объема, которая является производной в Международной системе единиц (СИ), поэтому для удобства решения задач по физике объем принято измерять в м3. |
| Может пригодиться | Отношение объемов кубов равно кубу коэффициента подобия. V1/V2 = k3 |
Формулы для вычисления объема куба
При решении любого задания мы «вытаскиваем» из условия те данные, которые позволяют применить нужную формулу. Чтобы найти объем куба, можно воспользоваться одной из приведенных ниже.
Объем куба через ребро
Так как у куба длины всех ребер равны, обозначим его m.
Тогда V= m • m • m = m3.
V= m3
Объем куба через площадь полной поверхности
У куба все грани – квадраты, всего их 6, значит площадь полной поверхности куба равна Sполн = 6 • m2.
Выразим из этой формулы m:
\(m^2\;=\;\frac{S_{полн}}6\\m\;=\;\sqrt{\frac{S_{полн}}6}\)
Подставим в V = m3 значение m, которое получили выше:
\(V\;=\;\left(\sqrt{\frac{S_{полн}}6}\right)^3=\frac{\sqrt{{S^3}_{полн}}}{6\;\times\sqrt6}\;\;\)
$$V\;=\;\frac{\sqrt{S^3полн}}{6\;\times\sqrt6}$$
Объем куба через диагональ грани
d – диагональ грани куба
Используем теорему Пифагора:
d2 = m2 + m2
d2 = 2m2
\(Отсюда\;m\;=\;\frac d{\sqrt2}
\)
Подставим в V = m3 значение m, которое получили выше:
\(V\;=\;\;\left(\frac d{\sqrt2}\right)^3=\;\frac{d^3}{2\sqrt2}\;\)
$$\;\;V\;=\;\frac{d^3}{2\sqrt2}\;$$
Объем куба через диагональ куба
p – диагональ куба
Используя теорему Пифагора:
p2 = m2 + 2m2
p2 = 3m2
\(Отсюда\;m\;=\;\frac p{\sqrt3}
\)
Подставим в V = m3 значение m, которое получили выше:
\(V\;=\;\;\left(\frac p{\sqrt3}\right)^3=\;\frac{p^3}{3\sqrt3}
\)
$$V\;=\;\;\frac{p^3}{3\sqrt3}$$
Примеры и задачи по теме «Объем куба»
Посмотрим, как работают формулы при решении задач.
Задача 1
Сколько литров воды необходимо поставить для отстаивания в аквариум кубической формы, если высота его 40 см?
Задача 2
\(Найдите\;объем\;куба,\;если\;диагональ\\\;его\;грани\;равна\;6\sqrt2\;см?
\)
Задача 3
\(Найдите\;площадь\;полной\;поверхности\;куба,\;\\если\;его\;объем\;равен\;48\sqrt6\;м^3?\)
это интересно
Объем параллелепипеда
Что такое объем параллелепипеда и где пригодится формула для его расчета
подробнее
Ответы к задачам
Рассмотрим пошагово решение каждой задачи и запишем ответы.
Задача 1
Воспользуемся формулой для нахождения объема куба через ребро:
V= m3
V= 40 • 40 • 40 = 64000 (см3)
Так как 1литр = 1000см3, получим 64000 см3 = 64 литра
Ответ: необходимо отстоять 64 литра воды.
Задача 2
Воспользуемся формулой для нахождения объема куба через диагональ грани:
\(V\;=\frac{d^3}{2\sqrt2}\;\;\\V\;=\frac{\left(6\sqrt2\right)^3}{2\sqrt2}=\frac{6\sqrt2\;\times\;6\sqrt2\;\times\;6\sqrt2}{2\sqrt2}=\\=\;3\;\times\;36\;\times\;2\;=\;216\;(см^3)\)
Ответ: V = 216 (см3)
Задача 3
Получим ответ, применив формулу для нахождения объема куба через площадь полной поверхности:
\(V\;=\;\frac{\sqrt{{S^3}_{полн}}}{6\;\times\sqrt6}\;\\\sqrt{{S^3}_{полн}}=\;V\;\times\;6\sqrt6\;\\\sqrt{{S^3}_{полн}}=\;48\sqrt6\;\times\;6\sqrt6=\;\\=\;48\;\times\;6\;\times\;6\;=\;8\;\times\;6\;\times\;6\;\times\;6\;\;\\{S^3}_{полн}=\;{(2^3\times\;6^3)}^2=\;{(2^2\times6^2)}^3\;\;\\S_{полн}\;=\;2^2\times6^2=\;4\;\times\;36\;=\;144(м^2)\;\\Ответ:\;S_{полн}\;=\;144(\;м^2\;)\)
Популярные вопросы и ответы
Отвечает Светлана Кудряшова, учитель математики и физики:
Где в жизни может пригодиться умение вычислять объем куба?
Вычисление объема куба, безусловно, является нужным для жизни умением. Этот навык может быть использован при:
• вычислении объема воды в прямоугольном аквариуме;
• при расчете мощности компрессора для аквариума;
• при приобретении емкости для полива растений на даче;
• при монтаже печи и водонагревателя в бане и для решения других задач.
Предполагаю, что жизнь может привести человека в ситуацию, когда нужно будет найти объем куба, которую мы сейчас даже представить не можем.
• вычислении объема воды в прямоугольном аквариуме;
• при расчете мощности компрессора для аквариума;
• при приобретении емкости для полива растений на даче;
• при монтаже печи и водонагревателя в бане и для решения других задач.
Предполагаю, что жизнь может привести человека в ситуацию, когда нужно будет найти объем куба, которую мы сейчас даже представить не можем.
Почему объем куба изучают в 11 классе?
С понятием «куб» дети знакомятся очень рано, еще в детском саду: играя, они используют кубики. Именно тогда формируется первичное понятие о кубе. Объем куба начинают вычислять в 5 классе при изучении темы «Квадрат и куб числа», тогда же знакомятся с формулой V=abc. В 11 классе эту формулу выводят с помощью интеграла.
В каком задании ЕГЭ понадобится умение вычислять объем куба?
Умение вычислять объем куба может понадобится при решении задания №3 при сдаче ЕГЭ. Кроме того, эти знания могут быть использованы в процессе изучения физики, химии.
