Параллельные прямые
Что такое параллельные прямые, какими признаками и свойствами они обладают
Параллельные прямые — это линии, которые никогда не пересекаются, даже если их бесконечно продолжать. Они всегда остаются на одинаковом расстоянии друг от друга, как рельсы поезда или полосы на пешеходном переходе. Такие линии встречаются повсюду: в архитектуре, технике, природе. Знание о параллельности помогает строить здания, создавать чертежи и понимать основы геометрии.
В этой статье вы узнаете, как определить параллельные прямые, зачем они нужны и где применяются.
Что такое параллельные прямые в геометрии
Параллельными называются две прямые, которые лежат в одной плоскости и не пересекаются, сколько бы их ни продолжали. Например, противоположные края стола или линии на листе в клетку.
Полезная информация о параллельных прямых
В таблице собрана основная и важная информация о параллельных прямых.
| Важное о параллельных прямых | Подробности |
| Определение | Две прямые в одной плоскости, которые никогда не пересекаются |
| Обозначение | a || с (читается: «прямая a параллельна прямой с») |
| Расстояние между ними | Расстояние между параллельными прямыми одинаково в любой точке |
| Признак параллельности | Если две прямые перпендикулярны третьей, то они параллельны друг другу |
| Аксиома параллельности | Через точку вне данной прямой проходит единственная прямая, ей параллельная |
Углы, образованные секущей параллельных прямых
Если две параллельные прямые пересекает третья линия (ее называют секущей), образуется восемь углов. Эти углы делятся на три группы, у которых есть особые свойства. Для удобства запоминания можно представить их расположение на схеме.
Соответственные углы
Соответственные углы расположены на разных параллельных прямых, но по одну сторону от секущей. Примеры пар углов: ∠1 и ∠5, ∠2 и ∠6, ∠4 и ∠8, ∠3 и ∠7.
Свойство: Если прямые параллельны, то соответственные углы равны.
Как запомнить: Углы «стоят» в одинаковых позициях относительно секущей и параллельных прямых.
Накрест лежащие углы
Накрест лежащие углы лежат по разные стороны от секущей, между параллельными прямыми. Примеры пар углов: ∠3 и ∠5, ∠4 и ∠6.
Свойство: Если прямые параллельны, то накрест лежащие углы равны.
Как запомнить: Форма, напоминающая букву Z (углы на ее «зубцах»).
Односторонние углы
Односторонние углы расположены с одной стороны от секущей, между параллельными прямыми. Примеры пар углов: ∠4 и ∠5, ∠3 и ∠6.
Свойство: Если прямые параллельны, то сумма односторонних углов равна 180°.
Как запомнить: Их сумма дополняет угол до прямой линии.
Свойства параллельных прямых
Параллельные прямые обладают уникальными характеристиками, которые позволяют использовать их в геометрии и реальной жизни. Вот главные свойства.
- Никогда не пересекаются. Даже если их продлевать бесконечно, они всегда остаются на одинаковом расстоянии друг от друга. Рельсы поезда не сходятся, иначе состав бы сошел с пути.
- Равенство расстояний: расстояние между двумя параллельными прямыми одинаково во всех точках.
Представьте, что вы рисуете две линии на тротуаре мелом. Если они параллельны, то ширина между ними везде будет одной и той же — так получается ровная дорожка. Именно это свойство используют строители, чтобы стены зданий не «заваливались». - Перпендикулярность: Если одна из параллельных прямых перпендикулярна секущей, то и другая тоже ей перпендикулярна.
Представьте разметку парковочных мест. Если одна из белых линий перпендикулярна бордюру (секущая), то и все параллельные ей линии тоже будут строго перпендикулярны бордюру. Это гарантирует, что машины встанут ровно и не перекроют проезд. - Параллельные прямые не теряют параллельность, даже если их повернуть или отразить зеркально. Например, если вы развернете рельсы на 30 градусов, они все равно не пересекутся. Это свойство используют инженеры при проектировании вращающихся механизмов.
это интересно
Признаки параллельных прямых
Это условия, позволяющие точно определить, что две прямые параллельны. Если выполняется хотя бы один из признаков, прямые не пересекаются.
Равенство соответственных углов
Если при пересечении двух прямых секущей соответственные углы равны, то прямые параллельны. Угол 1 и угол 5 расположены сверху слева от секущей. Если ∠1 = ∠5, то a || b.
Равенство накрест лежащих углов
Если накрест лежащие углы равны, то прямые параллельны. Угол 4 и угол 6 лежат по разные стороны от секущей, между прямыми. Если ∠4 = ∠6, то a || b.
Сумма односторонних углов равна 180°
Если два угла с одной стороны от секущей в сумме дают 180°, то прямые параллельны. Угол 3 и угол 6 расположены между прямыми с одной стороны от секущей. Если ∠3 + ∠6 =180°, то a || b.
Пошаговая инструкция по построению параллельной прямой, проходящей через заданную точку
Чтобы создавать чертежи зданий, ровные узоры на ткани или корректную 3D-графику в играх, нужно уметь строить параллельную прямую, проходящую через заданную точку. Ниже рассмотрим основные этапы построения параллельной прямой с помощью классических геометрических инструментов — линейки и циркуля. Этот метод основан на свойстве равенства углов, образованных пересечением параллельных прямых секущей.
Подготовьте инструменты и исходные данные
Перед тем, как начать, убедитесь, что у вас есть:
- линейка,
- циркуль,
- карандаш,
- исходная прямая (например, m),
- точка A, через которую нужно провести параллельную прямую.
Для точного построения важно иметь четко обозначенные исходные элементы: прямую и точку.
Выберите опорную точку на исходной прямой
Чтобы задать направление, необходимо выбрать точку на исходной прямой, которая станет ориентиром для построения.
На исходной прямой m отметьте произвольную точку B. Соедините точку A (через которую нужно провести параллельную прямую) с точкой B отрезком BA.
Отрезок BA создает угол с исходной прямой m, который будет использован для построения параллельности.
Постройте равный угол
Установите ножку циркуля в точке B и проведите дугу радиусом R, пересекающую m и BA. Отметьте точки пересечения D (на m) и C (на AB).
Перенесите циркуль в точку A, проведите дугу того же радиуса R. Отметьте точку P на BA.
Измерьте циркулем расстояние CD. Отложите его от точки P на новой дуге, получив точку Q.
Это создаст угол PAQ, равный углу CBD, что гарантирует параллельность по признаку равенства соответственных углов.
Проведите параллельную прямую
Теперь можно завершить построение.Через точки A и Q проведите прямую t с помощью линейки.
Если углы построены верно, прямая t будет параллельна m.
Проверьте точность
Важно убедиться, что построение выполнено корректно. Для этого наложите линейку на обе прямые и проверьте, что расстояние между ними остается постоянным. Или используйте треугольник: приложите его к исходной прямой и перемещайте вдоль линейки — параллельная прямая должна совпадать с ребром треугольника.
В евклидовой геометрии постоянное расстояние между прямыми или равенство соответственных углов — признаки параллельности.
Задачи по теме «Параллельные прямые»
Теперь порешаем практические задачи.
Задача 1
При проектировании крыши дома два стропила (параллельные прямые m и n) соединены вертикальной затяжкой k, образуя угол ∠1 = 65° с одним из стропил (см. рисунок). Определите величину угла ∠2 между затяжкой k и вторым стропилом n.
Задача 2
При создании декоративной решетки для вентиляционного фасада монтажники проверили параллельность горизонтальных планок AB и CD. Они положили вертикальную перекладину MN, которая образует с планкой AB угол ∠АMN = 58°, с планкой CD — угол ∠DNM = 58° (см. рисунок). Какой вывод сделают монтажники?
Ответы к задачам
Ниже разберем решение обеих задач.
Задача 1
Стропила m и n параллельны (стандартное требование для симметричных крыш). Затяжка k является секущей. ∠1 = 65° — угол между стропилом m и затяжкой k.
Применим свойства параллельных прямых.
Углы ∠1 и ∠3 — соответственные при параллельных стропилах m, n и секущей k. По свойству параллельных прямых: ∠1 = ∠3 = 65°
Находим угол ∠2.
Углы ∠2 и ∠3 — смежные, их сумма равна 180°: ∠2 = 180° −∠3 = 180° − 65° = 115°.
Ответ: ∠2 = 115°.
Задача 2
По данным рисунка найдем угол ∠1.
Перекладина MN является секущей для планок AB и CD. Углы ∠ АMN и ∠ DNM — накрест лежащие, так как они расположены по разные стороны от секущей MN и лежат между прямыми AB и CD.
По признаку параллельности прямых, если накрест лежащие углы равны, то прямые параллельны. Так как ∠АMN = ∠DNM = 58° монтажники сделают вывод, что AB || CD.
Ответ: монтажники заключат, что планки AB и CD параллельны, так как накрест лежащие углы при секущей MN равны.
Популярные вопросы и ответы
Чем отличаются скрещивающиеся прямые от параллельных?
Параллельные прямые лежат в одной плоскости и никогда не пересекаются, сколько бы их ни продолжали. Они сохраняют одинаковое расстояние между собой на всем протяжении.
Скрещивающиеся прямые — это прямые, которые не лежат в одной плоскости и также не пересекаются. Они могут располагаться в пространстве произвольно, но не имеют общих точек. Например, дороги на разных уровнях эстакады или линии перил на соседних этажах лестницы. Эти прямые не параллельны, так как их направление не совпадает, и они не находятся в одной плоскости.
Скрещивающиеся прямые — это прямые, которые не лежат в одной плоскости и также не пересекаются. Они могут располагаться в пространстве произвольно, но не имеют общих точек. Например, дороги на разных уровнях эстакады или линии перил на соседних этажах лестницы. Эти прямые не параллельны, так как их направление не совпадает, и они не находятся в одной плоскости.
Почему параллельные прямые изучают в 7 классе?
Параллельные прямые вводятся в 7 классе, так как начинается систематическое изучение геометрии. В большинстве школьных программ геометрия как отдельный предмет стартует в 7 классе. Параллельные прямые — одна из первых тем, которая закладывает базу для понимания аксиоматики Евклида.
Изучение признаков параллельности (например, через равенство углов) учит строить логические цепочки и доказывать утверждения, что важно для освоения математики. Без понимания параллельных прямых невозможно освоить:
1. свойства параллелограммов, трапеций и других фигур;
2. теорему Фалеса и подобие треугольников;
3. основы стереометрии, где изучается параллельность прямых в пространстве и плоскостей.
Примеры из жизни (рельсы, линии разметки) делают тему наглядной, помогая связать теорию с реальным миром.
В каких заданиях ОГЭ и ЕГЭ по математике понадобится знание темы «Параллельные прямые»?
Знания о параллельных прямых пригодятся в нескольких типах заданий на ОГЭ и ЕГЭ по математике: в заданиях, где нужно доказать равенство отрезков или углов, использовать свойства параллельных прямых (например, равенство соответствующих или накрест лежащих углов); в задачах на вычисление длин сторон, площадей или углов в фигурах, где есть параллельные стороны; в заданиях, где нужно определить уравнения прямых, проверить параллельность или найти координаты пересечения линий.
Эти задания часто встречаются в части, связанной с планиметрией и стереометрией, а также в вопросах, проверяющих умение применять геометрические знания в практических ситуациях.
Эти задания часто встречаются в части, связанной с планиметрией и стереометрией, а также в вопросах, проверяющих умение применять геометрические знания в практических ситуациях.
