Теорема о трех перпендикулярах
В этой статье мы остановимся на одной из фундаментальных теорем стереометрии — теореме о трех перпендикулярах. Рассмотрим доказательство и решим несколько задач по этой теме
Часто теорема о трёх перпендикулярах встречается в 13-м задании профильной части ЕГЭ по математике. За верное решение этой задачи повышенного уровня начисляется 3 балла. В статье мы рассмотрим доказательство теоремы и решим пару задач по теме. Это поможет ученику быть на шаг впереди к хорошему результату в сдаче экзамена.
Формулировка теоремы о трех перпендикулярах
Если прямая, принадлежащая плоскости, перпендикулярна проекции наклонной к этой плоскости, то она перпендикулярна и самой наклонной.
Доказательство теоремы о трех перпендикулярах
Дано:
АВ — перпендикуляр к плоскости α
АС — наклонная
ВС — проекция АС на плоскость α
Прямая с ∈ α, проходящая через основание наклонной АС, точку С
с ⊥ ВС
Доказать:
с ⊥ АС
Доказательство:
Проведем прямую КС, параллельно прямой АВ.
КС II АВ (по построению), АВ ⊥ α (по условию) } ⟹ КС ⊥ α.
Если плоскость перпендикулярна одной из двух параллельных прямых, то она перпендикулярна и другой, значит, и любой прямой этой плоскости, следовательно, КС ⊥ с.
Проведем через параллельные прямые АВ и КС плоскость (параллельные прямые определяют плоскость, причем только одну).
КС ⊥ с (по построению), ВС ⊥ с (по условию) } ⟹ с ⊥ АС
Прямая с перпендикулярна двум пересекающимся прямым лежащим в плоскости , значит, она перпендикулярна и любой прямой, принадлежащей этой плоскости. То есть прямая с, лежащая в плоскости α, перпендикулярна наклонной АС. Что и требовалось доказать.
Важно!
Во многих учебниках в формулировке данной теоремы говорится, что прямая, проведенная в плоскости, проходит через основание наклонной. Однако это необязательное условие. Главное, чтобы она была перпендикулярна проекции наклонной. Тогда прямая будет перпендикулярна и самой наклонной.
Задачи на теорему о трех перпендикулярах
Задача 1
Дана пирамида МABC с высотой МA. Известно, что в основании лежит прямоугольный треугольник с прямым углом C. Найдите угол между ребрами МC и BC. Ответ дайте в градусах.
Решение:
Так как по условию задачи МA — высота пирамиды, то МA ⊥ (ABC). АС — проекция наклонной МC на плоскость ABC. Так как AC ⊥ BC, то по теореме о трех перпендикулярах МC ⊥ BC, следовательно, угол между МС и BC равен 90°.
Задача 2
Дан прямоугольный параллелепипед ABCDA1B1C1D1. AD = 5, DD1 = 5. Докажите, что прямые АD1 и А1С перпендикулярны.
Доказательство:
Заметим, что прямая А1D является проекцией наклонной А1С на грань ADD1A1. Грань ADD1A1 — квадрат, следовательно, прямая AD1 перпендикулярна проекции А1D. Таким образом, прямая AD1 перпендикулярна А1С по теореме о трёх перпендикулярах.
Популярные вопросы и ответы
Почему теорему о трех перпендикулярах изучают на геометрии в 10 классе?
Большинство окружающих нас объектов, созданных и человеком, и самой природой, не являются плоскими. Раздел геометрии, изучающий фигуры в пространстве (куб, параллелепипед, призма и так далее) и их свойства, называют стереометрией и проходят в 10 классе. Поэтому мы и применяем данную теорему при решении стереометрических задач.
Как звучит обратная теорема о трех перпендикулярах?
Если прямая, принадлежащая плоскости, перпендикулярна наклонной к этой плоскости, то она перпендикулярна и проекции наклонной.
Для чего используется теорема о трех перпендикулярах?
Решать геометрические задачи с помощью теоремы о трех перпендикулярах — это не только подготовка к хорошей сдаче экзамена. Это поможет научиться логически мыслить, отстаивать свою точку зрения при доказательстве, уметь творчески подходить к любому делу.
Где в жизни можно применить теорему о трех перпендикулярах?
Теорема о трех перпендикулярах позволяет облегчить измерительные или строительные работы: здесь перпендикуляр и наклонная — основные понятия. Например, использование теоремы о трёх перпендикулярах необходимо при строительстве каркаса крыши. Перпендикулярность проекций доказывает перпендикулярность наклонных, и в итоге скат крыши — прямоугольный треугольник. Поэтому далее для расчетов используются другие знания из планиметрии для прямоугольного треугольника: теорема Пифагора, синус, косинус и другие.
