Периметр треугольника
Этот математический термин с древнегреческого переводится, как «измеряю вокруг». Догадались? Правильно, в этой статье речь пойдет о периметре треугольника и о некоторых формулах для его нахождения
Периметр можно вычислить не только у квадрата и прямоугольника. В этой статье мы рассмотрим, что такое периметр треугольника и как его посчитать.
Что такое периметр треугольника
Треугольник – это геометрическая фигура, образованная тремя точками, не лежащими на одной прямой, и попарно соединяющими их отрезками. Периметром треугольника называется сумма длин его сторон.
Полезная информация о периметре треугольника
| При нахождении периметра важно обращать внимание на единицы измерения длины | Они должны быть одинаковые. |
| Полупериметр – половина периметра: р = Р : 2 | Встречается в формулах и при решении задач. |
| Кто первым нашел периметр треугольника | Периметр умели находить в древности. Однако точно сказать, кто первым его нашел, невозможно. Один из трактатов, где упоминается периметр — «Элементы» Евклида, написанный около 300 лет до нашей эры. |
Формулы периметра прямоугольника
Далее рассмотрим формулы, которые чаще всего используются при решении задач.
Через три стороны
Посчитать периметр треугольника можно, сложив все его стороны:
Р = АВ + ВС + СА или Р = a + b + c
Для равнобедренного треугольника
Равнобедренным называют треугольник, у которого две стороны равны. Формула для нахождения периметра равнобедренного треугольника выглядит так:
Р = a + b + b = a + 2b
Для равностороннего треугольника
По определению у равностороннего треугольника длины всех сторон равны. Поэтому формула периметра треугольника будет такой:
P = a + a + a = 3a
Для прямоугольного треугольника
P = a + b + c
Если неизвестна гипотенуза с или какой-то из катетов а или b , то, применяя теорему Пифагора, получим формулы:
\(\mathbf1\boldsymbol.\;c\;=\;\sqrt{a^2+b^2}\;\Rightarrow\;\\P\;=\;a\;+\;b\;+\;\sqrt{a^2+b^2}\;\;\;\;\;\;\;\\\mathbf2\boldsymbol.\;a\;=\;\sqrt{c^2-b^2}\Rightarrow\;\\P\;=\;\sqrt{c^2-b^2}\;+\;b\;+\;c\;\\\mathbf3\boldsymbol.\;b\;=\;\sqrt{c^2-a^2}\;\Rightarrow\;\\P\;=\;a\;+\;\sqrt{c^2-a^2}\;+\;c\)
Для треугольника, через радиус вписанной окружности
\(S\;=\;p\;\cdot\;r\;,\;где\\p\;–\;полупериметр,\\тогда\;\;S\;=\;(\;P\;:\;2)\;\cdot\;r,\\P\;–\;периметр,\;\\и\;отсюда\;получаем\;формулу\\периметра:\;Р\;=\;\frac{2\;\cdot\;S}r,\;где\;r\;–\\радиус\;вписанной\;окружности,\;\;\\S\;–\;площадь\;треугольника.\)
Задачи на нахождение периметра треугольника с решением
Рассмотрим применение формул при решении задач.
Задача 1
Найдите периметр треугольника, если одна сторона 150 мм, другая 13 см, а третья 1,7 дм.
Важно!
Все три стороны записаны в разных единицах длины, поэтому сначала переводим их в одну систему измерения длины.
Дано: треугольник,
а = 150 мм = 15см,
b = 13 см,
с = 1,7 дм = 17 см
Найти: Р
Решение: Р = а + b + c
P = 15 + 13 + 17 = 45 (см)
Ответ: периметр треугольника равен 45 см.
Задача 2
Найдите периметр прямоугольного треугольника, если его катеты равны 1,2 см и 1,6 см соответственно.
Дано: прямоугольный треугольник,
а = 1,2 см
b = 1,6 см
Найти: Р
Решение:
\(Для\;нахождения\;периметра\;нам\;необходимо\;знать\;длину\;\\гипотенузы,\;поэтому\;используем\;формулу\;\;P\mathit\;\mathit=\mathit\;a\mathit\;\mathit+\mathit\;b\mathit\;\mathit+\mathit\;\sqrt{\mathit a^{\mathit2}\mathit+\mathit b^{\mathit2}}\\\;\;\\\mathrm Р\;=\;1,2\;+\;1,6\;+\;\sqrt{{(1,2)}^2+{(1,6)}^2}\;=\;\\=1,2\;+\;1,6\;+\;\sqrt{1,44+2,56}\;=\\=\;1,2\;+\;1,6\;+\;\sqrt4\;=\;1,2\;+\;1,6\;+\;2\;=\;4,8\;(\mathrm{см})\)
Ответ: 4,8 см
Задача 3
Деревянный забор, огораживающий сад треугольной формы со сторонами 22 м, 17 м, 14 м, пришел в негодность, и хозяева решили заменить его на забор из профнастила. Длина одного листа 1,2 м, сколько листов необходимо приобрести?
Решение: Найдем периметр участка Р = 22 + 17+ 14 = 53 м,
53 : 1,2 = 44,1(6)
Ответ: необходимо приобрести 45 листов.
Популярные вопросы и ответы
В чем измеряется периметр треугольника?
Периметр записывается в единицах измерения длины: мм, см, дм, м и так далее.
Для чего со 2 по 8 класс изучают периметр треугольника?
Обучение теме «Треугольники» в школе циклично. Сначала со 2 класса по 6 класс ребята знакомятся с понятием треугольник, с их видами, учатся различать их и строить, узнают, что такое периметр. В 7 классе с началом геометрии происходит повторение ранее пройденного материала, а затем изучение нового и решение задач на основе тех знаний, которые ребята приобрели к 8 классу.
Для чего в жизни может понадобиться умение находить периметр треугольника?
Во всех областях, где могут встретиться треугольники, может пригодиться и умение находить его периметр. Например, в физике – для расчета траектории движения тела, в строительстве, в географии и картографии, в математике, в экономике – для расчета стоимости и количества материала.
