Площадь трапеции

Площадь трапеции — это не просто математическое понятие, а универсальный инструмент для расчета площади поверхностей в различных областях деятельности. 

Что такое площадь трапеции

Трапеция – это выпуклый четырехугольник, у которого две стороны параллельны, а две другие не параллельны. 

Параллельные стороны a; b – основания, не параллельные стороны c; d – боковые («ножки»).

h – высота, расстояние между параллельными сторонами (длина перпендикуляра).

Площадью трапеции называют часть плоскости, заключенной внутри данной фигуры. Площадь трапеции можно определить по количеству единичных квадратов, которое в нее помещается.

Например, в трапецию вошло 14 единичных квадратов со стороной 1 см — значит, ее площадь 14 см². 

Полезная информация о площади трапеции 

Кто первым нашел площадь трапеции	Площадь трапеции умели находить в Древней Греции Пифагор и Евклид, в Египте при строительстве пирамид применяли формулу. В трудах  арабских математиков Аль-Хорезми и Аль-Карафи были предложены методы для ее нахождения, но кто был первым — неизвестно.
Как найти площадь трапеции, если известна длина ее средней линии	Средняя линия трапеции – это отрезок, соединяющий середины боковых сторон. Она параллельна основаниям и равна их полусумме.m = (a+b) : 2          S = m ∙ h
Если многоугольник составлен из нескольких многоугольников,то его площадь равна сумме площадей этих многоугольников	Это свойство площадей применимо и к трапеции, так как ее можно разбить на различные многоугольники, например на два треугольника и прямоугольник.

Формулы площади трапеции

Площадь трапеции через рисование единичных квадратов не всегда возможно вычислить. В этом случае легче воспользоваться формулами.

Через основания и высоту

Площадь трапеции равна произведению полусуммы длин оснований на длину ее высоты.

\(\mathrm S\;=\;\frac{\mathrm a+\mathrm b}2\;\;\cdot\;\mathrm h\)

Эта формула чаще всего используется при решении задач.

Через диагонали и угол между ними

Если известны значения диагоналей трапеции и угла между ними, для вычисления площади трапеции можно воспользоваться следующей формулой:

S = 0,5 ∙ d₁ ∙ d₂ ∙ sin α =
= 0,5 ∙ d₁ ∙ d₂ ∙ sin β

Через четыре стороны

Если сторона a больше стороны b (a > b), сторона c больше стороны d (с > d), можно использовать формулу:

\(\mathrm S\;=\;\frac{\mathrm a+\mathrm b}2\;\;\cdot\\\cdot\;\sqrt{\mathrm c^2-\;\left(\frac{\mathrm с^2-\mathrm d^2\;+\left(\mathrm a-\mathrm b\right)^2}{2\;\cdot\;(\mathrm a-\mathrm b)}\right)^2}\)

Задачи на нахождение площади трапеции с решением

Применим наши знания на практике.

Задача 1 

На клетчатой бумаге с размером клетки 11 изображена трапеция. Найдите ее площадь. Глядя на трапецию можно заметить, что она непривычной для нас формы. Это трапеция, у которой два противолежащих угла тупые. 

Есть два способа решения задачи. Рассмотрим оба. Первый способ: по формуле.

Дано: трапеция

a = 12 единиц
b = 8 единиц
h = 6 единиц

Найти: S

Решение:

Подставляем и считаем.

Второй способ

Делим трапецию на части: два треугольника и квадрат.

Треугольники достраиваем до прямоугольника. Считаем количество клеток в каждом и делим пополам.

Получили 6 квадратных единиц и 18 квадратных единиц. Ведем подсчет клеток в квадрате, их 36 квадратных единиц.

Ну а теперь по свойству площадей находим сумму площадей наших частей:

S = 6 + 18 + 36 = 60 кв. ед.

Ответ: 60 квадратных единиц.                                                                                             

Задача 2

Найдите площадь трапеции, если длины диагоналей 12 см и 8 см, а угол между ними 60⁰.

Дано: трапеция

d₁ = 12 cм
d₂ = 8 cм
α = 60⁰

Найти: S

Решение: S = 0,5 ∙ d₁ ∙ d₂ ∙ sin α

Подставляем и считаем.

S = 0,5 ∙12 ∙ 8 ∙ sin 60⁰ = ¹/₂ ∙ 12 ∙ 8 ∙ ^√3/₂ = 24√3 см²

Ответ: 24√3 см²

Популярные вопросы и ответы