Площадь квадрата
Вместе с экспертом разбираемся, что такое площадь квадрата и какие формулы нужны, чтобы ее рассчитать
На уроках математики школьники не просто решают примеры по алгоритму. Дети учатся анализировать, развивают пространственное мышление, знакомятся с разными способами решения задач. В этом им помогают темы по основным геометрическим понятиям и пространственным величинам.
Одна из таким тем — площадь квадрата. Школьники изучают ее по принципу «от простого к сложному»: сначала исследуют базовые понятия, потом учатся решать задачи и использовать разные переменные. Тема не раз встречается в школьных учебниках и входит в ОГЭ и ЕГЭ.
Что такое площадь квадрата
Площадь квадрата — это величина, которая показывает, сколько места в пространстве занимает геометрическая фигура. Для обозначения сторон квадрата могут использоваться целые числа, дроби и разные единицы измерения.
Полезная информация о площади квадрата
| Площадь квадрата школьники начинают изучать уже во 2 классе | Дети учатся решать примеры по формуле и знакомятся с первыми понятиями по геометрии. |
| Площадь всегда измеряется в квадратных единицах | В школьных учебниках чаще всего используются такие единицы измерения: мм2, см2, дм2, м2, км2. При решении необходимо следить, чтобы все значения были приведены к единым меркам. |
| С помощью площади квадрата можно найти площади более сложных фигур | Например, многоугольник можно разбить на несколько простых фигур, найти их площади и узнать величину всей фигуры. |
Формулы площади квадрата
Площадь квадрата можно рассчитать разными способами, в зависимости от того, какие исходные данные есть в задаче. В школах изучают пять основных формул. Разберем их подробнее.
Через длину стороны
Самая распространенная формула — расчет через длину стороны. Благодаря своей простоте задачи по этому алгоритму подходят для младших классов.
Решения строятся на том, что квадрат — это разновидность прямоугольника. Значит, их площади рассчитывается одинаково: необходимо перемножить две смежные стороны. Так как у квадрата они равны друг другу, можно возвести сторону во вторую степень.
Если площадь квадрата S, а — его сторона, формула выглядит так:
$$S\;=\;a\;\cdot a\;=\;a^2$$
Через длину диагонали
Бывает, что в задачах нет данных о сторонах квадрата, зато известна его диагональ. Эта линия соединяет противоположные углы фигуры.
Чтобы рассчитать площадь, необходимо возвести диагональ в квадрат, а потом разделить на 2.
Обозначим диагональ d, и получится следующая формула:
$$S\;=\;(d\;\cdot\;d)\;:\;2\;=\;\frac{d^2}2$$
Через радиус вписанной окружности
Если по условию задачи внутрь квадрата вписана окружность, можно рассчитать площадь с помощью ее радиуса. Для этого необходимо возвести радиус в квадрат и дополнительно умножить получившийся результат на 4.
В формуле радиус вписанной окружности обозначается строчной латинской буквой r:
$$S\;=\;4\;\cdot\;r^2$$
Через радиус описанной окружности
Если описать вокруг квадратной фигуры окружность и рассчитать ее радиус, это поможет вычислить площадь квадрата. Сначала длину радиуса необходимо возвести во вторую степень. Затем удвоить полученное число.
Для формулы радиус описанной окружности запишем буквой R:
$$S\;=\;2\;\cdot\;R^2$$
Через периметр
Периметр квадрата — это сумма всех его сторон. Он помогает вычислить площадь фигуры, даже если в задаче больше нет других данных.
Порядок действий при решении может быть разный. Один способ: возвести периметр во вторую степень, а потом разделить полученное число на 16.
Если этот способ кажется громоздким и трудным для запоминания, можно пойти вторым путем. Необходимо разделить периметр на 4. Полученное число — это одна сторона квадрата. Дальше используем самую простую формулу: возводим длину во вторую степень.
Обозначим периметр буквой P и запишем обе формулы:
$$S\;=\;\frac{p^2}{16}\\S=\left(\frac p4\right)^2$$
Задачи на нахождение площади квадрата с решением
Применим на практике несколько формул, чтобы рассчитать площадь квадрата.
Задача 1
Трибуна для болельщиков имеет форму квадрата. Длина стороны равна 50 м. Рассчитайте площадь, которую занимает трибуна на стадионе.
Дано:
а = 50 м
Найти: S
Решение: так как стороны трибуны известны, перемножим две стороны между собой.
50 × 50 = 250 м²
Ответ: трибуна занимает 250 м²
Задача 2
Строительная бригада должна отремонтировать квадратную комнату. Известно, что расстояние между противоположными углами помещения составляет 6 м. Рассчитайте площадь комнаты.
Дано:
d = 6 м
Найти: S
Решение: используем формулу расчета площади с помощью диагонали, потому что нам известен только этот показатель.
S = (6 × 6)/2 = 36/2 = 18 м²
Ответ: площадь комнаты составляет 18 м²
Популярные вопросы и ответы
Отвечает Валентина Мохова, репетитор по математике, преподаватель онлайн-школы School Stories
В чем измеряется площадь квадрата?
Площадь квадрата и любых других фигур всегда измеряется в квадратных единицах. Школьники часто забывают этот нюанс и пишут обычные единицы измерения. Советую после решения дополнительно проверять: правильно ли вы написали ответ.
Для чего нужно уметь во 2-8 классах уметь вычислять площадь квадрата?
Эта тема неразрывно связана с другими знаниями по математике. Чем старше класс, тем более сложные задачи встречаются в учебниках. Например, нужно рассчитать площадь сложной фигуры с большим количеством углов. Или посчитать площадь, когда неизвестна сторона квадрата. Без знаний разных формул здесь не обойтись. Кроме того, эта тема включена в государственные экзамены.
Где пригодится в жизни умение вычислять площадь квадрата?
Эта тема имеет большое прикладное значение. Такие простые школьные знания пригодятся, когда делаете ремонт и нужно купить достаточное количество строительных материалов или когда хотите понять, поместится ли новая мебель в комнату.
