Показательные неравенства

Представьте, что вы наблюдаете за стремительным ростом числа зараженных во время эпидемии или за распадом радиоактивного вещества. Все эти процессы описываются показательной функцией, а чтобы их анализировать и прогнозировать, необходимо уметь работать с показательными неравенствами. Это важный инструмент для сравнения скоротечных изменений в науке, экономике и IT.

В отличие от линейных и квадратных неравенств, здесь переменная находится не в основании степени, а в ее показателе — это и определяет особые правила и методы их решения.

Что такое показательные неравенства в алгебре

Показательное неравенство — это неравенство, в котором неизвестная переменная содержится в показателе степени.

В таких неравенствах всегда сравниваются:

• показательная функция и число
• две показательные функции

Знаком сравнения может быть любой из символов: >, <, ≥, ≤.
Выделяют три основных вида показательных неравенств.

Простейшие показательные неравенства

Неравенства, где с одной стороны неравенства стоит показательная функция, а с другой — число.

a^f(x) > b,

где:  

• a — основание степени, положительное число, не равное 1 (a > 0, a ≠ 1),
• f(x)  — выражение, зависящие от переменной x,
• b — заданное число.

Пример: 2^{(x + 1)} > 8

Стандартные показательные неравенства

Неравенства, где сравниваются две степени, основания которых могут быть равны или приводиться к одному значению.

a^f(x) > a^g(x),

где:

• a — основание степени, положительное число, не равное 1 (a > 0, a ≠ 1),
• f(x) и g(x) — выражения, зависящие от переменной x.

Пример: 9^x ≤ 27^{(x — 1)}

Показательно-степенные неравенства

Неравенства, где переменная есть и в основании, и в показателе степени.

f(x)^g(x) > f(x)^h(x),

где:

• f(x), g(x) и h(x) — выражения, зависящие от переменной x (f(x) > 0).

Пример: (3x — 1)^{(x — 5)} > 1

Полезная информация о показательных неравенствах 

Поняв общую классификацию показательных неравенств, полезно запомнить несколько ключевых характеристик, которые определяют подход к решению всех типов показательных неравенств. Эти свойства объясняют, почему методы решения работают именно так, а не иначе.

Что такое решение неравенства

Решить показательное неравенство — значит найти все значения переменной x, при которых неравенство становится верным.

В отличие от показательных уравнений, которые часто имеют конечное число корней, решения показательных неравенств обычно представляют собой бесконечное множество значений — числовой промежуток или объединение нескольких промежутков.

Рассмотрим два примера:

• Уравнение 3^x = 9 → x = 2
• Неравенство 3^x > 9 → x > 2 → x ∈ (2; +∞)

Типы решений неравенств

Результат показательного неравенства может быть записан различными способами. Существует три основные формы записи решений.

1. Запись в виде неравенства. Является самым простым способом представить решение. Типы записи:

• x > a, x < a — строгий ответ
• x ≥ a, x ≤ a — нестрогий ответ
• a < x < b, a ≤ x ≤ b, a < x ≤ b, a ≤ x < b — двойное неравенств

Примеры:
3^{(x + 1)} ≥ 9 → x ≥ 1
2 < 2^x < 8 → 1 < x < 3 

2. Запись в виде числового промежутка. Является более формальной математической записью.

Типы промежутков:

• (a; b) — интервал (a < x < b)
• (a; b] — полуинтервал (a < x ≤ b)
• [a; b) — полуинтервал (a ≤ x < b)
• [a; b] — отрезок (a ≤ x ≤ b)
• (-∞; a) — открытый луч (x < a)
• (a; +∞) — открытый луч (x > a)
• (-∞; a] — закрытый луч (x ≥ a)  
• [a; +∞) — закрытый луч (x ≥ a)

Примеры:
5^x < 125 → x ∈ (-∞; 3)
2^(x-2) ≥ ½ → x ∈ [1; +∞)

3. Графическое представление. Наглядный способ изображения решения на числовой прямой.

Правила обозначений:

• ● — точка включается (для знаков ≥ или ≤)
• ○ — точка не включается (для знаков > или <)
• → или ← — направление решения

Примеры:

4^(-x) ≤ 64 → x ∈ [-3; +∞)

2^{(2x — 3)} < 2 → x ∈ (-∞; 2)

Все три формы записи решений являются равнозначными и используются в зависимости от конкретной задачи или требований. В школьной практике часто требуется представлять решение всеми тремя способами.

это интересно

Свойства степеней

Повторим свойства степеней с натуральным и рациональным показателями

подробнее

Методы решения показательных неравенств

Для решения показательных неравенств используется несколько ключевых методов, выбор которых зависит от вида неравенства. Все они делятся на три основные типа.

Методы логарифмирования и приведения к одному основанию для неравенств вида a^f(x) > b (или <, ≥, ≤)

Алгоритм решения: 

1. Проанализируйте правую часть неравенства b. 

Если b ≤ 0:

• неравенство a^f(x) > b (или ≥ b) верно при всех x,
• неравенство a^f(x) < b (или ≤ b) не имеет решений.

Если b > 0, переходите к шагу 2.

2. Сравните показатель степени f(x) со специальным значением: нам нужно найти такое число, при подстановке которого вместо f(x) выполняется равенство a^f(x) = b. Выберите один из двух способов перехода к более простому неравенству.

• Логарифмирование. Прологарифмируйте число b по основанию a.

Ключевой момент: значение основания a определяет, сохранится ли знак неравенства или изменится. 

Если a > 1, знак неравенства сохраняется: 

a^f(x) > b ⇔ f(x) > log_ab
a^f(x) < b ⇔ f(x) < log_ab

Если 0 < a < 1, знак неравенства меняется на противоположный: 

a^f(x) > b ⇔ f(x) < log_ab
a^f(x) < b ⇔ f(x) > log_ab

• Приведение к одному основанию. Подберите такую степень c, чтобы a^c = b.

Исходное неравенство принимает вид: a^f(x) > a^c. Значение основания степени a влияет на сохранение или изменение знака неравенства. Если а > 1, знак неравенства сохраняется: 

a^f(x) > b ⇔ f(x) > c
a^f(x) < b ⇔ f(x) < c

Если 0 < a < 1, знак неравенства меняется на противоположный:

a^f(x) > b ⇔ f(x) < c
a^f(x) < b ⇔ f(x) > c

3. Решите полученное неравенство относительно x.

Примеры

Решим неравенство: 3^(x+2) < 81.
Основание 3 > 1, значит, знак сохраняется: 
x + 2 < log₃81
Так как 81 = 3⁴, то log₃81 = 4.
Получаем: x + 2 < 4 → x < 2.
Ответ: x ∈ (-∞; 2)

Решим неравенство: (½)^(2x-1) ≥ 4.
Основание 0 < ½ < 1, значит, знак меняется на противоположный: 
2x — 1 ≤ log _½4
Так как 4 = (½)^-2, то log_½4 = -2.
Получаем: 2x — 1 ≤ -2 → 2x ≤ -1 → x ≤ -0,5.
Ответ: x ∈ (-∞; -0,5]

Решим неравенство: 5^x > -10
Выражение 5^x всегда положительно, а число -10 отрицательно. Положительное число всегда больше отрицательного. Следовательно, неравенство верно при любом x.

Формально, по алгоритму: основание 5 > 1, знак сохраняется: x > log₅(-10). Но логарифм от отрицательного числа не определен. Это сигнализирует о том, что классический метод не нужен, а ответ — все действительные числа.

Ответ: x ∈ x ∈ (-∞; +∞)

Метод сравнения показателей степени для неравенств вида a^f(x) > a^g(x) (или <, ≥, ≤) 

Этот метод является частным случаем предыдущего, где b = a^g(x). Алгоритм решения: 

1. Убедитесь, что основания равны. Если основания не равны, представьте все степени в неравенстве как степени с одним основанием, используя свойства степеней. 
2. Сравните показатели, учитывая основание a. Если a > 1, знак неравенства сохраняется: a^f(x) > a^g(x) ⇔ f(x) > g(x).
   
   Если 0 < a < 1, знак неравенства меняется на противоположный:
   a^f(x) > a^g(x) ⇔ f(x) < g(x).
3. Решите полученное неравенство относительно x.

Примеры

Решим неравенство: 5^{(3x — 1)} > 5^{(x + 2)}. 
Основание 5 > 1, знак сохраняется.
Переходим к показателям: 3x — 1 > x + 2.
Решаем: 3x — x > 2 + 1 → 2x > 3 → x > 1,5.
Ответ: x ∈ (1,5; +∞)

Решим неравенство: 9^(x+1) ≤ 27^(x-2).
Приводим обе части к основанию 3:
9^(x+1) = (3²)^(x+1) = 3^{(2x + 2)}
27^(x-2) = (3³)^(x-2) = 3^{(3x — 6)}
Получаем: 3^{(2x + 2)} ≤ 3^{(3x — 6)}
Основание 3 > 1, знак сохраняется.
Переходим к показателям: 2x + 2 ≤ 3x — 6.
Решаем: 2x — 3x ≤ -6 — 2 → -x ≤ -8 → x ≥ 8.
Ответ: x ∈ [8; +∞)

Метод замены переменной для неравенств с повторяющимся выражением a^f(x)

Этот метод является универсальным приемом для упрощения сложных показательных неравенств, которые сводятся к алгебраическим, чаще всего квадратным. Данный способ работает для тех неравенств, в которых можно выделить повторяющееся выражение a^f(x). Алгоритм решения:

1. Преобразуйте неравенство, чтобы выделить повторяющееся выражение вида a^f(x).
2. Введите новую переменную. Чаще всего заменяют t = a^f(x). Важно: поскольку a^f(x) > 0, то t > 0.Решите полученное алгебраическое 
3. неравенство относительно t с учетом условия t > 0.
4. Вернитесь к исходной переменной, подставив t в замену.
5. Решите полученное простейшее показательное неравенство. 

Примеры

Решим неравенство: 4^x — 3 × 2^x — 4 > 0.
Преобразуем: 4^x — 3 × 2^x — 4 > 0 → (2 × 2)^x — 3 × 2^x — 4 > 0 → 2^2x — 3 × 2^x — 4 > 0.
Выполним замену: t = 2^x, t > 0.
Получаем: t² — 3t — 4 > 0 — квадратное неравенство.
Решаем полученное выражение любым способом решения квадратных неравенств и получаем решение: t < -1 и t > 4.
Учитывая, что t > 0, остается  t > 4
Возвращаемся обратно к переменной x: 2^x > 4
Решаем простейшее неравенство: 2^x > 4 → 2^x > 2² → x > 2.
Ответ: x ∈ (2; +∞)

Решим неравенство: 5^{(x + 1)} + 5^{(2 — x)} > 30.
Используем свойства степеней: 
5^{(x + 1)} = 5 × 5^x
5^{(2 — x)} = 25/5^x
Неравенство принимает вид: 5 × 5^x + 25/5^x > 30.
Выполним замену: t = 5^x, t > 0.
Получаем: 5t + 25/t > 30 — дробно-рациональное неравенство.
Перенесем все слагаемые в левую часть и приведем к общему знаменателю:
5t²/t + 25/t — 30t/t > 0.
Домножаем полученное неравенство на неизвестную t. Мы можем выполнить данное действие, так как по условию t > 0, знак неравенства остается неизменным.
Получаем: 5t² + 25 — 30t > 0.
Решаем полученное выражение любым способом решения квадратных неравенств и получаем решение: t < 1 и t > 5.
Учитывая, что t > 0, остается 0 < t < 1 и t > 5.
Возвращаемся обратно к переменной x и решаем два простейших неравенства:
0 < 5^x < 1 → 5^x < 5⁰ → x < 0
5^x > 5 → 5^x > 5¹ → x > 1
Оба решения входят в ответ.
Ответ: x ∈ (-∞; 0) ∪ (1; +∞)

Классический метод для неравенств вида f(x)^g(x) > f(x)^h(x) (или <, ≥, ≤)

Алгоритм решения: 

1. Найдите область допустимых значений (ОДЗ): основание степени должно быть строго положительным: f(x) > 0.
2. Разберите два случая:
   f(x) > 1, знак неравенства сохраняется: f(x)^g(x) > f(x)^h(x) ⇔ g(x) > h(x).
   0 < f(x) < 1, знак неравенства меняется на противоположный:
   f(x)^g(x) > f(x)^h(x) ⇔ g(x) < h(x).
3. Решите системы неравенств для каждого случая, учитывая их условия.
4. Если исходное неравенство строгое (> или <), то значения x, в которых f(x) = 1, не включатся в ответ. Если неравенство нестрогое (≥ или ≤), то точки, в которых f(x) = 1 включаются в ответ. 
5. Объедините решения, найденные в первом и во втором случаях, а также, при необходимости, граничные точки.
6. Определите решения, удовлетворяющие ОДЗ.

Примеры

Решим неравенство: (x — 2)^{(x + 1)} > 1.
ОДЗ: x — 2 > 0 → x > 2
Заметим, что справа стоит 1, единицу можно представить в виде (x — 2)⁰.
Неравенство принимает вид: (x — 2)^{(x + 1)} > (x — 2)⁰. При x — 2 > 1 знак сохраняется: x + 1 > 0. 
Решаем систему двух неравенств:
x — 2 > 1 → x > 3
x + 1 > 0 → x > -1
Объединяем x > 3 и x > -1: x ∈ (3; +∞).
При  0 < x — 2 < 1 знак меняется на противоположный: x + 1 < 0.
Решаем систему двух неравенств:
0 < x — 2 < 1 → 2 < x < 3
x + 1 < 0 → x < -1
Объединяем 2 < x < 3 и x < -1: x ∈ ∅
Так как исходное неравенство строгое, то точка, в которой x — 2 = 1 → x = 3, не включается в ответ.
Объединяем решения двух случаев, учитывая ОДЗ: x ∈ (3; +∞)
Ответ: x ∈ (3; +∞)    

Решим неравенство: (x + 1)^{(2x — 5)} ≥ (x + 1)^{(x — 1)}
ОДЗ: x + 1 > 0 → x > -1
При x + 1 > 1 знак сохраняется: 2x — 5 ≥ x -1.
Решаем систему двух неравенств:
x + 1 > 1 → x > 0 
2x — 5 ≥ x -1 → x ≥ 4
Объединяем x > 0 и x ≥ 4: x ∈ [4; +∞).
При 0 < x + 1 < 1 знак меняется на противоположный: 2x — 5 ≤ x -1.
Решаем систему двух неравенств:
0 < x + 1 < 1 → -1 < x < 0
2x — 5 ≤ x -1 → x ≤ 4
Объединяем -1 < x < 0 и x ≤ 4: x ∈ (−1; 0).
Так как исходное неравенство нестрогое, то точка, в которой x + 1 = 1 → x = 0, включается в ответ.
Объединяем решения двух случаев и граничную точку, учитывая ОДЗ: x ∈ (-1; 0] ∪ [4; +∞).
Ответ: x ∈ (-1; 0] ∪ [4; +∞)

Метод рационализации для неравенств вида f(x)^g(x) > f(x)^h(x) (или <, ≥, ≤)

Алгоритм решения: 

1. Найдите ОДЗ: основание степени должно быть строго положительным: f(x) > 0.
2. Перенесите все слагаемые в одну сторону: f(x)^g(x) — f(x)^h(x) > 0.
3. Замените неравенство на равносильное:
   f(x)^g(x) — f(x)^h(x) > 0 ⇔ (f(x) — 1)(g(x) — h(x)) > 0.
4. Решите полученное алгебраическое неравенство.
5. Если исходное неравенство строгое (> или <), то значения x, в которых f(x) = 1, не включаются в ответ. Если неравенство нестрогое (≥ или ≤), то точки, в которых f(x) = 1, включаются в ответ. 
6. Определите решения, удовлетворяющие ОДЗ.

Примеры

Решим неравенство: (x — 2)^{(x + 1)} > 1.
ОДЗ: x — 2 > 0 → x > 2
Заметим, что справа стоит 1, единицу можно представить в виде (x — 2)⁰.
Неравенство принимает вид: (x — 2)^{(x + 1)} > (x — 2)⁰.
Переносим значение из правой части в левую: (x — 2)^{(x + 1)} — (x — 2)⁰  > 0.
Применяем рационализацию: ((x — 2) — 1)((x + 1) — 0) > 0.
Решаем неравенство методом интервалов: 
((x — 2) — 1)((x + 1) — 0) > 0 → (x — 3)(x+1) > 0 → x ∈ (−∞; −1) ∪ (3; +∞).
Так как исходное неравенство строгое, то точка, в которой x — 2 = 1 → x = 3, не включается в ответ.
Накладываем на полученное решение ОДЗ: x ∈ (3; +∞).
Ответ: x ∈ (3; +∞)

Решим неравенство: (x + 1)^{(2x — 5)} ≥ (x + 1)^{(x — 1)}
ОДЗ: x + 1 > 0 → x > -1
Переносим значение из правой части в левую: (x + 1)^{(2x — 5)} — (x + 1)^{(x — 1)} ≥ 0.
Применяем рационализацию: ((x + 1) — 1)((2x — 5) — (x — 1)) ≥ 0. 
Решаем неравенство методом интервалов: 
((x + 1) — 1)((2x — 5) — (x — 1)) ≥ 0 → x(x — 4) ≥ 0 → x ∈ (−∞; 0] ∪ [4; +∞).
Так как исходное неравенство нестрогое, то точка, в которой x + 1 = 1 → x = 0, включается в ответ.
Накладываем на полученное решение ОДЗ: x ∈ (−1; 0] ∪ [4; +∞).
Ответ: x ∈ (−1; 0] ∪ [4; +∞)

Системы показательных неравенств

Системы показательных неравенств — это набор из двух или более неравенств, которые должны выполняться одновременно для одних и тех же значений переменной. Система может содержать только однотипные неравенства — показательные, так и разнотипные — сочетать показательные неравенства с линейными, квадратными, дробно-рациональными и другими типами неравенств.

Алгоритм:

1. Решить каждое неравенство отдельно любым методом.
2. Найти пересечение всех решений — общую область, где выполняются все неравенства системы одновременно. 

При решении систем с разнотипными неравенствами особенно внимательно нужно учитывать области определения каждого неравенства и находить их общую часть.

Примеры

Решим систему неравенств:

Решаем первое неравенство: 3^{(x + 2)} < 81 → 3^{(x + 2)} < 3⁴ → x + 2 < 4 → x < 2.
Решаем второе неравенство: 2^{(x — 1)} ≥ 4 → 2^{(x — 1)} ≥ 2² → x — 1 ≥ 2 → x ≥ 3. 
Находим пересечение x < 2 и x ≥ 3. Общих решений нет.
Ответ: x ∈ ∅

Решим систему неравенств:

Решаем первое неравенство: 5^{(2x — 3)} > 25 → 5^{(2x — 3)} > 5² → 2x — 3 > 2 → x > 2,5.
Решаем второе неравенство: 3x — 1 < 11 → x < 4.
Находим пересечение x > 2,5 и x < 4. Общее решение: x ∈ (2,5; 4).
Ответ: x ∈ (2,5; 4)

Задачи по теме «Показательные неравенства»

Закрепите изученные методы на практике. Попробуйте решить эти задачи, подобрав для каждой подходящий способ решения. Не забывайте про ОДЗ и правило смены знака.

Задача 1

Решите неравенство: 2^{(x + 3)} > 16.

Задача 2

Решите неравенство: ½^{(3x — 5)} ≤ ½^{(x + 7)}.

Задача 3

Решите неравенство: (2x — 4)^(x+1) < (2x — 4)^{(3x — 5)}. 

Задача 4

Решите неравенство: 9^x − 4 × 3^x + 3 ≥ 0.

Задача 5

Решите систему:

Ответы к задачам

Сверьте свои решения и ответы. Если что-то не сходится — вернитесь к соответствующему методу и разберитесь в ошибке.

Задача 1

Решим неравенство: 2^{(x + 3)} > 16.
Основание 2 > 1, значит, знак сохраняется: x + 3 > log₂16.
Так как 16 = 2⁴, то log₂16 = 4.
Получаем: x + 3 > 4 → x > 1.
Ответ: x ∈ (1; +∞)

Задача 2

Решим неравенство: ½^{(3x — 5)} ≤ ½^{(x + 7)}
Основание 0 < ½ < 1, знак меняется на противоположный.
Переходим к показателям: 3x — 5 ≤ x + 7.
Решаем: 3x — x ≤ 7 + 5 → 2x ≤ 12 → x ≤ 6
Ответ: x ∈ (-∞; 6]

Задача 3

Решим неравенство: (2x — 4)^(x+1) < (2x — 4)^{(3x — 5)}
ОДЗ: 2x — 4 > 0 → x > 2
Переносим значение из правой части в левую: (2x — 4)^(x+1) — (2x — 4)^{(3x — 5)} < 0.
Применяем рационализацию: ((2x — 4) — 1)((x + 1) — (3x — 5)) < 0. 
Решаем неравенство методом интервалов: 
((2x — 4) — 1)((x + 1) — (3x — 5)) < 0→ (2x — 5)(-2x + 6) < 0 → x ∈ (−∞; 2,5) ∪ (3; +∞).
Так как исходное неравенство строгое, то точка, в которой 2x — 4 = 1 → x = 2,5, не включается в ответ.
Накладываем на полученное решение ОДЗ: x ∈ (2; 2,5) ∪ (3; +∞).

Ответ: x ∈ (2; 2,5) ∪ (3; +∞)

Задача 4

Решим неравенство: 9^x − 4 × 3^x + 3 ≥ 0.
Преобразуем: 9^x − 4 × 3^x + 3 ≥ 0 → (3 × 3)^x — 4 × 3^x + 3 ≥ 0 → 3^2x — 4 × 3^x + 3 > 0.
Выполним замену: t = 3^x, t > 0.
Получаем: t² — 4t + 3 ≥ 0 — квадратное неравенство.
Решаем полученное выражение любым способом решения квадратных неравенств и получаем решение: t ≤ 1 и t ≥ 3.
Учитывая, что t > 0, остается 0 < t ≤ 1 и t ≥ 3.
Возвращаемся обратно к переменной x и решаем два простейших неравенства: 
0 < 3^x ≤ 1 → 3^x ≤ 3⁰ → x ≤ 0
3^x ≥ 3 → 3^x ≥ 3¹ → x ≥ 1
Оба решения входят в ответ.

Ответ: x ∈ (-∞; 0] ∪ [1; +∞)

Задача 5

Решаем первое неравенство: 3^{(x — 2)} ≤ 27 → 3^{(x — 2)} ≤ 3³ → x — 2 ≤ 3 → x ≤ 5. 
Решаем второе неравенство: 4^{(x + 1)} > 2^{(2x — 3)} → 2^{2(x + 1)} > 2^{(2x — 3)} → 2(x + 1) > (2x — 3) → 2x + 2 > 2x — 3 → 2 > -3 — верно при всех x.
Так как решение первого неравенства x ≤ 5, а второго любое значение x, то общее решение: x ∈ (-∞; 5].

Ответ: x ∈ (-∞; 5]

Популярные вопросы и ответы

Отвечает Ольга Комарова, учитель математики: