Модуль числа
В этой статье мы рассмотрим важность модуля числа в алгебре, раскрыв его суть, освежим в памяти основные формулы и разберем популярные вопросы, чтобы вы смогли уверенно решать задачи
Модуль числа – это неотъемлемая часть в математике, с которой сталкивается абсолютно каждый. Он не только помогает определить расстояние между двумя точками на числовой прямой, но и является важным инструментом при решении различных задач в математике и физике. Давайте вместе разбираться, что же такое модуль числа, как он работает и как его можно применять на практике.
Что такое модуль числа в математике
Модулем (абсолютной величиной) числа называется само это неотрицательное число или противоположное ему число в том случае, если оно отрицательное.
|c| = c, если c > 0
|c| = -c, если с < 0
Обозначается модуль так: |c|; |9|; |-9|.
Знание модуля действительных чисел в математике применяется с 6 класса на протяжении всего курса обучения.
Полезная информация о модуле числа
| Геометрический смысл модуля | Модуль – это расстояние, на котором данное число находится от 0 (начала отсчета), независимо от направления |
| Расстояние между двумя точками на числовой прямой | Равно абсолютной величине (модулю) разности координат этих точек. Например, даны точки С(с) и D(d), тогда расстояние CD=|c-d|=|d-c| |
| Свойство арифметического квадратного корня | Для любого действительного числа с выполняется равенство √с2 = |с| |
Модуль положительного числа
Модуль положительного числа равен самому числу.
Например, |6| = 6; |5,789| = 5,789; |7/15| = 7/15.
Модуль отрицательного числа
Модуль отрицательного числа равен противоположному числу, то есть положительному.
Например, |-6| = 6; |-5,789| = 5,789; |-7/15| = 7/15.
Модуль комплексного числа
Модулем ненулевого комплексного числа называется расстояние от точки комплексной плоскости до начала координат.
\(Если\;дано\;число\;к=х+iу,\;то\;\vert к\vert=\sqrt{x^2+y^2}\)
Модуль суммы чисел
Модуль суммы чисел меньше или равен сумме модулей этих чисел.
\(\vert c+k\vert\leq\;\vert c\vert\;+\;\vert k\vert\)
\(Например,\;\vert-6+3\vert\leq\vert-6\vert+\vert3\vert\Rightarrow\vert-3\vert\leq\vert-6\vert+\vert3\vert\Rightarrow3<9\)
Свойства модуля числа
Нужно знать некоторые свойства модуля числа.
- Модуль числа является неотрицательным числом: |c|≥ 0.
- Модули противоположных чисел равны: |c| = |-c|.
- Модуль произведения двух чисел равен произведению модулей этих чисел: |c × d| = |c| × |d|.
- Модуль частного равен частному модулей: |c/d| = |c|/|d|; d≠ 0.
- Квадрат модуля равен квадрату этого числа: |c|2 = c2.
- Модуль разности двух чисел меньше или равен сумме модулей этих чисел: |c — k|≤ |c| + |k|
это интересно
Геометрическая прогрессия
Как решать задачи с геометрической прогрессией, которые встречаются на каждом шагу
Подробнее
Задачи и примеры на тему «Модуль числа»
Давайте вместе решим пару задач.
Задача 1
Вычислите: |-5| — |-6,3| : |0,9|.
Задача 2
Решите уравнение: Ix2– 4| = 21.
Ответы к задачам
Проверяем.
Задача 1
|-5| — |-6,3| : |0,9|
|-5| — |-6,3| : |0,9| = 5 — 7 = -2
Ответ: -2
Задача 2
Ответ: -5; 5
Популярные вопросы и ответы
Отвечает Светлана Кудряшова, учитель математики высшей категории:
Как подготовиться к самостоятельной или контрольной работе на тему «Модуль числа»?
Чтобы подготовиться к контрольной работе, нужно выучить определение модуля, понять переход к кусочной функции, знать график модуля, геометрический смысл модуля числа, свойства модуля. Порешать ряд типовых заданий из задачника, рабочей тетради или других источников.
Почему модуль числа изучают в 6 классе?
Модуль изучают в 6 классе, так как именно в 6 классе появляются противоположные числа, отрицательные и вводится понятие множества целых чисел.
В каких заданиях ОГЭ и ЕГЭ по математике могут встретиться задачи на тему «Модуль числа»?
Задачи на эту тему встречаются в номере 18 ЕГЭ с параметром и в номере 15 (решение неравенств повышенного уровня сложности). В ОГЭ это номер 22 – построение графиков функций с параметром повышенного уровня сложности.
