Системы линейных уравнений

Представим простую ситуацию: нужно узнать стоимость одного товара, если известно, сколько таких товаров купили и какую сумму заплатили за всю покупку. В подобной задаче достаточно обозначить неизвестную стоимость через x, составить линейное уравнение и найти его решение. Но иногда условий становится больше и одной неизвестной уже недостаточно.

Например, нужно определить стоимость двух разных товаров, если известны их общая стоимость и разница в цене. Тогда цену одного товара можно обозначить через x, другого — через y, а каждое условие записать в виде отдельного линейного уравнения. Решать их независимо друг от друга нельзя: необходимо найти такие значения x и y, которые будут удовлетворять сразу обоим условиям.

Для таких случаев в математике используют системы уравнений. Вместе с экспертом разберемся, как устроены системы линейных уравнений, какими способами их можно решать и почему одна система может иметь единственное решение, другая — бесконечно много, а третья — не иметь решений вовсе.

Что такое система линейных уравнений в алгебре

Система линейных уравнений — это два или более линейных уравнения с одними и теми же переменными, которые должны выполняться одновременно. Уравнения системы объединяют фигурной скобкой.

В общем виде систему двух линейных уравнений с двумя переменными можно записать так:

где: 

• x и y — неизвестные переменные; 
• a₁, a₂, b₁, b₂ — коэффициенты; 
• c₁ и c₂ — свободные члены.

Например, система двух линейных уравнений с двумя переменными может выглядеть так:

Решением системы линейных уравнений называют значения переменных, которые одновременно обращают каждое уравнение системы в верное равенство.

Например, для приведенной выше системы решением будет пара чисел x = 3 и y = 4. Проверим:

Оба равенства верны, поэтому пара (3; 4) является решением системы.

Обратите внимание: недостаточно, чтобы найденные значения подходили только для одного уравнения. Они должны удовлетворять всем уравнениям системы одновременно. Именно в этом заключается главное отличие работы с системой от решения отдельного уравнения.

Системы линейных уравнений, способы их решения и применение при решении задач рассматриваются в учебниках алгебры, входящих в Федеральный перечень учебников.¹

Полезная информация о системах линейных уравнений

Перед тем как переходить к способам решения, соберем основные понятия в небольшой таблице. Она поможет быстро вспомнить, как устроена система линейных уравнений и каким может быть результат ее решения.

Решение систем линейных уравнений

Решить систему линейных уравнений — значит найти все значения переменных, которые удовлетворяют каждому ее уравнению одновременно, или установить, что таких значений нет.

Существует несколько способов решения систем. В школьном курсе чаще всего используют метод подстановки, метод сложения и графический метод. Они приводят к одному и тому же результату, однако в зависимости от вида конкретной системы один способ может оказаться значительно удобнее другого.

Метод подстановки

Метод подстановки удобно использовать, когда из одного уравнения легко выразить одну переменную через другую. После этого полученное выражение подставляют во второе уравнение, и система сводится к уравнению с одной переменной.

Рассмотрим систему:

Алгоритм решения:

1. Выразим из первого уравнения переменную x:

x = 8 — 2y.

2. Подставим полученное выражение вместо x во второе уравнение:

3 · (8 — 2y) — y = 3.

3. Решим полученное уравнение:

24 — 6y — y = 3,
-7y = -21,
y = 3.

4. Подставим найденное значение y в выражение x = 8 — 2y:

x = 8 — 2 · 3 = 2.

5. Получаем решение системы: (2; 3).

Ответ: (2; 3)

Таким образом, при методе подстановки мы выражаем одну переменную через другую, подставляем полученное выражение во второе уравнение и сводим систему к уравнению с одной неизвестной. После его решения находим значение второй переменной.

Метод сложения

Метод сложения основан на том, что уравнения системы можно складывать или вычитать так, чтобы одна из переменных исчезла. Иногда перед этим одно или оба уравнения приходится умножить на подходящее число.

Рассмотрим систему:

Алгоритм решения:

1. Сложим левые и правые части уравнений. Поскольку коэффициенты при y являются противоположными числами, переменная y исчезнет:

2x + y + 3x — y = 7 + 8.

2. Решим полученное уравнение:

5x = 15,
x = 3.

3. Подставим найденное значение x, например, в первое уравнение системы:

2 · 3 + y = 7,
6 + y = 7,
y = 1.

4. Получаем решение системы: (3; 1).

Ответ: (3; 1)

Если коэффициенты при одной из переменных сразу являются противоположными числами, как в нашем примере, уравнения можно складывать без дополнительных преобразований. В остальных случаях их предварительно умножают на такие числа, чтобы получить противоположные коэффициенты.

Графический метод

Графический метод позволяет найти решение системы с помощью графиков. Для этого каждое уравнение системы приводят к виду линейной функции, строят соответствующие прямые на одной координатной плоскости и находят точку их пересечения.

Рассмотрим систему:

Алгоритм решения:

1. Выразим y из каждого уравнения.

Из первого уравнения: 

2x + y = 7,
y = 7 — 2x.

Из второго уравнения:

x — 2y = -4,
-2y = -4 — x,
y = x/2 + 2.

2. Построим на одной координатной плоскости графики линейных функций:

y = 7 — 2x и y = x/2 + 2.

3. На рисунке видно, что прямые пересекаются в точке (2; 3).

Координаты точки пересечения одновременно принадлежат обоим графикам, поэтому являются решением системы.

Ответ: (2; 3)

Графический метод позволяет не только найти решение системы, но и наглядно увидеть взаимное расположение прямых. Однако если координаты точки пересечения не являются целыми или легко определяемыми числами, по графику их иногда можно установить только приближенно.

это интересно

Квадратный трехчлен

О квадратном трехчлене, его корнях и свойствах

подробнее

Сколько решений может иметь система линейных уравнений

Система линейных уравнений может иметь одно решение, не иметь решений или иметь бесконечно много решений. При этом количество решений не зависит от выбранного способа: методы подстановки, сложения и графический метод приводят к одному и тому же результату.

Если система имеет одно решение, в процессе вычислений мы получаем конкретные значения всех переменных. Например, при использовании метода подстановки после замены одной переменной выражением с другой получается уравнение, имеющее единственный корень. Найдя его, можно определить и значение второй переменной.

Если система не имеет решений, в ходе преобразований может получиться неверное числовое равенство, например 0 = 5. Это означает, что не существует значений переменных, которые одновременно удовлетворяли бы обоим уравнениям системы.

Если система имеет бесконечно много решений, преобразования приводят к верному равенству, например 0 = 0. В таком случае одно уравнение системы фактически выражает то же условие, что и другое, поэтому ему удовлетворяет бесконечно много пар значений переменных.

Аналогичный результат можно получить и методом сложения: после сложения или вычитания уравнений остается обычное уравнение с одной переменной, возникает неверное равенство или получается верное числовое равенство. 

При графическом способе эти три случая можно увидеть на координатной плоскости: пересекающиеся прямые соответствуют одному решению, параллельные несовпадающие прямые — отсутствию решений, а совпадающие прямые — бесконечному множеству решений.

Таким образом, разные методы позволяют по-разному прийти к одному выводу о системе. Выбор способа решения влияет на ход вычислений, но не на количество и значения решений.

Задачи и ответы по теме «Системы линейных уравнений»

Рассмотрим несколько примеров и применим изученные способы решения систем линейных уравнений на практике. К каждой задаче представлено подробное решение с ответом.

Задача 1

Решите систему уравнений методом подстановки:

Задача 2

Решите систему уравнений методом сложения:

Задача 3

Сумма двух чисел равна 26, а одно из них на 8 больше другого. Найдите эти числа.

Решение и ответ к задаче 3

Обозначим большее число через x, а меньшее через y.

По условию задачи сумма чисел равна 26, а разность большего и меньшего чисел равна 8. Составим систему:

Сложим левые и правые части уравнений:

x + y + x — y = 26 + 8,

2x = 34,

x = 17.

Найдем y:

y = 26 — 17,

y = 9.

Ответ: 17 и 9

Популярные вопросы и ответы

Отвечает Алексей Смирнов, учитель математики и физики, репетитор по подготовке к ЕГЭ по математике и физике:

5 тем по алгебре, которые помогут разобраться в уравнениях и неравенствах

• Линейные неравенства: как решать линейные неравенства и правильно записывать полученный ответ
• Квадратные уравнения: из каких элементов состоит квадратное уравнение и какими способами находят его корни
• Квадратичная функция: какими свойствами обладает квадратичная функция и как выглядит ее график
• Квадратные неравенства: какими способами решают квадратные неравенства и находят множество их решений
• Кубические уравнения: что такое кубическое уравнение и какие способы используют для нахождения его корней

Источники

Статья подготовлена в соответствии с официальными документами и рекомендациями:

1. Министерство просвещения России. Федеральный перечень учебников. URL: https://fpu.edu.ru/ 

• Макарычев Ю. Н., Миндюк Н. Г., Нешков К. И. и другие. «Алгебра. 7 класс. Базовый уровень»
• Мерзляк А. Г., Полонский В. Б., Якир М. С. «Алгебра. 7 класс. Базовый уровень»

2. Министерство просвещения России. Федеральная рабочая программа по учебному предмету «Математика». URL: https://static.edsoo.ru/projects/fop/index.html#/sections/200215

3. Федеральный институт педагогических измерений. Открытый банк заданий ОГЭ и ЕГЭ по математике. Методические рекомендации для учителей. URL: https://fipi.ru/