Квадратный трехчлен: что такое, разложение на множители, коэффициенты, связь с квадратным уравнением, задачи с ответами по алгебре для 8

Q: Чем квадратный трехчлен отличается от квадратного уравнения?

Квадратный трехчлен — это алгебраическое выражение вида ax² + bx + c. В нем нет знака равенства, поэтому его нельзя решить. Квадратное уравнение получают, если квадратный трехчлен приравнять к нулю: ax² + bx + c = 0. Именно после этого можно находить корни уравнения, вычислять дискриминант и выполнять другие преобразования.

Q: Почему тему по алгебре «Квадратный трехчлен» изучают в 8 классе?

К моменту изучения этой темы ученики уже знакомы с многочленами, формулами сокращенного умножения и линейными уравнениями. Квадратный трехчлен объединяет многие из этих знаний и становится основой для изучения квадратных уравнений, квадратичных функций и неравенств.Именно в 8 классе школьники начинают работать с дискриминантом и способами разложения квадратных трехчленов на множители, которые будут использоваться в дальнейшем при изучении алгебры.

Q: В каких заданиях ОГЭ и ЕГЭ встречается квадратный трехчлен?

На ОГЭ квадратные трехчлены встречаются в заданиях, связанных с решением квадратных уравнений, преобразованием алгебраических выражений, исследованием функций и решением неравенств.В ЕГЭ тема квадратного трехчлена используется еще шире. Она необходима при решении задач с квадратичными функциями, уравнениями, неравенствами и системами уравнений. Умение находить дискриминант, определять корни и раскладывать квадратный трехчлен на множители является одним из базовых навыков для успешного выполнения заданий профильного уровня.Тема квадратного трехчлена регулярно встречается в заданиях ОГЭ и ЕГЭ по математике, представленных в открытом банке заданий ФИПИ.3

В алгебре многие важные темы оказываются тесно связаны между собой. Одной из таких тем является квадратный трехчлен — выражение, которое лежит в основе квадратных уравнений, квадратных неравенств, квадратичных функций и многих экзаменационных заданий. Понимание его свойств помогает легче осваивать более сложные разделы школьной математики.

В этой статье вместе с учителем математики разберем, что такое квадратный трехчлен, какие коэффициенты он содержит, для чего нужен дискриминант и как разложить квадратный трехчлен на множители.

Что такое квадратный трехчлен в алгебре

Квадратным трехчленом называется многочлен вида:

ax² + bx + c,

где:

a, b, c — числа (a ≠ 0);
x — переменная.

Свое название квадратный трехчлен получил потому, что содержит член второй степени (x²) и состоит из трех слагаемых. Например, квадратными трехчленами являются:

x² + 5x + 6;
2x² − 7x + 3;
−3x² + x − 8.

Квадратные трехчлены широко используются при решении квадратных уравнений, построении графиков функций и выполнении алгебраических преобразований.

Тема квадратного трехчлена изучается в школьном курсе алгебры и рассматривается в учебниках, входящих в федеральный перечень.¹ Изучение квадратного трехчлена также предусмотрено федеральной рабочей программой по математике.²

Полезная информация о квадратном трехчлене

Собрали в таблице основные сведения о квадратном трехчлене, которые помогут быстро повторить тему перед уроком, контрольной работой или экзаменом.

Квадратный трехчлен	Описание
Общий вид	ax² + bx + c
Старший коэффициент	a
Коэффициент при x	b
Свободный член	c
Обязательное условие	a ≠ 0
Связь с квадратным уравнением	Квадратное уравнение получают приравниванием трехчлена к нулю

Коэффициенты квадратного трехчлена

Каждый квадратный трехчлен содержит три коэффициента, которые определяют его вид и свойства. Именно от значений этих коэффициентов зависят корни квадратного трехчлена, положение графика функции и результаты дальнейших алгебраических преобразований.

Рассмотрим квадратный трехчлен общего вида ax² + bx + c. В этом выражении:

a — старший коэффициент;
b — коэффициент при переменной x;
c — свободный член.

Каждый коэффициент выполняет свою роль.

Старший коэффициент a

Коэффициент a стоит перед членом x² и не может быть равен нулю. Именно он определяет, является ли выражение квадратным трехчленом. Например:

в трехчлене 3x² + 2x − 1 старший коэффициент равен 3;
в трехчлене −2x² + 5x + 4 старший коэффициент равен −2.

Коэффициент b

Коэффициент b находится перед переменной x первой степени. Например:

в трехчлене x² + 7x + 10 коэффициент b равен 7;
в трехчлене 4x² − 3x + 2 коэффициент b равен −3.

Если член с переменной x отсутствует, коэффициент b считается равным нулю. Например, x² + 9 = x² + 0x + 9.

Свободный член c

Свободный член c не содержит переменной x и представляет собой постоянное число. Например:

в трехчлене x² + 4x + 5 свободный член равен 5;
в трехчлене 2x² − x − 8 свободный член равен −8.

Если постоянного слагаемого нет, то свободный член считается равным нулю. Например, x² + 3x = x² + 3x + 0.

Коэффициенты квадратного трехчлена используются во многих формулах. В частности, именно через коэффициенты a, b и c вычисляют дискриминант, который помогает определить количество корней квадратного трехчлена и связанного с ним квадратного уравнения.

Дискриминант квадратного трехчлена

Дискриминант — одна из важнейших характеристик квадратного трехчлена. Он позволяет определить, можно ли разложить трехчлен на множители через корни и сколько корней имеет связанное с ним квадратное уравнение.

Для квадратного трехчлена вида ax² + bx + c дискриминант вычисляют по формуле:

D = b² − 4ac,

где a, b и c — коэффициенты квадратного трехчлена.

Рассмотрим пример. Для трехчлена x² − 5x + 6 имеем: a = 1, b = −5, c = 6.

Тогда D = (−5)² − 4 × 1 × 6 = 25 − 24 = 1.

Значение дискриминанта связано с количеством корней квадратного уравнения.

Если D > 0, уравнение имеет два различных корня.

Если D = 0, уравнение имеет один корень (два совпадающих корня).

Если D < 0, действительных корней нет.

Именно корни квадратного уравнения используются при разложении квадратного трехчлена на множители. Поэтому дискриминант играет важную роль при решении многих алгебраических задач.

это интересно

Рациональные числа

Что такое рациональные числа и как используются в алгебраических выражениях и уравнениях

подробнее

Разложение квадратного трехчлена на множители

Разложение на множители — это представление квадратного трехчлена в виде произведения более простых выражений. Такой способ преобразования помогает решать уравнения и неравенства, упрощать вычисления и исследовать свойства функций.

Разложение через корни квадратного трехчлена

Если известны корни квадратного уравнения, связанного с трехчленом, то квадратный трехчлен можно представить в виде произведения множителей.

Для квадратного трехчлена вида ax² + bx + c используют формулу:

ax² + bx + c = a(x − x₁)(x − x₂),

где x₁ и x₂ — корни соответствующего квадратного уравнения.

Рассмотрим пример. Для трехчлена 2x² − 8x + 6 корнями являются числа 1 и 3.

Тогда: 2x² − 8x + 6 = 2(x − 1)(x − 3).

Разложение по формулам сокращенного умножения

Некоторые квадратные трехчлены можно разложить на множители без вычисления корней, используя формулы сокращенного умножения.

Например:

x² + 2x + 1 = (x + 1)²;
x² − 6x + 9 = (x − 3)².

В таких случаях квадратный трехчлен представляет собой полный квадрат суммы или разности.

Использование формул сокращенного умножения позволяет быстро выполнять преобразования и часто упрощает решение задач.

Связь квадратного трехчлена и квадратного уравнения

Квадратный трехчлен и квадратное уравнение тесно связаны между собой. Чтобы получить квадратное уравнение, достаточно приравнять квадратный трехчлен к нулю: ax² + bx + c = 0.

Например, квадратному трехчлену x² − 5x + 6 соответствует квадратное уравнение x² − 5x + 6 = 0.

Корни этого уравнения называют корнями квадратного трехчлена. Они используются для разложения трехчлена на множители, построения графиков функций и решения различных алгебраических задач.

Количество корней определяется значением дискриминанта. Поэтому при исследовании квадратного трехчлена обычно сначала находят его коэффициенты, затем вычисляют дискриминант, после чего определяют корни и выполняют необходимые преобразования.

Таким образом, коэффициенты, дискриминант и корни квадратного уравнения являются взаимосвязанными характеристиками квадратного трехчлена.

Ниже представлена инфографика, которая поможет быстро вспомнить строение квадратного трехчлена, значение дискриминанта и основные способы его разложения на множители.

Квадратный трехчлен инфонрафика — Изображение: Александр Морозов / нейросети

Скачать

Задачи и ответы по теме «Квадратный трехчлен»

Чтобы лучше разобраться в теме, важно не только изучить теорию, но и научиться применять полученные знания на практике. Рассмотрим несколько типовых задач.

Задача 1

Для квадратного трехчлена 3x² − 7x + 5 укажите значения коэффициентов a, b и c.

Решение и ответ к задаче 1

Сравним данный трехчлен с общим видом квадратного трехчлена: ax² + bx + c.

Получаем: a = 3, b = −7, c = 5.

Ответ: a = 3, b = −7, c = 5

Задача 2

Найдите дискриминант квадратного трехчлена x² − 4x + 3.

Решение и ответ к задаче 2

Для данного трехчлена: a = 1, b = −4, c = 3.

Вычислим дискриминант:

D = b² − 4ac

D = (−4)² − 4 × 1 × 3

D = 16 − 12 = 4

Ответ: D = 4

Задача 3

Разложите на множители квадратный трехчлен x² − 7x + 12.

Решение и ответ к задаче 3

Чтобы разложить квадратный трехчлен на множители через корни, сначала приравняем его к нулю и получим квадратное уравнение: x² − 7x + 12 = 0.

Найти корни такого уравнения можно с помощью дискриминанта или по теореме Виетта.

Воспользуемся теоремой Виетта. Подберем два числа, сумма которых равна 7, а произведение равно 12. Такими числами являются 3 и 4.

Следовательно, корни уравнения: x₁ = 3 и x₂ = 4.

Тогда квадратный трехчлен можно представить в виде:

x² − 7x + 12 = 1(x − 3)(x − 4) = (x − 3)(x − 4).

Ответ: (x − 3)(x − 4)

5 тем по алгебре, которые помогут лучше понять квадратный трехчлен

Одночлены: из каких элементов состоят алгебраические выражения и как определять их степень
Подобные слагаемые: как упрощать выражения и приводить многочлены к стандартному виду
Раскрытие скобок: как преобразовывать алгебраические выражения и приводить их к удобному виду
Линейные уравнения: чем уравнения первой степени отличаются от квадратных и какие методы решения используются
Координатная прямая: как изображать корни уравнений и работать с числовыми промежутками

Источники

Статья подготовлена в соответствии с официальными документами и рекомендациями:

1. Министерство просвещения России. Федеральный перечень учебников. URL: https://fpu.edu.ru/

Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И. и другие. «Алгебра. 8 класс. Базовый уровень.»
Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И. и другие. «Алгебра. 9 класс. Базовый уровень.»
Мерзляк А. Г., Полонский В. Б., Якир М. С. «Алгебра. 8 класс. Базовый уровень»
Мерзляк А. Г., Полонский В. Б., Якир М. С. «Алгебра. 9 класс. Базовый уровень»

2. Министерство просвещения России. Федеральная рабочая программа по учебному предмету «Математика». URL: https://static.edsoo.ru/projects/fop/index.html#/sections/200215

3. Федеральный институт педагогических измерений. Открытый банк заданий ОГЭ и ЕГЭ по математике. Методические рекомендации для учителей. URL: https://fipi.ru/

Квадратный трехчлен