Смежные и вертикальные углы
Когда две прямые пересекаются, вокруг точки пересечения образуются сразу четыре угла. Некоторые из них имеют общую сторону, а другие располагаются друг напротив друга. Такие пары называют смежными и вертикальными углами
С углами мы сталкиваемся уже в самом начале изучения геометрии: учимся их строить, измерять и различать по величине. Но особенно интересные закономерности появляются тогда, когда несколько углов связаны между собой и расположены определенным образом. В таких случаях величины углов уже не существуют независимо друг от друга. Например, при пересечении двух прямых образуются четыре угла, которые составляют пары смежных и вертикальных углов. Достаточно знать величину всего одного из них, чтобы без транспортира определить остальные три.
Такие связи значительно упрощают решение геометрических задач и часто становятся частью более длинных рассуждений и доказательств. Вместе с экспертом разберемся, что такое смежные и вертикальные углы, чем они отличаются друг от друга, какими свойствами обладают и как с их помощью находить неизвестные величины углов в задачах.
Что такое смежные и вертикальные углы в геометрии
Когда две прямые пересекаются, в точке их пересечения образуются четыре угла. Они расположены не случайным образом: одни находятся рядом и имеют общую сторону, а другие — напротив друг друга. Именно здесь проще всего увидеть сразу два важных понятия геометрии — смежные и вертикальные углы.
Смежные углы — это два угла, у которых одна сторона общая, а две другие являются противоположными. Иначе говоря, их необщие стороны лежат на одной прямой и направлены в противоположные стороны.
Например, если лучи OA и OB являются противоположными, а из их общего начала O проведен еще один луч OD, то углы ∠AOD и ∠DOB будут смежными.
При этом для появления смежных углов вовсе не обязательно рассматривать пересечение двух прямых. Достаточно одной прямой и луча, выходящего из точки на этой прямой. Он разделит развернутый угол на два смежных.
Вертикальные углы — это два угла, стороны одного из которых являются продолжениями сторон другого. Такие углы возникают именно при пересечении двух прямых, располагаются друг напротив друга и не имеют общей стороны.
Например, если прямые AB и CD пересекаются в точке O, то углы ∠AOD и ∠COB образуют одну пару вертикальных углов, а ∠AOC и ∠DOB — другую.
Таким образом, при пересечении двух прямых образуются две пары вертикальных углов и четыре пары смежных углов. Один и тот же угол при этом имеет один вертикальный угол и два смежных.
Тема смежных и вертикальных углов рассматривается в школьных учебниках геометрии, входящих в федеральный перечень учебников.1
Полезная информация о смежных и вертикальных углах
Основные сведения о смежных и вертикальных углах собрали в таблице. Она поможет быстро вспомнить, как образуются такие углы, чем они отличаются друг от друга и какими основными свойствами обладают.
| Характеристика | Описание |
|---|---|
| Смежные углы | Два угла, у которых одна сторона общая, а две другие лежат на одной прямой |
| Свойство смежных углов | Сумма смежных углов равна 180° |
| Как найти смежный угол | Из 180° вычесть величину известного угла |
| Вертикальные углы | Два угла, стороны одного из которых являются продолжениями сторон другого |
| Свойство вертикальных углов | Вертикальные углы равны |
| Как найти вертикальный угол | Его величина равна величине известного угла |
Свойства смежных углов
Главное свойство смежных углов связано с тем, как расположены их стороны. Две необщие стороны таких углов являются противоположными лучами, поэтому вместе смежные углы образуют развернутый угол.
Отсюда следует основное свойство: сумма смежных углов всегда равна 180°.
Если обозначить величины двух смежных углов через α и β, то:
α + β = 180°.
Например, если один из смежных углов равен 65°, то второй составляет:
180° — 65° = 115°.
Из этого свойства можно сделать еще несколько полезных выводов:
- если один из смежных углов острый, то второй будет тупым;
- если один угол увеличивается, величина смежного с ним угла уменьшается на столько же;
- два смежных угла могут быть равны только в том случае, если каждый из них равен 90°.
Свойства вертикальных углов
Основное свойство вертикальных углов: вертикальные углы равны между собой.
Рассмотрим две прямые AB и CD, пересекающиеся в точке O. Углы ∠AOD и ∠COB являются вертикальными. При этом каждый из них вместе с углом ∠DOB образует пару смежных углов:
∠AOD + ∠DOB = 180°,
∠COB + ∠DOB = 180°.
Поскольку из 180° в обоих случаях вычитается величина одного и того же угла ∠DOB, получаем:
∠AOD = ∠COB.
Аналогично равны углы второй вертикальной пары:
∠AOC = ∠DOB.
Таким образом, если известен хотя бы один из четырех углов, образовавшихся при пересечении двух прямых, можно определить величины остальных трех.
это интересно
Медиана треугольника
Что такое медиана треугольника, как ее построить и какими свойствами она обладает
подробнее
Как найти смежные и вертикальные углы
Чтобы найти неизвестный смежный или вертикальный угол, сначала важно определить, как расположены углы на чертеже. От этого зависит, какое свойство нужно использовать.
Если требуется найти смежный угол, из 180° нужно вычесть величину известного:
β = 180° — α.
Например, угол α равен 124°. Тогда смежный с ним угол:
β = 180° — 124° = 56°.
Если требуется найти вертикальный угол, дополнительных вычислений не потребуется: вертикальные углы равны. Поэтому при α = 124° вертикальный ему угол также равен 124°.
При пересечении двух прямых эти свойства удобно использовать вместе. Если один из четырех образовавшихся углов равен 85°, то вертикальный ему угол также равен 85°, а два соседних с ним угла:
180° — 85° = 95°.
Таким образом, величины четырех углов при пересечении двух прямых будут чередоваться: 85°, 95°, 85°, 95°.
Задачи и ответы по теме «Смежные и вертикальные углы»
Закрепить свойства смежных и вертикальных углов лучше всего на задачах. Начнем с простого нахождения неизвестного угла, а затем рассмотрим примеры, в которых потребуется использовать сразу несколько изученных свойств.
Задача 1
Один из двух смежных углов равен 47°. Найдите второй угол.
Решение и ответ к задаче 1
Сумма смежных углов равна 180°. Поэтому:
180° — 47° = 133°.
Ответ: 133°
Задача 2
Прямые AC и BD пересекаются в точке O. Известно, что ∠AOB = 72°. Найдите углы ∠BOC, ∠COD и ∠AOD.
Решение и ответ к задаче 2
Углы ∠AOB и ∠COD вертикальные, поэтому они равны:
∠COD = 72°.
Углы ∠AOB и ∠BOC смежные, значит:
∠BOC = 180° — 72° = 108°.
Углы ∠BOC и ∠AOD вертикальные, поэтому:
∠AOD = 108°.
Ответ: ∠BOC = 108°, ∠COD = 72°, ∠AOD = 108°
Задача 3
Два смежных угла относятся как 2:7. Найдите величину каждого угла.
Решение и ответ к задаче 3
Пусть величина одного угла равна 2x, тогда величина второго — 7x.
Поскольку углы смежные, их сумма равна 180°:
2x + 7x = 180°,
9x = 180°,
x = 20°.
Тогда:
2x = 40°,
7x = 140°.
Ответ: 40° и 140°
Популярные вопросы и ответы
Отвечает Алексей Смирнов, учитель математики и физики, репетитор по подготовке к ЕГЭ по математике и физике:
Чем смежные углы отличаются от вертикальных?
Главное различие заключается в их расположении и свойствах. Смежные углы имеют одну общую сторону, а две другие являются противоположными лучами. Поэтому вместе они образуют развернутый угол, и их сумма всегда равна 180°. Вертикальные углы, напротив, не имеют общей стороны, они располагаются друг напротив друга при пересечении двух прямых и равны между собой.
При пересечении двух прямых образуются сразу оба вида углов: две пары вертикальных и четыре пары смежных. Поэтому важно сначала определить, как расположены данные углы, и только затем применять нужное свойство.
При пересечении двух прямых образуются сразу оба вида углов: две пары вертикальных и четыре пары смежных. Поэтому важно сначала определить, как расположены данные углы, и только затем применять нужное свойство.
Могут ли смежные углы быть равными?
Да, но только в одном случае, если каждый из них равен 90°. Сумма смежных углов всегда составляет 180°, поэтому для двух равных углов получаем: 180° : 2 = 90°.
Такая ситуация возникает, например, при пересечении двух перпендикулярных прямых. В этом случае все четыре образовавшихся угла прямые, а любые два соседних угла одновременно являются равными и смежными.
Такая ситуация возникает, например, при пересечении двух перпендикулярных прямых. В этом случае все четыре образовавшихся угла прямые, а любые два соседних угла одновременно являются равными и смежными.
Почему тему по геометрии «Смежные и вертикальные углы» изучают в 7 классе?
В 7 классе начинается систематическое изучение геометрии. Школьники знакомятся с основными фигурами, учатся работать с определениями, свойствами и простейшими доказательствами. Смежные и вертикальные углы хорошо подходят для этого этапа, поскольку позволяют по известной величине одного угла находить другие и обосновывать полученный результат.
Эта тема становится основой для дальнейшего изучения геометрии. Свойства углов понадобятся при работе с перпендикулярными и параллельными прямыми, треугольниками, многоугольниками и при решении более сложных задач.
Изучение смежных и вертикальных углов предусмотрено федеральной рабочей программой по математике в рамках курса геометрии 7 класса. (2)
Эта тема становится основой для дальнейшего изучения геометрии. Свойства углов понадобятся при работе с перпендикулярными и параллельными прямыми, треугольниками, многоугольниками и при решении более сложных задач.
Изучение смежных и вертикальных углов предусмотрено федеральной рабочей программой по математике в рамках курса геометрии 7 класса. (2)
В каких заданиях ОГЭ и ЕГЭ встречаются смежные и вертикальные углы?
Свойства смежных и вертикальных углов используются прежде всего в заданиях по планиметрии. Они могут понадобиться при нахождении неизвестных углов, а также в задачах с параллельными прямыми, треугольниками, четырехугольниками и другими геометрическими фигурами.
При этом отдельный вопрос именно на определение смежных или вертикальных углов встречается не обязательно. Чаще эти свойства становятся одним из промежуточных шагов решения, поэтому важно не только знать определения, но и быстро распознавать такие пары углов на чертеже.
Информация о содержании экзаменационных материалов, структуре заданий и проверяемых темах представлена в демоверсиях, кодификаторах и других материалах Федерального института педагогических измерений.3
При этом отдельный вопрос именно на определение смежных или вертикальных углов встречается не обязательно. Чаще эти свойства становятся одним из промежуточных шагов решения, поэтому важно не только знать определения, но и быстро распознавать такие пары углов на чертеже.
Информация о содержании экзаменационных материалов, структуре заданий и проверяемых темах представлена в демоверсиях, кодификаторах и других материалах Федерального института педагогических измерений.3
5 тем по геометрии, которые помогут продолжить изучение углов
- Биссектриса треугольника: как она делит угол треугольника и какими свойствами обладает
- Равнобедренный треугольник: как связаны углы при основании и стороны треугольника
- Подобные треугольники: какие треугольники называют подобными и по каким признакам устанавливают их подобие
- Высота треугольника: как строится высота и почему она образует прямой угол со стороной
- Касательная к окружности: как расположены касательная и радиус, проведённый в точку касания
Источники
Материал подготовлен в соответствии с официальными документами и рекомендациями.
1. Министерство просвещения России. Федеральный перечень учебников. URL: https://fpu.edu.ru/
- Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б. «Геометрия. 7-9 классы. Базовый уровень»
- Мерзляк А.Г., Полонский В.Б., Якир М.С. «Математика. Геометрия. 7 класс. Базовый уровень»
- Смирнов В.А., Смирнова И.М. «Геометрия. 7 класс»
2. Министерство просвещения России. Федеральная рабочая программа по учебному предмету «Математика». URL: https://static.edsoo.ru/projects/fop/index.html#/sections/200215
3. Федеральный институт педагогических измерений. Открытый банк заданий ОГЭ и ЕГЭ по математике, демоверсии, методические рекомендации для учителей. URL: https://fipi.ru/
