Диаметр окружности
Что такое диаметр, сколько их у окружности, а также для чего школьнику нужно уметь его вычислять – разбираемся вместе с экспертом
Диаметр окружности – величина, используемая в классической геометрии, и это название пришло в русский язык, как и многие научные термины, из латинского. Разберемся, что обозначает это слово, как измерять и вычислять диаметр, а также для чего школьникам нужно учиться это делать.
Определение диаметра окружности
Словом «диаметр» обозначают как отрезок, соединяющий две противоположные точки окружности и проходящий через ее центр, так и длину этого отрезка. Диаметр можно найти у любого круглого тела или объекта: озера, мяча, печеньки или даже радуги, если вообразить, что она на самом деле круглая и мы видим лишь ее половину.
Для измерения объемных предметов, имеющих круглое сечение (труб, монет, бутылок и прочего) существует специальный инструмент, который называется штангенциркуль. С его помощью можно измерить диаметр без необходимости определения центра окружности.
Полезная информация о диаметре окружности
| В окружности можно провести бесконечное число диаметров | Так как окружность состоит из бесконечного множества точек, которые могут быть концами отрезка-диаметра. |
| Диаметр всегда проходит через центр окружности | А окружность всегда делится диаметром ровно пополам. |
| Этимологически слово «диаметр» можно назвать пришедшим из древнегреческого | От διάμετρος «поперечник, диаметр», где διά «через; раздельно» + μετρέω «измеряю». |
| От слова диаметр произошло наречие «диаметрально» | Что означает «полностью, абсолютно» и чаще всего применяется в словосочетании «диаметрально противоположный». |
Формулы диаметра окружности
Диаметр, являясь геометрической величиной, может быть численно выражен через другие измерения окружности и связанных с ней фигур. Рассмотрим формулы, наиболее часто применяемые для вычисления диаметра.
Через длину окружности
\(D\;=\;\frac C{\mathrm\pi},\;\\где\;D\;–\;диаметр\;окружности,\;\\C\;–\;ее\;длина,\;\\а\;\operatorname{𝛑}\;–\;математическая\;\\постоянная.\)
Через радиус окружности
Проще всего связать диаметр с радиусом окружности: фактически, диаметр – это два радиуса, лежащих на одной прямой. Зная это, легко составить формулу вычисления диаметра через радиус: достаточно умножить его длину на два.
\(D\;=\;2\;\cdot\;R,\\где\;D\;–\;диаметр\;окружности,\\а\;R\;–\;ее\;радиус.\)
Через площадь круга
Диаметр может быть вычислен не только через численные измерения самой окружности, но и через площадь круга, ей ограниченного.
\(D=\;2\sqrt{\frac S{\mathrm\pi}},\\где\;D\;–\;диаметр\;окружности,\\S\;–\;площадь\;круга,\\ограниченного\;рассматриваемой\;\\окружностью.\)
Построение диаметра с помощью циркуля и линейки
Как известно, для построения диаметра окружности необходимо провести прямую через ее центр, но далеко не в каждом случае мы точно знаем, где этот самый центр находится.
Например, как узнать диаметр круглой тарелки, если у нас нет штангенциркуля? Для этого существует удобный способ построения диаметра с помощью обыкновенного циркуля и линейки.
Предположим, что мы положили тарелку на лист бумаги, обвели карандашом и получили окружность. Как измерить ее диаметр, имея под рукой только циркуль и линейку? Если чертить диаметр «на глаз», то велик шанс провести отрезок, близкий по длине к диаметру, но все же не совпадающий с ним. Поэтому воспользуемся простым и точным способом построения диаметра.
Нам необходимо начертить две окружности, центры которых будут лежать на разных сторонах уже изображенной окружности, причем их диаметры должны быть больше диаметра исходной. После этого нужно провести прямую через точки их пересечения (они могут располагаться вне исходной окружности). Отрезок этой прямой, лежащий внутри первой окружности, и есть ее диаметр.
Задачи на нахождение диаметра окружности с решением
Решим несколько задач, используя рассмотренные выше формулы.
Задача 1
Чемпион двора по армрестлингу Петя Ласточкин от скуки согнул метровый металлический прут в идеально ровную окружность. Красавица Варя Синичкина, проходя мимо, решила, что Петя таким образом сделал для нее подарок – гимнастический обруч хулахуп, и попыталась надеть его на себя, чтобы покрутить. Вопрос: удастся ли Варе это, если ширина ее плеч 30 сантиметров?
Решение
Для начала определим, какие факты нам известны, и переведем их в математические величины:
- В обруч был согнут метровый прут, то есть длина окружности обруча – один метр.
- Чтобы надеть обруч на себя, Варе необходимо, чтобы в него прошли ее плечи, то есть диаметр получившейся окружности должен быть больше ширины ее плеч.
Получается, нам необходимо проверить, что диаметр окружности длиной один метр больше 30 сантиметров. Сразу же переводим метры в сантиметры и получим длину 100 см. Математическую постоянную 𝛑 будем использовать в стандартном значении 3,14.
Воспользуемся формулой нахождения диаметра через длину окружности:
D = C/𝛑 = 100/3,14 = 31,85 > 30
Ответ: Варя сможет надеть обруч, так как его диаметр больше ширины ее плеч, однако неясно, умеет ли она его крутить.
Задача 2
Ученики 1 «А» класса решили разбить во дворе школы круглую клумбу. Для этого они начертили круг, используя вместо циркуля веревку длиной 4,5 метра. Хулиган из 5 «Б» по имени Вася на спор решил с разбега перепрыгнуть эту клумбу, причем в самом широком ее месте. Вопрос: на какое расстояние должен прыгнуть Вася, чтобы не потоптать свежепосаженные кактусы?
Решение
Для решения задачи определим, какие данные нам известны:
- Вася хочет перепрыгнуть круглую клумбу в самом широком месте, то есть траектория его полета должна совпасть с диаметром окружности.
- Первоклассники чертили круг для клумбы с помощью веревки, то есть радиус окружности равен длине этой веревки – 4,5 метра.
Теперь используем формулу нахождения диаметра через радиус:
D = 2R = 2*4,5 = 9 метров.
Ответ: чтобы не приземлиться на колючие кактусы, Васе необходимо прыгнуть на 9 метров, тем самым побив мировой рекорд по прыжкам в длину с разбега.
это интересно
Задача 3
Вандал Демид Иванов за ночь закрасил зеленой краской из баллончика круглый иллюминатор ракеты на городской детской площадке. Как позже выяснилось, на это хулиганство у него ушел целый баллон краски без остатка. Монтажник Иван Демидов, придя на следующее утро на работу, забыл, какого диаметра стекло ему нужно вырезать для замены испорченного. Однако на выходных он красил на даче забор точно такой же краской, и ему известно, что одного баллончика хватает для окрашивания ровно трех квадратных метров поверхности. Помогите Ивану выяснить диаметр необходимого стекла. Постоянную 𝛑 в этой задаче для упрощения вычислений принять за 3.
Решение
Демид истратил весь баллончик краски без остатка, а значит окрасил ровно три квадратных метра поверхности иллюминатора, то есть площадь нужного стеклянного круга – три квадратных метра.
Применим формулу нахождения диаметра через площадь круга:
\(D=\;2\sqrt{\frac S{\mathrm\pi}}=\;2\sqrt{\frac33}\;=\;2\cdot1\;=\;2\)
Ответ: Ивану необходимо вырезать стекло диаметром два метра. На детской площадке установлена очень большая ракета.
Популярные вопросы и ответы
Альбина Бабурчина, репетитор по математике, автор курсов по подготовке к ЕГЭ и ОГЭ по математике
Как объяснить простыми словами, что такое диаметр окружности?
В самом начале этой познавательной статьи уже есть очень простое и емкое определение слову «диаметр». Я бы могла только добавить, что диаметром еще называют самую большую хорду окружности. Хорда – это как раз отрезок, соединяющий две точки окружности. А если диаметр – это самая большая хорда, тогда она, несомненно, пройдет через центр окружности.
В чем измеряется диаметр окружности?
Диаметр окружности – это линейная величина, поэтому измеряется длина диаметра в сантиметрах, метрах, дюймах и других известных единицах измерения. Все зависит от конкретного случая или даже страны применения.
Для чего в 6 классе нужно уметь вычислять диаметр окружности?
На сегодняшний день сложно представить ситуацию, где такое умение окажется просто незаменимым, так как существует огромное множество разных калькуляторов для вычисления любых величин из любых формул. Однако шестиклассникам очень важно научиться выражать одну величину через другие, исходя из того, что дано в конкретной задаче. Это очень развивает мышление и аналитические способности.
