Средняя линия трапеции
Средняя линия трапеции — не просто отрезок на чертеже, а ключевой элемент для точных расчетов. Узнаем, как она помогает находить площади, расстояния и решать сложные задачи за минуту
Обязательной частью программы 8 класса является средняя линия трапеции. Эта тема часто встречается в экзаменационных заданиях — как в ОГЭ, так и в ЕГЭ. Понимание свойств средней линии трапеции помогает не только решать конкретные геометрические задачи, но и развивает пространственное мышление, необходимое для освоения более сложных разделов математики. В статье мы разберем практическое применение этих свойств и научимся использовать их для эффективного решения экзаменационных задач.
Что такое средняя линия трапеции в геометрии
Средняя линия трапеции — это отрезок, соединяющий середины боковых сторон трапеции.
В каждой трапеции есть только одна средняя линия.
Полезная информация о средней линии трапеции
Средняя линия трапеции часто встречается в различных задачах по геометрии. В таблице ниже собраны основные свойства, которые помогут быстро вспомнить ключевые факты при их решении.
| Средняя линия трапеции | Описание |
|---|---|
| Определение | Отрезок, соединяющий середины боковых сторон |
| Положение | Параллельна основаниям |
| Формула длины | m = (a + b) / 2, где, a и b — основания |
| Связь с площадью | Площадь трапеции равна произведению средней линии на высоту: S = m × h |
| Связь с высотой | Делит высоту трапеции на две равные части |
Свойства средней линии трапеции
Средняя линия трапеции обладает рядом уникальных свойств. Эти свойства не только помогают лучше понять структуру трапеции, но и значительно упрощают решение многих геометрических задач. Рассмотрим подробно каждое из этих важных свойств.
Теорема о средней линии трапеции
Средняя линия трапеции параллельна основаниям и равна их полусумме:
\(m\;\parallel\;a,\;m\;\parallel\;b,\\m\;=\;\frac{a\;+\;b}2,\)
где:
m — средняя линия трапеции;
a и b — основания трапеции.
Это фундаментальное свойство является основой для всех остальных характеристик средней линии.
Связь средней линии трапеции с площадью
Площадь трапеции можно выразить через произведение средней линии и высоту:
\(S\;=\;m\;\cdot\;h,\)
где:
S — площадь трапеции;
m — средняя линия трапеции;
h — высота трапеции.
Эта формула особенно удобна, когда известна средняя линия, так как позволяет вычислить площадь в одно действие.
это интересно
Деление высоты трапеции пополам
Средняя линия трапеции проходит ровно посередине между основаниями, поэтому высота трапеции делится ею на две равные части:
\(h_1\;=\;h_2\;=\;\frac h2,\)
где h — исходная высота трапеции.
Это свойство часто используется при решении задач на построение и вычисление расстояний.
Разделение трапеции на две меньшие трапеции
Средняя линия делит исходную трапецию на две новые трапеции, площади которых относятся как:
\(\frac{S_1}{S_2}\;=\;\frac{3a\;+\;b}{a\;+\:3b},\)
где a и b — основания трапеции.
Это соотношение площадей помогает при решении сложных геометрических задач, связанных с пропорциями и отношениями площадей.
Задачи на тему «Средняя линия трапеции»
Теперь, когда мы разобрали что такое средняя линия трапеции и ее основные свойства, применим эти знания на практике. Решите предложенные задачи, используя изученные формулы и свойства.
Задача 1
В трапеции основания равны 8 см и 12 см. Найдите длину средней линии.
Задача 2
В трапеции средняя линия равна 1,5 м, а высота — 0,6 м. Найдите площадь трапеции.
Задача 3
В трапеции средняя линия равна 7 см, а одно из оснований — 5 см. Найдите второе основание.
Задача 4
В трапеции высота равна 8,4 дм. На каком расстоянии от оснований проходит средняя линия?
Задача 5
Трапеция с основаниями 6 см и 14 см разделена средней линией. Найдите отношение площадей получившихся трапеций.
Ответы к задачам
Задача 1
Средняя линия трапеции равна полусумме оснований:
\(m\;=\;\frac{a\;+\;b}2\;=\;\frac{8\;+\;12}2\;=\;10\;см\)
Ответ: 10 см
Задача 2
Площадь трапеции равна произведению средней линии на высоту:
\(S\;=\;m\;\;\cdot\;h\;=\;1,5\;\;\cdot\;0,6\;=\;0,9\;м^2\)
Ответ: 0,9 м2
Задача 3
Формула средней линии:
\(m\;=\;\frac{a\;+\:b}2\)
Подставляем значения средней линии и одного из оснований:
\(7\;=\;\frac{5\;+\;b}2\\14\;=\;5\;+\;b\\b\;=\;9\;см\)
Ответ: 9 см
Задача 4
Средняя линия делит высоту трапеции ровно пополам. Следовательно, расстояние от средней линии до каждого основания равно половине высоты:
\(h_1\;=\;h_2\;=\;\frac h2\;=\;\frac{8,4}2\;=\;4,2\;дм\)
Ответ: 4,2 дм
Задача 5
Используем формулу отношения площадей двух образованных трапеций:
\(\frac{S_1}{S_2}\;=\;\frac{3a\;+\;b}{a\;+\:3b}\;=\;\frac{3\;\cdot\;6\;+\;14}{6\;+\:3\;\cdot14}\;=\\=\;\frac{32}{48}\;=\;\frac23\)
Ответ: 2 : 3
Популярные вопросы и ответы
Отвечает Анна Жадан, старший преподаватель математики, методист Домашней школы «ИнтернетУрок»:
Может ли средняя линия трапеции быть равна ее основанию?
Средняя линия трапеции соединяет середины боковых сторон и вычисляется как полусумма оснований: m = (a + b)/2, где a и b — длины оснований. Допустим, средняя линия равна одному из оснований, например m = a. Тогда: a = (a + b)/2. Умножая обе части этого равенства на 2, получим 2a = a + b, откуда следует, что 2a — a = b, то есть a = b.
Если a = b, то трапеция превращается в параллелограмм, у которого обе пары противоположных сторон параллельны. Однако трапеция по определению имеет ровно одну пару параллельных сторон, а вторая пара не параллельна. Равенство a = b приводит к тому, что фигура перестает быть трапецией. Следовательно, исходное предположение неверно — средняя линия трапеции не может совпадать ни с одним из оснований.
Если a = b, то трапеция превращается в параллелограмм, у которого обе пары противоположных сторон параллельны. Однако трапеция по определению имеет ровно одну пару параллельных сторон, а вторая пара не параллельна. Равенство a = b приводит к тому, что фигура перестает быть трапецией. Следовательно, исходное предположение неверно — средняя линия трапеции не может совпадать ни с одним из оснований.
Почему среднюю линию трапеции изучают в 8 классе?
Если в 7 классе в центре внимания школьников, изучающих геометрию, был простейший из многоугольников — треугольник, то в 8 классе начинается изучение более сложных видов многоугольников, в том числе и трапеции. Средняя линия трапеции — это важное понятие, которое применяется для решения задач, связанных с вычислением элементов трапеции. Ученики 8 класса уже знакомы с понятием среднего арифметического, умеют решать линейные уравнения, знают основные теоремы, связанные с треугольниками, поэтому нахождение средней линии трапеции или нахождение элементов трапеции с использованием средней линии не должно вызывать затруднений.
В каких заданиях ОГЭ и ЕГЭ по математике может понадобиться вычислить среднюю линию трапеции?
Вычисления, связанные со средней линией трапеции, конечно, могут встретиться в заданиях по геометрии как в ОГЭ, так и в ЕГЭ. Это могут быть задания по прикладной геометрии, геометрии на клетках, задания на четырехугольники, многоугольники и их элементы, задания на вычисление площадей фигур, анализ геометрических высказываний, вычислительные задания по геометрии и задания по геометрии повышенной сложности. Особенно важно уметь решать подобные задания для учеников 9 классов, сдающих ОГЭ, ведь для получения удовлетворительной оценки обязательно нужно набрать хотя бы 2 балла за задания по геометрии.
Ниже указаны номера заданий, в которых может использоваться вычисление средней линии трапеции.
Номера заданий из ОГЭ: 3, 4, 15. 17, 18, 19, 23, 24, 25.
Номера заданий из ЕГЭ базового уровня: 9, 10, 11, 12, 13.
Номера заданий из ЕГЭ профильного уровня: 1, 3, 14, 17.
Ниже указаны номера заданий, в которых может использоваться вычисление средней линии трапеции.
Номера заданий из ОГЭ: 3, 4, 15. 17, 18, 19, 23, 24, 25.
Номера заданий из ЕГЭ базового уровня: 9, 10, 11, 12, 13.
Номера заданий из ЕГЭ профильного уровня: 1, 3, 14, 17.
