Разложение числа на простые множители
Эти числа поставили перед математиками немало сложных вопросов, на некоторые из которых нет ответа по сей день. Физик Лев Ландау говорил, что они созданы, чтобы их умножать. Об умножении простых чисел и разложении числа на простые множители и пойдет речь в этой статье
В математике одной из исследуемых областей является изучение теории чисел. Любое натуральное число можно отнести либо к простому, либо к составному.
Способы разложения числа на множители, применяемые к составным числам могут включать разные задания:
- разложение числа на множители;
- разложение числа на взаимно простые множители;
- разложение числа на простые множители.
Разберем каждый способ и потренируемся в решении примеров к ним.
Что такое разложение числа на простые множители в математике
Разложить число на простые множители – это значит представить его в виде произведения простых чисел. Натуральное число, большее 1, которое имеет только два делителя: 1 и само это число, называется простым.
Полезная информация о разложении числа на простые множители
| Немного истории | За 2 тыс. лет до н. э. египтяне знали разницу между простыми и составными числами, но первые исследования простых чисел провели математики Древней Греции. В «Началах» Евклида есть основная теорема арифметики, в которой говорится, что любое натуральное число, большее 1, можно разложить на простые множители единственным способом. Количество простых чисел бесконечно, поиск наибольшего продолжается до сих пор. |
| 1 – ни простое, ни составное число | Только к началу ХХ века ученые договорились не считать 1 простым числом, до этого часть из них относила ее к таким числам. |
| Знание признаков делимости натуральных чисел поможет быстрее разложить число на простые множители | Вот некоторые из них: на 2 / последняя цифра числа четная 0; 2; 4; 6; 8 (например, 50; 168) на 3 / сумма цифр числа делится на 3 (например, 153 — 1+5+3 = 9) на 5 / последняя цифра числа 0 или 5 (например, 1365; 12100) |
Способы разложения числа на множители
Делитель – это число, на которое данное число делится без остатка. Например, делителями числа 28 являются числа 1, 2, 4, 7, 14, 28.
Разложение числа на множители – это произведение, которое составлено из его делителей. А вот составить это произведение можно разными способами в зависимости от условия задания.
Разложение числа на два множителя
Любое целое число можно разложить на два множителя. В этом случае для каждого числа будет разное количество вариантов разложения.
Примеры
Так как число 28 составное (более 2 делителей), то его можно разложить на два множителя различными вариантами: 28 = 1 • 28 = 2 • 14 = 4 • 7= (– 7) • (– 4)
Разложение числа на взаимно простые множители
Взаимно простыми числами называются числа, у которых только один наибольший общий делитель (НОД) – единица. НОД (а, в) = 1.
Примеры
28 = 4 • 7 (у взаимно простых множителей 4 и 7 нет общих делителей, кроме 1)
30= 2 • 15 (у взаимно простых множителей 2 и 15 нет общих делителей, кроме 1)
Разложение числа на простые множители
В этом случае все множители в разложении должны быть простыми числами.
Таблица простых чисел
Примеры
28 = 2 • 2 • 7= 22 • 7
В этом примере использовано разложение с помощью вертикального деления и «дерева» разложения:
В примере ниже используется постепенное разложение:
153= 3 • 51 =3 • 3 • 17= 32 • 17
Задачи по теме «Разложение числа на простые множители»
Давайте потренируемся в решении задач.
Задача 1
Составьте из чисел 14, 18, 33, 45 всевозможные пары взаимно простых чисел.
Задача 2
Сократите дробь:
\(\frac{126}{198}\)
Задание 3
Какое наибольшее число пакетов необходимо приготовить организаторам экзамена, чтобы разложить в них 78 тетрадей в линейку и 117 тетрадей в клетку поровну.
Ответы к задачам
Теперь проверим решения и ответы.
Задача 1
Разложим числа на простые множители:
14 = 2 • 7
18 = 2 • 3 • 3
33 = 3 • 11
35= 5 • 7
Ответ: составим пары взаимно простых чисел, у которых нет общих делителей, кроме 1:
- 14 и 33;
- 33 и 35;
- 18 и 35.
Задача 2
В этом задании можно последовательно делить числитель и знаменатель на их общий делитель или, разложив числа 126 и 198 на простые множители, выполнить сокращение.
Способ 1
\(\frac{126}{198}=\frac{126\div2}{198\div2}=\frac{63\div9}{99\div9}=\frac7{11}\)
Способ 2
Ответ: 711
Задача 3
Чтобы ответить на вопрос, необходимо найти наибольший общий делитель чисел 78 и 117.
НОД (78; 117) — ?
И опять на помощь приходит разложение на простые множители:
78 = 2 • 3 • 13
117= 3 • 3 • 13
НОД (78; 117)= 3 • 13 =39
Ответ: необходимо 39 пакетов.
Популярные вопросы и ответы
Зачем нужно раскладывать число на простые множители?
Разложение числа на простые множители поможет в ситуации, когда нужно найти:
• НОД (наибольший общий делитель);
• НОК (наименьшее общее кратное);
• НОЗ (наименьший общий знаменатель);
• сократить дробь;
• для других действий.
Разложение числа на простые множители используется в криптографии, науке о способах и методах шифрования данных.
• НОД (наибольший общий делитель);
• НОК (наименьшее общее кратное);
• НОЗ (наименьший общий знаменатель);
• сократить дробь;
• для других действий.
Разложение числа на простые множители используется в криптографии, науке о способах и методах шифрования данных.
Почему разложение числа на простые множители изучают в 5, 6, 7, 8 классе?
В этих классах много заданий на действия с обыкновенными дробями, поэтому разложение числа на простые множители позволяет выполнить их правильно. Например, при сокращении дробей, при приведении дробей к наименьшему общему знаменателю и при других действиях.
В каком задании ОГЭ проверяется умение раскладывать число на простые множители?
На ОГЭ предлагаются задания, при решении которых может быть использовано правило разложения числа на простые множители, например в №6 из раздела «Числа и вычисления» и других заданиях, проверяющих умение выполнять расчеты и проводить преобразования выражений.
