Четные и нечетные числа
Узнаем, чем отличаются четные и нечетные числа, как их быстро распознать и какие у них особенности. Разберем примеры из жизни и потренируемся на задачах
Мы встречаем четные и нечетные числа каждый день: когда надеваем носки, делим конфеты поровну, считаем шаги до школы или проверяем, хватит ли стульев для всех гостей.
Еще около 2 500 лет назад древнегреческий философ Пифагор предложил делить числа на четные и нечетные, положив начало их изучению как важного математического свойства. Понимание четности помогает быстрее считать в уме, проверять ответы и решать логические задачи. Давайте разберемся, что такое четные и нечетные числа, как их распознать и какие интересные закономерности с ними связаны.
Что такое четные и нечетные числа в математике
В математике все целые числа разделяют на две большие группы — четные и нечетные.
Четные числа делятся на 2 без остатка. Они выглядят так: 2n, где n — любое целое число.
Например: -8, -2, 0, 4, 18, 102 — все они делятся на 2 нацело.
Нечетные числа — это целые числа, которые при делении на 2 всегда дают остаток 1. Это легко понять на примерах:
7 : 2 = 3 и 1 в остатке
15 : 2 = 7 и 1 в остатке
Формулу можно записать так: 2 × n + 1, где n — любое целое число.
Чтобы понять, четное число или нет, не обязательно делить его на 2. Достаточно взглянуть на последнюю цифру:
- если число оканчивается на 0, 2, 4, 6 или 8 — оно четное;
- если на 1, 3, 5, 7 или 9 — оно нечетное.
Например:
- 3 482 — четное (последняя цифра 2);
- 7 915 — нечетное (последняя цифра 5).
Четные и нечетные числа всегда чередуются на числовой прямой: после каждого четного числа идет нечетное, а за ним снова четное. Это важное свойство помогает быстро определить четность числа без вычислений.
Полезная информация о четных и нечетных числах
В таблице ниже вы найдете интересные факты о четных и нечетных числах.
| Факт о четных и нечетных числах | Подробности |
|---|---|
| Независимость от знака | Четность сохраняется независимо от знака: -8 — четное, -7 — нечетное |
| Квадрат числа | Квадрат любого четного числа всегда четный (6² = 36), а нечетного — всегда нечетный (7² = 49) |
| Сумма четных чисел | Сумма любого количества четных чисел всегда четная: 4 + 8 + 12 = 24 |
| Сумма нечетных чисел | Сумма четного количества нечетных чисел — четная, нечетного количества — нечетная: 3+5+7=15 (нечетное) |
| Таблица умножения на 2 | Все результаты умножения на 2 — четные числа: 2×3=6, 2×8=16 |
| Таблица умножения на 5 | Результаты умножения на 5 чередуются: четные (5×2=10) и нечетные (5×3=15) |
| Числа Фибоначчи | В последовательности Фибоначчи четные числа встречаются через два нечетных: 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8… |
| Шахматная доска | На доске размером 8×8 клеток равное количество белых и черных клеток — по 32. Это четное число |
Примеры четных и нечетных чисел
Еще в древности Пифагор обучал своих учеников распознавать четные и нечетные числа с помощью камешков. Если камешки можно разложить в правильную геометрическую фигуру, например прямоугольник с двумя одинаковыми рядами, — число четное. Если при раскладке в такие ряды остается один лишний камешек — число нечетное. Чтобы лучше запомнить, рассмотрим примеры.
Маленькие числа:
- четные: 0, 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14;
- нечетные: 1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15.
Большие числа:
- четные: 124 (оканчивается на 4), 2 048 (на 8), 56 732 (на 2);
- нечетные: 1 235 (на 5), 9 993 (на 3), 75 329 (на 9).
Отрицательные значения:
- четные: -8, -14, -100, -8 000;
- нечетные: -1, -7, -55, -3 001.
Необычные примеры:
- ноль (0) — четное число;
- год вашего рождения: 2015 — нечетное, 2014 — четное;
- количество букв в слове «математика» (10) — четное.
Четность числа определяется его последней цифрой и не зависит от:
- знака: -8 — четное;
- количества цифр: 1 000 000 — четное;
- величины: 2 и 2 000 000 — оба четные.
Свойства четных и нечетных чисел
Давайте разберем, как ведут себя четные и нечетные числа при основных арифметических действиях — сложении, вычитании, умножении и делении. Эти закономерности работают для любых целых чисел, независимо от их величины и знака.
Сумма четных и нечетных чисел
Сумма двух четных чисел всегда четная. Оба слагаемых делятся на 2, значит, и их сумма тоже делится на 2:
8 + 12 = 20
Сложение двух нечетных чисел также дает четный результат. Две «лишние» единицы от каждого нечетного числа вместе образуют целую пару:
5 + 7 = 12
Сумма четного и нечетного числа — нечетная. Четность нарушается единственной непарной единицей:
10 + 3 = 13
Разность четных и нечетных чисел
Разность двух четных чисел всегда четная. Оба числа содержат множитель 2, который сохраняется в результате:
14 − 8 = 6
Вычитание нечетных чисел дает четный результат. Одинаковые остатки взаимно уничтожаются при вычитании:
15 − 9 = 6
При вычитании из четного числа нечетного получается нечетный результат:
20 — 7 = 13
Вычитание из нечетного числа четного дает нечетный результат:
17 — 6 = 11
Произведение четных и нечетных чисел
Произведение будет четным, если хотя бы один множитель четный. Множитель 2 из четного числа переходит в результат:
4 × 5 = 20
Умножение нечетных чисел дает нечетный результат. Поскольку в исходных числах нет множителя 2, он не может появиться в произведении:
3 × 7 = 21
Частное четных и нечетных чисел
Деление четных чисел может давать любой результат в зависимости от конкретных значений:
28 : 4 = 7 (нечетное)
32 : 8 = 4 (четное)
При делении четного числа на нечетное (если делится нацело) результат всегда четный:
27 : 9 = 3
Деление нечетных чисел дает нечетный результат при условии целочисленного деления:
35 : 5 = 7
Деление нечетного числа на четное никогда не дает целого результата, потому что в нечетном числе нет множителя 2:
15 : 4 = 3,75
Эти свойства помогают быстро проверять решения задач и находить ошибки в вычислениях. Например, если при умножении нечетных чисел получился четный результат — значит, в вычислениях есть ошибка.
Задачи по теме «Четные и нечетные числа»
Потренируемся в решении задач.
Задача 1
В автобусе было 17 пассажиров. На остановке вошли еще 5 человек. Можно ли теперь рассадить всех пассажиров по два на каждое сиденье так, чтобы никто не сидел один?
Задача 2
Саша и Маша вырезали из бумаги снежинки. Саша вырезал 11 снежинок, а Маша — 14. Они решили развесить их в гирлянды, прикрепляя по 3 снежинки на каждую нитку. Хватит ли им снежинок, чтобы развесить их без остатка?
Задача 3
В театральном зале перегорело 27 лампочек. Техник может менять лампы только упаковками по 2 или по 4 штуки. Сможет ли он заменить все перегоревшие лампы без остатка?
Ответы к задачам
Давайте проверим, что у вас получилось.
Задача 1
Было 17 человек (нечетное число). Вошло 5 человек (нечетное).
По свойству сложения: нечетное + нечетное = четное.
Всего стало: 17 + 5 = 22 человека (четное число).
Четное количество человек можно рассадить по парам.
Ответ: да, теперь можно.
Задача 2
Общее количество снежинок: 11 + 14 = 25 (нечетное число).
Для гирлянд нужно, чтобы число делилось на 3.
25 : 3 = 8,33 (не целое число).
25 не делится на 3 без остатка.
Ответ: нет, не хватит. Останется 1 снежинка.
Задача 3
Упаковки по 2 и 4 лампы — четные числа.
Сумма четных чисел всегда четная.
27 — нечетное число.
Нельзя получить нечетное число, складывая четные.
Ответ: нет, не сможет. Всегда будет оставаться 1 лампа.
Популярные вопросы и ответы
Отвечает Дмитрий Малык, учитель математики и информатики высшей квалификационной категории, репетитор по подготовке к ЕГЭ и ОГЭ по математике:
Почему число 0 является четным числом?
Ноль — это четное число, потому что он делится на 2 нацело, без остатка. Если разделить 0 на 2, получится 0, и никаких «лишних» единиц не останется. Кроме того, если к нулю прибавить или вычесть двойку, мы снова получим четное число. Это свойство полностью соответствует определению четности.
Почему тему «Четные и нечетные числа» изучают уже в первом классе?
Потому что уже в детском возрасте полезно размышлять о классификации чего-либо (что числа тоже бывают такие и такие). Это также помогает развивать логическое и алгоритмическое мышление у детей, когда они, например, что-то делят пополам или на троих.
Первоклассники еще не умеют делить в столбик, но уже отлично понимают, что такое пара: два носка, два сапога, два глаза. Если что-то можно разбить на пары — оно четное. Если один предмет без пары остается — нечетное. Эта тема отлично развивает логику и готовит детей к более сложным темам, например к таблице умножения.
Первоклассники еще не умеют делить в столбик, но уже отлично понимают, что такое пара: два носка, два сапога, два глаза. Если что-то можно разбить на пары — оно четное. Если один предмет без пары остается — нечетное. Эта тема отлично развивает логику и готовит детей к более сложным темам, например к таблице умножения.
В каких заданиях ОГЭ и ЕГЭ по математике встречается понятие четных и нечетных чисел?
С понятием четности школьники сталкиваются в экзаменационных задачах гораздо чаще, чем кажется. В ОГЭ она встречается почти в каждом задании. Особенно четность и нечетность чисел чувствуется в задании №6 (при сокращении дробей или при умножении чисел с разными знаками) и в задании №8 (свойства степеней, где показатель степени влияет на знаки «плюс» или «минус»).
В ЕГЭ четность чисел используется в задачах по теории чисел, комбинаторике, логике и при доказательствах. Иногда она выступает как «инвариант» — свойство, которое сохраняется при определенных действиях. Это помогает быстро понять, возможен ли тот или иной результа.
В ЕГЭ четность чисел используется в задачах по теории чисел, комбинаторике, логике и при доказательствах. Иногда она выступает как «инвариант» — свойство, которое сохраняется при определенных действиях. Это помогает быстро понять, возможен ли тот или иной результа.
