Действительные числа

Каждый день мы используем числа: считаем деньги, измеряем расстояние, определяем время. Но задумывались ли вы, какие числа лежат в основе всех этих расчетов? Натуральные, целые, рациональные — все они являются частью более широкого понятия — действительные числа.

В отличие от узких классов чисел, действительные числа охватывают всю числовую прямую без исключений. Они включают в себя как знакомые нам дроби и целые числа, так и загадочные иррациональные числа.

Разберемся, как устроены действительные числа, чем они отличаются от других числовых множеств и почему без них невозможно представить современную математику.

Что такое действительные числа в алгебре

Действительные числа — это все возможные числа, которые можно расположить на числовой прямой. Они включают в себя:

• рациональные числа — целые числа, дроби, периодические десятичные дроби;
• иррациональные числа — непериодические бесконечные десятичные дроби.

Главное свойство действительных чисел — непрерывность: между любыми двумя числами на числовой прямой всегда найдется бесконечно много других действительных чисел.

Полезная информация о действительных числах

Прежде чем перейти к детальному разбору, систематизируем основные виды действительных чисел. Эта классификация поможет четко понять, как устроена числовая прямая, и покажет взаимосвязь между разными типами чисел, которые мы используем в математике.

Множество действительных чисел

Действительные числа — это фундаментальное понятие математики, объединяющее все возможные числовые значения на координатной прямой. Они образуют непрерывный числовой ряд без разрывов и включают в себя несколько важных подмножеств, каждое из которых имеет свои особенности и практическое применение. Рассмотрим подробно структуру действительных чисел, начиная с самых простых — натуральных и заканчивая наиболее сложными — иррациональными.

Натуральные числа (ℕ)

Натуральные числа — это числа, используемые для счета: 1, 2, 3, 4, 5 и так далее. Они не включают в себя 0 и отрицательные значения. Натуральных чисел существует бесконечное множество.

ℕ = {1; 2; 3; 4; 5; 6; …}

Примеры использования:

• подсчет количества предметов (5 яблок, 10 коров);
• нумерация страниц в книге (страницы 1, 2, 3 и так далее);
• определение возраста человека (7 лет, 42 года).

Целые числа (ℤ)

Целые числа — это числа, которые включают в себя натуральные числа, а также нуль и отрицательные целые значения. Данных чисел существует бесконечное множество.

ℤ = {…; -3; -2; -1; 0; 1; 2; 3; …}

Примеры использования:

• температура воздуха (+25°C, 0°C, -15°C);
• этажи зданий (3 — третий этаж, 0 — вход, -1 — подвал);
• финансовые операции (+5000 — доход, -3000 — долг).

Рациональные числа (ℚ)

Рациональные числа — числа, представимые в виде a/b, где a ∈ ℤ, b ∈ ℕ. Включают в себя все целые числа, обыкновенные дроби, смешанные числа, конечные десятичные дроби и бесконечные периодические десятичные дроби. Данных чисел существует бесконечное множество.

ℚ = {…; -7; …; -¾; …; 0; …; 2,(3); …; 11,53; …}

Примеры использования:

• разделение пиццы на части (1/2, 3/4 пиццы);
• процентные ставки по кредитам (15,5% годовых);
• длина отрезка (5,5 см, 12,75 дюйма).

Иррациональные числа (I)

Иррациональные числа — числа, которые нельзя представить в виде a/b, где a ∈ ℤ, b ∈ ℕ, но можно представить в виде бесконечной непериодической десятичной дроби. Включают в себя некоторые математические константы, квадратные корни, логарифмы, тригонометрические функции и другие.

I = {…; tg15°; …; √3; …; log₂5; …; e; …; π; …; 9,5673894…; …}

Примеры использования:

• расчет длины окружности (π ≈ 3,14159…);
• диагональ квадрата со стороной 1 (√2 ≈ 1,41421…);
• золотое сечение в искусстве (φ ≈ 1,61803…).

это интересно

Модуль числа

Рассмотрим понятие модуля числа и его основные формулы

подробнее

Свойства действительных чисел

Прежде чем перейти к практическому применению действительных чисел, необходимо рассмотреть их фундаментальные свойства. Эти характеристики определяют поведение чисел в операциях и их расположение на числовой прямой, формируя основу для всех дальнейших математических построений.

1. Непрерывность. Между любыми двумя числами на числовой прямой всегда найдется бесконечно много других действительных чисел.
2. Упорядоченность. Любые два числа можно сравнить: либо a > b, либо a < b, либо a = b.
3. Арифметические операции. Сложение, вычитание, умножение и деление (кроме деления на ноль) всегда дают действительное число.
4. Плотность. Между любыми двумя действительными числами найдется как рациональное, так и иррациональное число.

Задачи по теме «Действительные числа»

Теперь, когда мы разобрали теорию, применим ее на практике. Эти задачи помогут закрепить понимание действительных чисел и их свойств.

Задача 1

Какие из чисел являются действительными?
а) -5
б) √11
в) ⅔ 
г) e + 3

Задача 2

Какие из следующих чисел являются иррациональными?

а) √16
б) √5
в) ⅞ 
г) π + 1

Задача 3

Расположите числа в порядке возрастания: √2; -1,5; 0; 3/2; π.

Задача 4

Приведите пример:
а) отрицательного рационального числа
б) положительного иррационального числа
в) целого числа, не являющегося натуральным

Ответы к задачам

Прежде чем свериться с ответами, попробуйте решить задачи самостоятельно. А после разберите каждое задание с помощью ответов, представленных ниже.

Задача 1

а) -5 — целое число
б) √11 — иррациональное число
в) ⅔ — рациональное число
г) e + 3 — иррациональное число

Все перечисленные числа действительные.

Ответ: а), б), в), г)

Задача 2

а) √16 = 4 — рациональное
б) √5 ≈ 2,236… — иррациональное
в) ⅞  — рациональное
г) π + 1 ≈ 4,14159… — иррациональное

Ответ: б), г)

Задача 3

-1,5; 0; √2 ≈ 1,41…; 3/2 = 1,5; π ≈ 3,14…

Ответ: -1,5; 0; √2; 3/2; π

Задача 4

Возможные варианты:

а) -¾; -7; -0,(45)
б) √3; π; 3π
в) 0; -5; -12

Ответ: а) -¾; -7; -0,(45), б) √3; π; 3π, в) 0; -5; -12

Популярные вопросы и ответы

Отвечает Ольга Комарова, учитель математики: