КП
Реклама О проекте
Анастасия Полищук Автор КП Юлия Крутова Учитель математики и физики МОУ СОШ №16, Орехово-Зуевский городской округ
Содержание
  1. Что такое формулы приведения
  2. Полезная информация
  3. Список формул
  4. Доказательство формул
  5. Таблица формул
  6. Примеры и задачи
  7. Вопросы и ответы

Формулы приведения

В тригонометрических задачах нередко встречаются аргументы, далеко выходящие за пределы диапазона от 0 до π/2. Работать с ними неудобно, но на помощь приходят формулы приведения

Геометрическая прогрессия. Фото: Dmytro Zinkevych / Shutterstock / Fotodom
Анастасия Полищук Автор КП Юлия Крутова Учитель математики и физики МОУ СОШ №16, Орехово-Зуевский городской округ
Содержание
  1. Что такое формулы приведения
  2. Полезная информация
  3. Список формул
  4. Доказательство формул
  5. Таблица формул
  6. Примеры и задачи
  7. Вопросы и ответы

Запомнив значения синусов, косинусов, тангенсов и котангенсов для основных углов из диапазона [0;π/2], ученики старшей школы часто надеются, что эти знания помогут им легко решать все тригонометрические задачи. К сожалению, далеко не всегда в задании даны углы, удобные для вычисления: может быть, например, 33π/2 или 172π/3. В таких случаях необходимо на первом этапе решения воспользоваться формулами приведения.

Что такое формулы приведения в алгебре

Формулы приведения в алгебре – это выражения, связывающие между собой тригонометрические функции углов вида πn/2 + 𝛼 (где n – целое число от 1 до 4) и угла 𝛼, входящего в диапазон [0;π/2]. Такие формулы помогают привести аргумент функции к значению, удобному для вычисления.

Полезная информация о формулах приведения

Все формулы приведения условно можно разделить на четыре группыПо значению «базовой части» аргумента: π/2, π, 3π/2, 2π.
Всего существует 32 формулы приведенияИх все можно выразить, используя единое правило
Для доказательства понадобится лишь четыре формулыА именно: формулы синуса и косинуса для суммы и разности углов

Список формул приведения

Все формулы приведения можно разделить по значению аргумента на четыре группы:

∙π2±α∙π±α∙3π2±α∙2π±α\begin{array}{ll} \bullet \frac{\pi}{2}\pm\alpha\\ \bullet \pi\pm\alpha\\ \bullet \frac{3\pi}{2}\pm\alpha\\ \bullet 2\pi\pm\alpha \end{array}
Формулы приведения для углов вида π2±α:sin⁡(π2−α)=cos⁡αsin⁡(π2+α)=cos⁡αcos⁡(π2−α)=sin⁡αcos⁡(π2+α)=−sin⁡αtg(π2−α)=ctgαtg(π2+α)=−ctgαctg(π2−α)=tgαctg(π2+α)=−tgαФормулы приведения для углов вида π±α:sin⁡(π−α)=sin⁡αsin⁡(π+α)=−sin⁡αcos⁡(π−α)=−cos⁡αcos⁡(π+α)=−cos⁡αtg(π−α)=−tgαtg(π+α)=tgαctg(π−α)=−ctgαctg(π+α)=ctgαФормулы приведения для углов вида 3π2±α:sin⁡(3π2−α)=−cos⁡αsin⁡(3π2+α)=−cos⁡αcos⁡(3π2−α)=−sin⁡αcos⁡(3π2+α)=sin⁡αtg(3π2−α)=ctgαtg(3π2+α)=−ctgαctg(3π2−α)=tgαctg(3π2+α)=−tgαФормулы приведения для углов вида 2π±α:sin⁡(2π−α)=−sin⁡αsin⁡(2π+α)=sin⁡αcos⁡(2π−α)=cos⁡αcos⁡(2π+α)=cos⁡αtg(2π−α)=−tgαtg(2π+α)=tgαctg(2π−α)=−ctgαctg(2π+α)=ctgα\begin{array}{l} \text{Формулы приведения для углов вида } \frac{\pi}{2}\pm\alpha: \\[6pt] \sin\left(\frac{\pi}{2}-\alpha\right)=\cos\alpha\\ \sin\left(\frac{\pi}{2}+\alpha\right)=\cos\alpha\\ \cos\left(\frac{\pi}{2}-\alpha\right)=\sin\alpha\\ \cos\left(\frac{\pi}{2}+\alpha\right)=-\sin\alpha\\ \mathrm{tg}\left(\frac{\pi}{2}-\alpha\right)=\mathrm{ctg}\alpha\\ \mathrm{tg}\left(\frac{\pi}{2}+\alpha\right)=-\mathrm{ctg}\alpha\\ \mathrm{ctg}\left(\frac{\pi}{2}-\alpha\right)=\mathrm{tg}\alpha\\ \mathrm{ctg}\left(\frac{\pi}{2}+\alpha\right)=-\mathrm{tg}\alpha\\[12pt] \text{Формулы приведения для углов вида }\pi\pm\alpha: \\[6pt] \sin(\pi-\alpha)=\sin\alpha\\ \sin(\pi+\alpha)=-\sin\alpha\\ \cos(\pi-\alpha)=-\cos\alpha\\ \cos(\pi+\alpha)=-\cos\alpha\\ \mathrm{tg}(\pi-\alpha)=-\mathrm{tg}\alpha\\ \mathrm{tg}(\pi+\alpha)=\mathrm{tg}\alpha\\ \mathrm{ctg}(\pi-\alpha)=-\mathrm{ctg}\alpha\\ \mathrm{ctg}(\pi+\alpha)=\mathrm{ctg}\alpha\\[12pt] \text{Формулы приведения для углов вида }\frac{3\pi}{2}\pm\alpha: \\[6pt] \sin\left(\frac{3\pi}{2}-\alpha\right)=-\cos\alpha\\ \sin\left(\frac{3\pi}{2}+\alpha\right)=-\cos\alpha\\ \cos\left(\frac{3\pi}{2}-\alpha\right)=-\sin\alpha\\ \cos\left(\frac{3\pi}{2}+\alpha\right)=\sin\alpha\\ \mathrm{tg}\left(\frac{3\pi}{2}-\alpha\right)=\mathrm{ctg}\alpha\\ \mathrm{tg}\left(\frac{3\pi}{2}+\alpha\right)=-\mathrm{ctg}\alpha\\ \mathrm{ctg}\left(\frac{3\pi}{2}-\alpha\right)=\mathrm{tg}\alpha\\ \mathrm{ctg}\left(\frac{3\pi}{2}+\alpha\right)=-\mathrm{tg}\alpha\\[12pt] \text{Формулы приведения для углов вида }2\pi\pm\alpha: \\[6pt] \sin(2\pi-\alpha)=-\sin\alpha\\ \sin(2\pi+\alpha)=\sin\alpha\\ \cos(2\pi-\alpha)=\cos\alpha\\ \cos(2\pi+\alpha)=\cos\alpha\\ \mathrm{tg}(2\pi-\alpha)=-\mathrm{tg}\alpha\\ \mathrm{tg}(2\pi+\alpha)=\mathrm{tg}\alpha\\ \mathrm{ctg}(2\pi-\alpha)=-\mathrm{ctg}\alpha\\ \mathrm{ctg}(2\pi+\alpha)=\mathrm{ctg}\alpha \end{array}
это интересно
Теория вероятностей
Как принимать обоснованные решения на основе вероятностных оценок
Подробнее

Доказательство формул приведения

Чтобы доказать любую из формул приведения, нам необходимо вспомнить значения синуса и косинуса для суммы и разности углов: 

  • sin (𝛼 + 𝛽) = sin 𝛼 × cos 𝛽 + cos 𝛼 × sin 𝛽
  • sin (𝛼 — 𝛽) = sin 𝛼 × cos 𝛽 — cos 𝛼 × sin 𝛽
  • cos (𝛼 + 𝛽) = cos 𝛼 × cos 𝛽 — sin 𝛼 × sin 𝛽
  • cos (𝛼 — 𝛽) = cos 𝛼 × cos 𝛽 + sin 𝛼 × sin 𝛽

Не будем приводить доказательство всех 32 формул, возьмем по одной из каждого вида аргументов, указанных в предыдущем разделе.

sin⁡(π2−α)=cos⁡αsin⁡(π2−α)=sin⁡π2×cos⁡α−cos⁡π2×sin⁡α=1×cos⁡α−0×sin⁡α=cos⁡αcos⁡(π+α)=−cos⁡αcos⁡(π+α)=cos⁡π×cos⁡α+sin⁡π×sin⁡α=−1×cos⁡α+0×sin⁡α=−cos⁡αtg(3π2−α)=ctgαtg(3π2−α)=sin⁡(3π2−α)cos⁡(3π2−α)=sin⁡3π2×cos⁡α−cos⁡3π2×sin⁡αcos⁡3π2×cos⁡α+sin⁡3π2×sin⁡α=−1×cos⁡α−0×sin⁡α0×cos⁡α−1×sin⁡α=−cos⁡α−sin⁡α=ctgαctg(2π−α)=−ctgαctg(2π−α)=cos⁡(2π−α)sin⁡(2π−α)=cos⁡2π×cos⁡α+sin⁡2π×sin⁡αsin⁡2π×cos⁡α−cos⁡2π×sin⁡α=1×cos⁡α+0×sin⁡α0×cos⁡α−1×sin⁡α=cos⁡α−sin⁡α=−ctgα\begin{array}{c} \sin\left(\frac{\pi}{2}-\alpha\right)=\cos\alpha\\[10pt] \sin\left(\frac{\pi}{2}-\alpha\right) = \sin\frac{\pi}{2}\times\cos\alpha — \cos\frac{\pi}{2}\times\sin\alpha = 1\times\cos\alpha — 0\times\sin\alpha = \cos\alpha\\[12pt] \cos(\pi+\alpha)=-\cos\alpha\\[10pt] \cos(\pi+\alpha) = \cos\pi\times\cos\alpha + \sin\pi\times\sin\alpha = -1\times\cos\alpha + 0\times\sin\alpha = -\cos\alpha\\[12pt] \mathrm{tg}\left(\frac{3\pi}{2}-\alpha\right)=\mathrm{ctg}\alpha\\[10pt] \mathrm{tg}\left(\frac{3\pi}{2}-\alpha\right) = \frac{\sin\left(\frac{3\pi}{2}-\alpha\right)} {\cos\left(\frac{3\pi}{2}-\alpha\right)} = \frac{ \sin\frac{3\pi}{2}\times\cos\alpha — \cos\frac{3\pi}{2}\times\sin\alpha }{ \cos\frac{3\pi}{2}\times\cos\alpha + \sin\frac{3\pi}{2}\times\sin\alpha } =\\[10pt] \frac{ -1\times\cos\alpha — 0\times\sin\alpha }{ 0\times\cos\alpha — 1\times\sin\alpha } = \frac{-\cos\alpha}{-\sin\alpha} = \mathrm{ctg}\alpha\\[12pt] \mathrm{ctg}(2\pi-\alpha)=-\mathrm{ctg}\alpha\\[10pt] \mathrm{ctg}(2\pi-\alpha) = \frac{\cos(2\pi-\alpha)} {\sin(2\pi-\alpha)} = \frac{ \cos2\pi\times\cos\alpha + \sin2\pi\times\sin\alpha }{ \sin2\pi\times\cos\alpha — \cos2\pi\times\sin\alpha } =\\[10pt] \frac{ 1\times\cos\alpha + 0\times\sin\alpha }{ 0\times\cos\alpha — 1\times\sin\alpha } = \frac{\cos\alpha}{-\sin\alpha} = -\mathrm{ctg}\alpha \end{array}

Формулы приведения с синусом

При решении некоторых тригонометрических задач удобнее группировать формулы приведения по типу функции, которая в них используется. Первыми перечислим формулы с синусом.

sin⁡(π2−α)=cos⁡αsin⁡(π2+α)=cos⁡αsin⁡(π−α)=sin⁡αsin⁡(π+α)=−sin⁡αsin⁡(3π2−α)=−cos⁡αsin⁡(3π2+α)=−cos⁡αsin⁡(2π−α)=−sin⁡αsin⁡(2π+α)=sin⁡α\begin{array}{l} \sin\left(\frac{\pi}{2}-\alpha\right)=\cos\alpha\\[8pt] \sin\left(\frac{\pi}{2}+\alpha\right)=\cos\alpha\\[8pt] \sin(\pi-\alpha)=\sin\alpha\\[8pt] \sin(\pi+\alpha)=-\sin\alpha\\[8pt] \sin\left(\frac{3\pi}{2}-\alpha\right)=-\cos\alpha\\[8pt] \sin\left(\frac{3\pi}{2}+\alpha\right)=-\cos\alpha\\[8pt] \sin(2\pi-\alpha)=-\sin\alpha\\[8pt] \sin(2\pi+\alpha)=\sin\alpha \end{array}

Формулы приведения с косинусом

Список формул с косинусом выглядит так:

cos⁡(π2−α)=sin⁡αcos⁡(π2+α)=−sin⁡αcos⁡(π−α)=−cos⁡αcos⁡(π+α)=−cos⁡αcos⁡(3π2−α)=−sin⁡αcos⁡(3π2+α)=sin⁡αcos⁡(2π−α)=cos⁡αcos⁡(2π+α)=cos⁡α\begin{array}{l} \cos\left(\frac{\pi}{2}-\alpha\right)=\sin\alpha\\[8pt] \cos\left(\frac{\pi}{2}+\alpha\right)=-\sin\alpha\\[8pt] \cos(\pi-\alpha)=-\cos\alpha\\[8pt] \cos(\pi+\alpha)=-\cos\alpha\\[8pt] \cos\left(\frac{3\pi}{2}-\alpha\right)=-\sin\alpha\\[8pt] \cos\left(\frac{3\pi}{2}+\alpha\right)=\sin\alpha\\[8pt] \cos(2\pi-\alpha)=\cos\alpha\\[8pt] \cos(2\pi+\alpha)=\cos\alpha \end{array}

Формулы приведения с тангенсом

Приведем выражения с тангенсом.

tg(π2−α)=ctgαtg(π2+α)=−ctgαtg(π−α)=−tgαtg(π+α)=tgαtg(3π2−α)=ctgαtg(3π2+α)=−ctgαtg(2π−α)=−tgαtg(2π+α)=tgα\begin{array}{l} \mathrm{tg}\left(\frac{\pi}{2}-\alpha\right)=\mathrm{ctg}\alpha\\[8pt] \mathrm{tg}\left(\frac{\pi}{2}+\alpha\right)=-\mathrm{ctg}\alpha\\[8pt] \mathrm{tg}(\pi-\alpha)=-\mathrm{tg}\alpha\\[8pt] \mathrm{tg}(\pi+\alpha)=\mathrm{tg}\alpha\\[8pt] \mathrm{tg}\left(\frac{3\pi}{2}-\alpha\right)=\mathrm{ctg}\alpha\\[8pt] \mathrm{tg}\left(\frac{3\pi}{2}+\alpha\right)=-\mathrm{ctg}\alpha\\[8pt] \mathrm{tg}(2\pi-\alpha)=-\mathrm{tg}\alpha\\[8pt] \mathrm{tg}(2\pi+\alpha)=\mathrm{tg}\alpha \end{array}

Формулы приведения с котангенсом

Завершим перечисление формулами для котангенса.

ctg(π2−α)=tgαctg(π2+α)=−tgαctg(π−α)=−ctgαctg(π+α)=ctgαctg(3π2−α)=tgαctg(3π2+α)=−tgαctg(2π−α)=−ctgαctg(2π+α)=ctgα\begin{array}{l} \mathrm{ctg}\left(\frac{\pi}{2}-\alpha\right)=\mathrm{tg}\alpha\\[8pt] \mathrm{ctg}\left(\frac{\pi}{2}+\alpha\right)=-\mathrm{tg}\alpha\\[8pt] \mathrm{ctg}(\pi-\alpha)=-\mathrm{ctg}\alpha\\[8pt] \mathrm{ctg}(\pi+\alpha)=\mathrm{ctg}\alpha\\[8pt] \mathrm{ctg}\left(\frac{3\pi}{2}-\alpha\right)=\mathrm{tg}\alpha\\[8pt] \mathrm{ctg}\left(\frac{3\pi}{2}+\alpha\right)=-\mathrm{tg}\alpha\\[8pt] \mathrm{ctg}(2\pi-\alpha)=-\mathrm{ctg}\alpha\\[8pt] \mathrm{ctg}(2\pi+\alpha)=\mathrm{ctg}\alpha \end{array}

Таблица формул приведения

Для удобства соберем все приведенные выше формулы в единую таблицу.

Таблица формул приведения
Таблица формул приведения. Изображение: Александр Морозов / нейросети
Скачать

Примеры и задачи по теме «Формулы приведения»

Выполним несколько упражнений, посвященных формулам приведения.

Задача 1

Вычислите значения следующих выражений:

1. sin⁡(17π3)2. cos⁡(181π8)3. tg(13π6)4. ctg(7π4)\begin{array}{l} 1.\ \sin\left(\frac{17\pi}{3}\right)\\[8pt] 2.\ \cos\left(\frac{181\pi}{8}\right)\\[8pt] 3.\ \mathrm{tg}\left(\frac{13\pi}{6}\right)\\[8pt] 4.\ \mathrm{ctg}\left(\frac{7\pi}{4}\right) \end{array}

Задача 2

Вычислите синус и косинус для углов, значения которых выражены в градусах:

1. β=135∘2. β=390∘3. β=150∘4. β=225∘\begin{array}{l} 1.\ \beta=135^\circ\\[8pt] 2.\ \beta=390^\circ\\[8pt] 3.\ \beta=150^\circ\\[8pt] 4.\ \beta=225^\circ \end{array}

Ответы к задачам

Проверьте себя.

Задача 1

Во всех случаях будем помнить, что 2π и кратные ему (4π, 6π и так далее) можно отбрасывать при необходимости при вычислении любой функции.

1. sin⁡(17π3)=sin⁡(6π−π3)=sin⁡(2π−π3)=−sin⁡π3=−322. cos⁡(181π4)=cos⁡(45π+π4)=cos⁡(π+π4)=−cos⁡π4=−223. tg(13π6)=tg(2π+π6)=tgπ6=334. ctg(7π4)=ctg(2π−π4)=−ctgπ4=−1\begin{array}{l} 1.\ \sin\left(\frac{17\pi}{3}\right) =\sin\left(6\pi-\frac{\pi}{3}\right) =\sin\left(2\pi-\frac{\pi}{3}\right) =-\sin\frac{\pi}{3} =-\frac{3}{2}\\[8pt] 2.\ \cos\left(\frac{181\pi}{4}\right) =\cos\left(45\pi+\frac{\pi}{4}\right) =\cos\left(\pi+\frac{\pi}{4}\right) =-\cos\frac{\pi}{4} =-\frac{2}{2}\\[8pt] 3.\ \mathrm{tg}\left(\frac{13\pi}{6}\right) =\mathrm{tg}\left(2\pi+\frac{\pi}{6}\right) =\mathrm{tg}\frac{\pi}{6} =\frac{3}{3}\\[8pt] 4.\ \mathrm{ctg}\left(\frac{7\pi}{4}\right) =\mathrm{ctg}\left(2\pi-\frac{\pi}{4}\right) =-\mathrm{ctg}\frac{\pi}{4} =-1 \end{array}

Задача 2

Переведем градусы в радианы и воспользуемся формулами приведения. 

1. β=135∘=90∘+45∘=π2+π4sin⁡(π2+π4)=cos⁡π4=22cos⁡(π2+π4)=−sin⁡π4=−222. β=390∘=360∘+30∘=2π+π6sin⁡(2π+π6)=sin⁡π6=12cos⁡(2π+π6)=cos⁡π6=323. β=150∘=180∘−30∘=π−π6sin⁡(π−π6)=sin⁡π6=12cos⁡(π−π6)=−cos⁡π6=−324. β=225∘=180∘+45∘=π+π4sin⁡(π+π4)=−sin⁡π4=−22cos⁡(π+π4)=−cos⁡π4=−22\begin{array}{l} 1.\ \beta=135^\circ=90^\circ+45^\circ=\frac{\pi}{2}+\frac{\pi}{4}\\[12pt] \sin\left(\frac{\pi}{2}+\frac{\pi}{4}\right) =\cos\frac{\pi}{4} =\frac{2}{2}\\[12pt] \cos\left(\frac{\pi}{2}+\frac{\pi}{4}\right) =-\sin\frac{\pi}{4} =-\frac{2}{2}\\[18pt] 2.\ \beta=390^\circ=360^\circ+30^\circ=2\pi+\frac{\pi}{6}\\[12pt] \sin\left(2\pi+\frac{\pi}{6}\right) =\sin\frac{\pi}{6} =\frac{1}{2}\\[12pt] \cos\left(2\pi+\frac{\pi}{6}\right) =\cos\frac{\pi}{6} =\frac{3}{2}\\[18pt] 3.\ \beta=150^\circ=180^\circ-30^\circ=\pi-\frac{\pi}{6}\\[12pt] \sin\left(\pi-\frac{\pi}{6}\right) =\sin\frac{\pi}{6} =\frac{1}{2}\\[12pt] \cos\left(\pi-\frac{\pi}{6}\right) =-\cos\frac{\pi}{6} =-\frac{3}{2}\\[18pt] 4.\ \beta=225^\circ=180^\circ+45^\circ=\pi+\frac{\pi}{4}\\[12pt] \sin\left(\pi+\frac{\pi}{4}\right) =-\sin\frac{\pi}{4} =-\frac{2}{2}\\[12pt] \cos\left(\pi+\frac{\pi}{4}\right) =-\cos\frac{\pi}{4} =-\frac{2}{2} \end{array}

Популярные вопросы и ответы

Отвечает Юлия Крутова, учитель математики и физики МОУ СОШ №16, Орехово-Зуевский городской округ:

Как запомнить формулы приведения?

Существует схема для удобного запоминания формул приведения. Например, cos (3π/2 + 𝛼). Необходимо определить два параметра: будет ли появляться знак «-» и поменяется ли косинус на синус. 

1. На единичной окружности определяем знак: 3π/2 + 𝛼 расположен в четвертой четверти, косинус в этой четверти положительный, поэтому знак будет «+».

2. 3π/2 расположено на оси ординат (вертикальной оси), как и π/2. Смотря на них, мы как будто бы киваем головой: «да, косинус меняется на синус». Если будет π или 2π (они располагаются на горизонтальной оси абсцисс) – мотаем головой: «нет, не меняется». 

В итоге получилось: cos (3π/2 + 𝛼)  = sin 𝛼

Как подготовиться к самостоятельной работе на тему «Формулы приведения»?

Для того чтобы подготовиться к самостоятельной работе, нужно решить самостоятельно 5-6 примеров по схеме, которую я описала выше. Как только вы отработаете самостоятельно этот способ, проблем с запоминанием не будет.

Почему формулы приведения изучают в 10 классе?

Изучение формул приведения по некоторым учебникам начинается в 9 классе, только в градусной мере. В 10 классе тригонометрию изучают с азов, подробно и глубоко, и работают только с радианами.

В каком задании ЕГЭ понадобится умение применять формулы приведения?

В спецификации и кодификаторе ЕГЭ задание на тригонометрию может встретиться в 7-м и 13-м номерах. Это могут быть преобразования выражений, решение уравнений и неравенств.

Читайте также

АлгебраШколаШкольные предметы
Теорема Виета
Изучив эту теорему, вы не только пополните математические знания, но и разовьете логическое мышление
АлгебраШколаШкольные предметы
Арифметическая прогрессия
Преподаватель математики объясняет, что такое арифметическая прогрессия и какие формулы нужно знать, чтобы успешно сдать экзамены
АлгебраМатематикаШколаШкольные предметы
Подобные слагаемые
Рассказываем, как правильно приводить подобные слагаемые при раскрытии скобок в алгебраических выражениях
КП
Реклама О проекте