Теорема Виета
Теорема Виета применяется в научных и инженерных областях для анализа и решения большинства задач. Изучив ее, вы не только пополните математические знания, но и разовьете логическое мышление
Теорема Виета служит базой для более глубокого понимания алгебры, подготавливая учеников к сложным темам. Вместе с экспертом, преподавателем математики, что такое теорема Виета в алгебре, разберем доказательство и закрепим изученный материал решением задач по теме.
Что такое теорема Виета в алгебре
Эта теорема дает возможность вывести формулу разложения квадратного трехчлена на множители, а также найти сумму и произведение корней произвольного квадратного уравнения через его коэффициенты. Теорема Виета является ключевой в решении определенной части заданий по алгебре.
Полезная информация о теореме Виета
| Историческая справка | В 16 веке французский математик Ф. Виет при решении квадратного уравнения впервые сформулировал теорему Виета. |
| Применение теоремы Виета | Теорема Виета – основной инструмент для работы с многочленами. Ученые всего мира используют ее во многих областях математики. |
| Дискриминант | Кроме теоремы Виета, есть альтернативный метод нахождения корней уравнения, используя дискриминант. |
Знаки при подборе корней
Если третий коэффициент (свободный член) квадратного уравнения – положительное число, то оба корня имеют одинаковый знак.
Если третий коэффициент (свободный член) квадратного уравнения – отрицательное число, то корни имеют противоположные знаки.
Формула теоремы Виета для квадратного уравнения
\(\mathrm{Сумма}\;\mathrm{корней}\;{\mathrm x}_1\;\mathrm и\;{\mathrm x}_2\;\mathrm{квадратного}\;\mathrm{уравнения}\;\mathrm{аx}^2\;+\;\mathrm{bx}\;+\;\mathrm c\;=\;0\\\mathrm{равна}\;{\mathrm x}_1+\;{\mathrm x}_2\;=\;-\frac{\mathrm b}{\mathrm a},\;\\\mathrm а\;\mathrm{произведение}\;\mathrm{корней}\;{\mathrm x}_1\;\mathrm и\;{\mathrm x}_2\;\mathrm{будет}\;\mathrm{равно}\;\;{\mathrm x}_1\;\times\;{\mathrm x}_2\;=\;\frac{\mathrm c}{\mathrm a}.\)
Квадратное уравнение аx2 + bx + c = 0 называется приведенным, если старший коэффициент а = 1.
В этом случае теорема Виета звучит так:
Сумма корней x1 и x2 приведенного квадратного уравнения
x2 + mx + n = 0 равна второму коэффициенту m, но с противоположным знаком, а произведение корней x1 и x2 будет равно свободному члену n.
x1 + x2 = – m
x1 × x2 = n
Доказательство теоремы Виета
Так как по условию теоремы известно, что x1 и x2 корни уравнения, значит:
\(\mathrm D\;=\;\mathrm b^2–\;4\mathrm{ac}\;>\;0\;\\\mathrm и\;\\{\mathrm x}_1\;=\;\;\frac{-\;\mathrm b\;-\sqrt{\mathrm D}}{2\mathrm a}\;\;\;\\{\mathrm x}_2=\;\;\frac{-\;\mathrm b+\sqrt{\mathrm D}}{2\mathrm a}.\)
Найдем сумму корней:
\({\mathrm x}_1\;+\;{\mathrm x}_2\;=\;\frac{-\;\mathrm b\;-\sqrt{\mathrm D}}{2\mathrm a}\;+\;\frac{-\;\mathrm b+\sqrt{\mathrm D}}{2\mathrm a}\;=\;\;\frac{-\;\mathrm b\;-\;\sqrt{\mathrm D}\;-\;\mathrm b\;+\;\sqrt{\mathrm D}}{2\mathrm a}\;=\;\\=\;\frac{-\;\mathrm b\;-\;\mathrm b}{2\mathrm a}\;=\;\frac{-\;2\mathrm b}{\;2\mathrm a}\;=-\frac{\mathrm b}{\mathrm a}\)
Найдем произведение корней:
\({\mathrm x}_1\;\times\;{\mathrm x}_2\;=\;\;\frac{-\;\mathrm b\;-\;\sqrt{\mathrm D}}{2\mathrm a}\;\times\;\frac{-\;\mathrm b\;+\;\sqrt{\mathrm D}}{2\mathrm a}\;=\;\frac{\;{(-\;\mathrm b)}^2\;-\;\sqrt{\mathrm D}^2}{{(2\mathrm a)}^2}\;=\\=\;\frac{\;\mathrm b^2\;-\;\mathrm D}{{4\mathrm a}^2}\;=\;\frac{\;\mathrm b^2\;-\;(\mathrm b2–\;4\mathrm{ac})}{4\mathrm a^2}=\;\frac{\mathrm b^2\;-\;\mathrm b^2\;+\;4\mathrm{ac}}{4\mathrm a^2}\;=\;\frac{4\mathrm{ac}}{4\mathrm a^2}\;=\;\;\frac{\mathrm c}{\mathrm a}\)
Аналогичный результат получится при D = 0, так как
\({\mathrm x}_1\;=\;\frac{-\;\mathrm b\;-\;\sqrt{\;0}}{2\mathrm a}\;=\frac{\;-\;\mathrm b}{2\mathrm a}\;;\\{\mathrm x}_2\;=\;\frac{-\;\mathrm b\;+\;\sqrt0}{2\mathrm a}\;=\;\frac{-\;\mathrm b}{2\mathrm a}.\)
Обратная теорема Виета
Данная теорема довольно часто используется для решения квадратных уравнений, позволяет быстро «подбирать» и проверять их корни. Помогает составлять квадратные уравнения по заданным корням.
\(\mathrm{Если}\;\mathrm{числа}\;\mathrm\beta\;\mathrm и\;\mathrm{такие},\;\mathrm{что}\;\mathrm{выполняются}\;\mathrm{равенства}\;\mathrm\beta\;+=-\frac{\mathrm b}{\mathrm a}\\\mathrm и\;\mathrm\beta\;\times\;\mathrm\kappa\;=\frac{\mathrm с}{\mathrm a},\;\mathrm{значит},\;\mathrm{они}\;\mathrm{являются}\;\mathrm{корнями}\;\mathrm{квадратного}\\\mathrm{уравнения}\;\mathrm{аx}^2\;+\;\mathrm{bx}\;+\;\mathrm c\;=\;0.\;\)
Для приведенного квадратного уравнения x2 + mx + n = 0:
\(\mathrm{Если}\;\mathrm{числа}\;\mathrm\beta\;\mathrm и\;\mathrm{такие},\;\mathrm{что}\;\mathrm{выполняются}\;\mathrm{равенства}\;\\\mathrm\beta\;+\;\mathrm\kappa\;=-\mathrm m\;\mathrm и\;\mathrm\beta\;\times\;\mathrm\kappa\;=\;\mathrm n,\;\;\mathrm{значит},\;\mathrm{они}\;\mathrm{являются}\\\mathrm{корнями}\;\mathrm{приведенного}\;\mathrm{квадратного}\;\mathrm{уравнения}\;\\\mathrm x^2\;+\;\mathrm{mx}\;+\;\mathrm n\;=\;0.\;\)
Задачи и примеры на тему «Теорема Виета»
Вместе с учителем математики и физики Светланой Кудряшовой составили задачи на теорему Виета. Давайте закрепим изученный материал и разберем пошаговое решение.
Задача 1
Ответьте на вопросы, выбрав один из предложенных вариантов ответа.
1. Чему равна сумма корней приведенного квадратного уравнения?
а) свободному коэффициенту, взятому с противоположным знаком;
б) свободному коэффициенту;
в) второму коэффициенту;
г) второму коэффициенту, взятому с противоположным знаком.
2. Чему равно произведение корней приведенного квадратного уравнения?
а) свободному коэффициенту, взятому с противоположным знаком;
б) свободному коэффициенту;
в) второму коэффициенту;
г) второму коэффициенту, взятому с противоположным знаком.
3. Выберите корни квадратного уравнения x2 – x – 12 = 0.
а) 4 и –3;
б) 1 и –12;
в) – 4 и 3;
г) –1 и 12.
Задача 2
Решите уравнение x2 + 3x – 18 = 0.
это интересно
Дискриминант
Решать квадратные уравнения можно различными способами. Один из них — по формуле c помощью дискриминанта
Подробнее
Задача 3
Запишите приведенное квадратное уравнение x2 + mx + n = 0, если его корни –8 и 7.
Задача 4
Зная, что x1 и x2 – корни уравнения x2 + 2x – 8 = 0, не решая его, найдите значение выражения.
\(\mathrm а)\;\frac1{\mathrm х^1}\;\;+\;\;\frac1{\mathrm x^{\;2}}\;;\\\mathrm б)\;{\mathrm х}_1^2{\mathrm х}_2\;+\;{\mathrm х}_1{\mathrm х}_2^2.\)
Ответы к задачам
Давайте проверим решения задач и сверим полученные ответы.
Задача 1
1. г.
2. б.
3. а.
Задача 2
x2 + 3x – 18 = 0
По обратной теореме Виета
x1 + x2 = – 3
x1 × x2 = – 18
Подберем корни
x1 = – 6
x2 = 3
– 6 × 3 = – 18
– 6 + 3 = – 3
Ответ: – 6; 3.
Задача 3
x2 + mx + n = 0
Пусть x1 = – 8; x2 = 7.
По теореме Виета
x1 + x2 = – m
x1 × x2 = n
m = – ( – 8 + 7) = 1
n = – 8 × 7= – 56
Подставим найденные значения в уравнение: x2 + 1x – 56 = 0
Ответ: x2 + x – 56 = 0
Задача 4
По теореме Виета
x1 + x2 = – 2;
x1 × x2 = – 8
Преобразовав выражения, получим
\(\mathrm а)\;\frac1{\mathrm х^1}\;+\;\frac1{\mathrm x^{\;2}}\;=\;\frac{{\mathrm х}_2+\;\;{\mathrm х}_1}{{\mathrm х}_1\;\times\;\;{\mathrm х}_2}\;=\;\frac{-2}{-8\;}=\;\frac14\;=\;0,25\\\mathrm б)\;{\mathrm х}_1^2{\mathrm х}_2\;+\;{\mathrm х}_1{\mathrm х}_2^2\;\;=\;{\mathrm х}_1{\mathrm х}_2(\;{\mathrm x}_1\;+\;{\mathrm x}_2)\;=\;–8\;\times\;(\;–\;2)=\;16\)
Ответ: а) 0,25; б) 16
Популярные вопросы и ответы
Отвечает Светлана Кудряшова:
Почему теорему Виета изучают в 8 классе?
Теорема Виета изучается в 8 классе, так как она помогает лучше понимать свойства квадратного уравнения. Также этот способ нахождения корней расширяет инструментарий решения задач и считается подготовкой к более сложным темам в математике.
Как осуществляется подбор корней в теореме Виета?
Теорема Виета используется при решении квадратных уравнений, конечно, чаще приведенных, то есть уравнений, у которых старший коэффициент а = 1. В этом случае сумма корней равна второму коэффициенту, взятому с противоположным знаком, а произведение – свободному члену. На практике чаще всего один корень уравнения можно легко найти подбором. Обычно это 1 или -1, 2 или -2. Далее проверяем подстановкой и затем находим второй корень по теореме Виета.
Как подготовиться к самостоятельной работе по теме «Теорема Виета»?
Для подготовки к самостоятельной работе по теме «Теорема Виета» настоятельно рекомендую идти стандартным путем:
внимательно слушаем объяснение учителя;
1. тщательно учим теорию;
2. старательно выполняем домашние задания;
3. задаем вопросы педагогу в случае недопонимания.
И о-ля-ля, мы готовы.
Если что-то пошло не так, набираем в поисковой строке любого браузера «тренажер теорема Виета» выпадает 100 уравнений по теме. Решаем, проверяем.
И о-ля-ля, мы готовы.
Также можно набрать «видеоурок по теме теорема Виета», выпадает 100 уроков, смотрим 50.
И о-ля-ля, мы готовы.
внимательно слушаем объяснение учителя;
1. тщательно учим теорию;
2. старательно выполняем домашние задания;
3. задаем вопросы педагогу в случае недопонимания.
И о-ля-ля, мы готовы.
Если что-то пошло не так, набираем в поисковой строке любого браузера «тренажер теорема Виета» выпадает 100 уравнений по теме. Решаем, проверяем.
И о-ля-ля, мы готовы.
Также можно набрать «видеоурок по теме теорема Виета», выпадает 100 уроков, смотрим 50.
И о-ля-ля, мы готовы.
В каком задании ЕГЭ по математике может понадобиться знание теоремы Виета?
Отдельных заданий на теорему Виета при проведении итоговой аттестации по математике не предусмотрено, но эти знания могут понадобиться при решении квадратных уравнений или заданий, которые сводятся к решению квадратных уравнений.
Напоминаю, что чаще речь идет о приведенных квадратных уравнениях.
Напоминаю, что чаще речь идет о приведенных квадратных уравнениях.
