Многочлены

Если одночлены — это кирпичики алгебры, то многочлены — уже целые стены, из которых строится математика. Они встречаются повсюду: в уравнениях, функциях, задачах на оптимизацию. В этой статье мы разберем, что такое многочлены, как их приводить к стандартному виду, складывать, вычитать, умножать и делить. Вы узнаете, зачем нужна степень многочлена и как раскладывать его на множители.

Что такое многочлены в алгебре

Многочлен (полином) — это алгебраическое выражение, которое представляет собой сумму одночленов.

Не стоит пугаться определения, посмотрим на примерах, что это такое:

• 3x + 5
• 2a² — 4ab + 7b
• x⁹ + x + ¹/₂
• -5y⁴ + 3kt² — 8tk

Видно, что полиномы формируются путем сложения или вычитания одночленов. При этом каждый отдельный одночлен, входящий в состав полинома, принято называть членом многочлена.

Полезная информация о многочленах

Чтобы легко ориентироваться в многочленах, ознакомьтесь с данной таблицей. Она будет вашей шпаргалкой — с ней вы сразу вспомните основные характеристики.

Коэффициенты многочленов

Коэффициенты многочлена — это числовые множители перед переменными в каждом его члене. Другими словами, это коэффициенты одночленов, из которых состоит многочлен.

Рассмотрим многочлен: 4x³ — 2x² + 5x — 7:

• коэффициент при x³ равен 4,
• коэффициент при x² равен -2,
• коэффициент при x равен 5,
• свободный член равен -7.

Коэффициент при члене наивысшей степени называется старшим. Если коэффициент не указан явно, он считается равным 1 или -1. Например, в многочлене x² — x + 3 коэффициент при x² равен 1, а коэффициент при x равен -1.

Приведение многочлена к стандартному виду

Чтобы привести многочлен к стандартному виду, нужно:

1. привести все одночлены этого многочлена к стандартному виду;
2. привести все подобные члены, то есть сложить их или вычесть между собой.

Примеры

Рассмотрим многочлен: 3xy × 5y — 2y × 7x² — x × 4yx.

В том, что это многочлен, сомнений нет. Но эта запись не очень удобна, ее можно упростить, тем самым приведя многочлен к стандартному виду.

Для начала приведем каждый одночлен к стандартному виду:

• 3xy × 5y = 3 × 5 × xy × y = 15xy²
• — 2y × 7x² = -2 × 7 × x² × y = -14x²y
• — x × 4yx = -1 × 4 × x × xy = -4x²y

Затем необходимо сложить или вычесть подобные одночлены:

15xy² — 14x²y — 4x²y = 15xy² — 18x²y

Таким образом мы привели многочлен к стандартному виду: 15xy² — 18x²y.

Степень многочлена

Степенью многочлена называется наибольшая степень среди всех входящих в него одночленов. Чтобы найти степень многочлена, нужно:

1. привести многочлен к стандартному виду;
2. найти степени каждого члена, входящего в многочлен, и в ответ записать самую большую из найденных.

Свободный член (число без переменных) имеет степень 0.

Примеры

Рассмотрим конкретный пример, чтобы понять принцип определения степени многочлена: 4ba × b + 15aaba² — 2a + 7 — 5ab²

Приведем многочлен к стандартному виду:

4ba × b + 15aaba² — 2a + 7 — 5ab² = 15a⁴b — ab² — 2a + 7

Ищем степени каждого из членов:

• одночлен 15a⁴b имеет степень 5,
• одночлен — ab² имеет степень 3,
• одночлен — 2a имеет степень 1,
• одночлен 7 — свободный член, степень всегда равна 0.

Степень многочлена — наибольшая степень среди одночленов: 5.

Сложение и вычитание многочленов

Есть очень простые действия, которые можно делать с многочленами, — это сложение и вычитание.Чтобы сложить или вычесть многочлены, нужно:

1. записать их друг за другом в скобках, поставив между ними знак плюс или минус;
2. при раскрытии скобок при сложении знаки не меняются, при вычитании — меняются на противоположные;
3. сложить или вычесть подобные одночлены, то есть привести все подобные члены.

Примеры

Рассмотрим примеры сложения и вычитания многочленов:

• (3x² + 5x — 2) + (x² — 3x + 7) = 3x² + x² + 5x — 3x — 2 + 7 = 4x² + 2x + 5
• (4x³ — 2x + 1) — (x³ + 3x² — x + 5) = 4x³ — x³ — 3x² — 2x + x + 1 — 5 = 3x³ — 3x² — x — 4

это интересно

Модуль числа

Что же такое модуль числа, как он работает и как его можно применять на практике

Подробнее

Умножение многочленов

Еще одно важное действие с многочленами — это их умножение. Чтобы умножить многочлен на многочлен, нужно:

1. каждый член первого многочлена умножить на каждый член второго многочлена;
2. привести получившийся многочлен к стандартному виду.

Примеры

Разберем процесс умножения многочленов на примерах:

• (x + 3)(x — 2) = x² — 2x + 3x — 6 = x² + x — 6
• (2x + 1)(x² — 3x + 4) = 2x(x² — 3x + 4) + 1(x² — 3x + 4) = 2x³ — 6x² + 8x + x² — 3x + 4 = 2x³ — 5x² + 5x + 4
• (x + 2)(x — 1)(x + 3) = (x ²— x + 2x — 2)(x + 3) = (x² + x — 2)(x + 3) = x³ + 3x² + x² + 3x — 2x — 6 = x³ + 4x² + x — 6 

Деление многочленов

Чтобы освоить деление двух многочленов, для начала рассмотрим деление многочлена на одночлен.

Чтобы разделить многочлен на одночлен, нужно:

1. каждый член многочлена разделить на одночлен;
2. полученные частные сложить.

Деление многочленов выполняется аналогично делению чисел в столбик. Процесс продолжается до тех пор, пока степень остатка не станет меньше степени делителя.

Чтобы разделить многочлен на многочлен, нужно:

1. разделить старший член делимого на старший член делителя;
2. умножить полученный результат на весь делитель;
3. вычесть полученное произведение из делимого;
4. повторить процесс с полученным остатком.

Примеры

Начнем с более простого случая — деления многочлена на одночлен.

Разделим 6x³ — 9x² + 3x на 3x:

(6x³ — 9x² + 3x) : 3x = 6x³/3x — 9x²/3x + 3x/3x = 2x² — 3x + 1

А теперь рассмотрим пример деления многочлена на многочлен.

Разделим x³ — 6x² + 11x — 6 на x — 2

Разложение многочлена на множители

Разложение многочлена на множители — это представление его в виде произведения более простых многочленов.

Есть три основных способа разложения многочлена на множители.

1. Вынесение общего множителя

ax + ay = a(x + y)

2. Формулы сокращенного умножения

a² — b² = (a — b)(a + b)
a² + 2ab + b² = (a + b)²
a² — 2ab + b² = (a — b)²
a³ + b³ = (a + b)(a² — ab + b²)
a³ — b³ = (a — b)(a² + ab + b²)
a³ + 3a²b + 3ab² + b³ = (a + b)³
a³ — 3a²b + 3ab² — b³ = (a — b)³

3. Группировка

ax + ay + bx + by = a(x + y) + b(x + y) = (x + y)(a + b)

Примеры

Рассмотрим конкретные примеры, чтобы лучше понять, как применяются методы разложения на множители на практике.

• Вынесение общего множителя за скобку 

В выражении 6x² — 12x выделяем наибольший общий делитель 6x:

6x² — 12x = 6x(x — 2).

• Формула сокращенного умножения для разности квадратов

Для выражения x² — 9 используем формулу a² — b² = (a — b)(a + b):

x² — 9 = (x — 3)(x + 3).

• Метод группировки

Для разложения выражения 2x² + 4x + xy + 2y группируем первый член со вторым, третий с четвертым. Выносим общий множитель в каждой группе. После выносим общую скобку (x + 2):

2x² + 4x + xy + 2y = 2x(x + 2) + y(x + 2) = (x + 2)(2x + y).

Задачи по теме «Многочлены»

Теперь, когда мы разобрали все важные аспекты, связанные с многочленами, пришло время применить эти знания на практике.

Задача 1

Приведите многочлен к стандартному виду: 5x² — 3x + 2x² + 7x — 1 + x³

Задача 2

Выполните вычитание многочленов: (4x³ + 2x² — x + 6) — (x³ — 3x² + 5x — 2)

Задача 3

Разложите многочлен на множители: 72a⁸ + 48a⁴ — 56a⁷

Задача 4

Выполните умножение многочленов: (xy³ + x)(-yz + 3z)

Ответы к задачам

Проверьте свои ответы к задачам с помощью представленных ниже решений.

Задача 1

Приводим подобные члены и располагаем их по убыванию степеней: 

5x² — 3x + 2x² + 7x — 1 + x³ = x³ + 7x² + 4x — 1

Ответ: x³ + 7x² + 4x — 1

Задача 2

Выполним вычитание многочленов, поменяв знаки на противоположные у второго многочлена:

(4x³ + 2x² — x + 6) — (x³ — 3x² + 5x — 2) = 4x³ + 2x² — x + 6 — x³ + 3x² — 5x + 2 = 3x³ + 5x² — 6x + 8

Ответ: 3x³ + 5x² — 6x + 8

Задача 3

Выполним разложение на множители с помощью вынесения общего множителя:

72a⁸ + 48a⁴ — 56a⁷ = 8a⁴(9a⁴ + 6 — 7a³) = 8a⁴(9a⁴ — 7a³ + 6)

Ответ: 8a⁴(9a⁴ — 7a³ + 6)

Задача 4

Выполним умножение одночленов:

(xy³ + x)(-yz + 3z) = -xy⁴z + 3xy³z — xyz + 3xz

Ответ: -xy⁴z + 3xy³z — xyz + 3xz

Популярные вопросы и ответы

Отвечает Ольга Комарова, учитель математики: