Прямоугольник

Четырехугольники окружают нас повсюду: их можно увидеть в архитектуре, технике и самых обычных предметах. Среди них особое место занимает прямоугольник — одна из самых распространенных и важных геометрических фигур. Именно форму прямоугольника имеют экраны телефонов, окна домов, книги, столы и многие другие предметы, с которыми мы сталкиваемся каждый день.

Несмотря на кажущуюся простоту, прямоугольник обладает рядом важных свойств, которые помогают решать геометрические задачи и лучше понимать устройство других четырехугольников.

Прямоугольник является частным случаем параллелограмма, поэтому он наследует многие его свойства и одновременно имеет собственные особенности. Вместе с репетитором по математике Артемом Островским разберем, что такое прямоугольник, какими свойствами и признаками он обладает и где эта тема встречается на экзаменах.

Что такое прямоугольник в геометрии

Прямоугольник — это параллелограмм, у которого все углы прямые. Это означает, что каждый угол прямоугольника равен 90°.

Так как прямоугольник является параллелограммом, его противоположные стороны попарно параллельны и равны.

Например, если ABCD — прямоугольник, то AB || CD и AB = CD, BC || AD и BC = AD.

Прямоугольник относится к числу наиболее важных геометрических фигур и часто встречается в задачах по планиметрии, а также при изучении свойств четырехугольников.

Определение прямоугольника и его основные свойства рассматриваются в учебниках геометрии, входящих в Федеральный перечень учебников.¹

Полезная информация о прямоугольнике

Чтобы быстро повторить основные свойства прямоугольника и не запутаться при решении задач, удобно пользоваться краткой сводкой ключевых фактов. В таблице ниже собраны основные сведения об этой фигуре.

Связь прямоугольника и параллелограмма

Прямоугольник и параллелограмм тесно связаны между собой. На самом деле любой прямоугольник является параллелограммом, но не каждый параллелограмм является прямоугольником.

Напомним, что параллелограммом называют четырехугольник, у которого противоположные стороны попарно параллельны.

Прямоугольник полностью удовлетворяет этому определению, поскольку его противоположные стороны также параллельны и равны. Однако у прямоугольника есть дополнительное свойство: все его углы прямые.

Свойства прямоугольника

Прямоугольник обладает рядом важных свойств, которые помогают решать геометрические задачи и доказывать различные утверждения. Часть этих свойств он наследует от параллелограмма, а часть является его собственными особенностями.

Противоположные стороны прямоугольника параллельны

Если ABCD — прямоугольник, то AB || CD и BC || AD.

Это свойство следует из связи прямоугольника с параллелограммом и часто используется при доказательствах.

Противоположные стороны прямоугольника равны

Если ABCD — прямоугольник, то AB = CD и BC = AD.

Это свойство также следует из связи прямоугольника с параллелограммом и помогает находить неизвестные стороны прямоугольника и использовать их при вычислении периметра или площади.

Диагонали прямоугольника равны

Если ABCD — прямоугольник, то AC = BD.

Для произвольного параллелограмма такое свойство выполняется не всегда, поэтому равенство диагоналей часто используют не только как свойство, но и как важный признак прямоугольника.

Диагонали прямоугольника пересекаются и точкой пересечения делятся пополам

Если ABCD — прямоугольник, а диагонали AC и BD пересекаются в точке O, то AO = OC и BO = OD.

Так как диагонали прямоугольника равны между собой и делятся точкой пересечения пополам, то расстояния от точки O до всех вершин прямоугольника одинаковы: AO = BO = CO = DO.

Это свойство помогает находить длины отрезков и доказывать равенство треугольников.

Диагональ прямоугольника делит его на два равных прямоугольных треугольника 

Например, диагональ AC делит прямоугольник ABCD на равные треугольники ABC и CDA.

Это свойство часто используют в задачах, связанных с теоремой Пифагора, сторонами и диагоналями прямоугольника.

Кроме геометрических свойств, важно уметь находить основные числовые характеристики прямоугольника, такие как периметр и площадь.

Периметр прямоугольника равен сумме длин всех его сторон. С учетом равенства противоположных сторон формула принимает вид:

P = 2(a + b),

где:

• P — периметр прямоугольника;
• a и b — стороны прямоугольника.

Площадь прямоугольника равна произведению его длины на ширину:

S = ab,

где:

• S — площадь прямоугольника;
• a и b — стороны прямоугольника.

Эти свойства помогают находить стороны, углы, диагонали, периметр и площадь прямоугольника, а также решать многие геометрические задачи, связанные с четырехугольниками.

это интересно

Подобные треугольники

Что такое подобные треугольники, каковы их свойства и признаки подобия

Подробнее

Признаки прямоугольника

Чтобы доказать, что четырехугольник является прямоугольником, важно знать его признаки. Признаки прямоугольника — это условия, при выполнении которых фигура обязательно является прямоугольником. Рассмотрим основные из них.

Первый признак прямоугольника

Если в четырехугольнике три угла прямые, то этот четырехугольник является прямоугольником.

Если в четырехугольнике ABCD ∠A = ∠B = ∠C = 90°, то ∠D тоже равен 90°, так как сумма углов четырехугольника равна 360°.

Следовательно, ABCD — прямоугольник.

Второй признак прямоугольника

Если параллелограмм имеет один прямой угол, то этот параллелограмм является прямоугольником.

Если ABCD — параллелограмм и ∠A = 90°, то ABCD — прямоугольник.

Это следует из свойства параллелограмма: сумма соседних углов равна 180°, а противоположные углы равны. Поэтому если один угол параллелограмма прямой, то остальные углы тоже будут прямыми.

Третий признак прямоугольника

Если в параллелограмме диагонали равны, то этот параллелограмм является прямоугольником.

Если ABCD — параллелограмм и AC = BD, то ABCD — прямоугольник.

Чтобы быстро повторить основные свойства, признаки и формулы прямоугольника, воспользуйтесь наглядной инфографикой.

Задачи и ответы по теме «Прямоугольник»

Чтобы лучше разобраться в свойствах и признаках прямоугольника, важно не только изучить теорию, но и научиться применять ее на практике. Рассмотрим несколько типовых задач.

Задача 1

В прямоугольнике ABCD сторона AB = 7 см. Найдите сторону CD.

Задача 2

Диагонали прямоугольника ABCD пересекаются в точке O. Известно, что AO = 8 см. Найдите длину диагонали AC.

Задача 3

В прямоугольнике ABCD диагональ AC равна 14 см. Найдите диагональ BD.

Задача 4

В параллелограмме ABCD диагонали AC и BD равны. Можно ли утверждать, что ABCD является прямоугольником?

Популярные вопросы и ответы

Отвечает Артем Островский, преподаватель курсов программирования и машинного обучения Московского физико-технического института:

5 тем по геометрии, которые помогут лучше разобраться в четырехугольниках

• Перпендикулярные прямые: как строить перпендикулярные прямые и какими свойствами они обладают
• Углы в математике: как измеряются углы и какими свойствами они обладают
• Площадь квадрата: как вычислять площадь этой геометрической фигуры
• Площадь параллелограмма: какие формулы используют для вычисления
• Средняя линия трапеции: какими свойствами обладает средняя линия трапеции и как ее применять в задачах

Источники

Материал подготовлен в соответствии с официальными документами и рекомендациями.

1. Министерство просвещения России. Федеральный перечень учебников. URL: https://fpu.edu.ru/ 

• Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б. «Геометрия. 7-9 классы»
• Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б. «Геометрия. 10-11 классы. Базовый и углубленный уровни»
• Мерзляк А.Г., Номировский Д.А., Поляков В.М. «Геометрия. 8 класс»
• Мерзляк А.Г., Номировский Д.А., Поляков В.М. «Геометрия. 9 класс»
• Мерзляк А.Г., Номировский Д.А., Поляков В.М. «Геометрия. 10 класс. Углубленный уровень»
• Мерзляк А.Г., Номировский Д.А., Поляков В.М. «Геометрия. 11 класс. Углубленный уровень»
• Смирнов В.А., Смирнова И.М. «Геометрия. 8 класс»
• Смирнов В.А., Смирнова И.М. «Геометрия. 9 класс»

2. Министерство просвещения России. Федеральная рабочая программа по учебному предмету «Математика». URL: https://static.edsoo.ru/projects/fop/index.html#/sections/200215

3. Федеральный институт педагогических измерений. Открытый банк заданий ОГЭ и ЕГЭ по математике, демоверсии, методические рекомендации для учителей. URL: https://fipi.ru/