Теорема синусов
Узнаем, что такое теорема синусов, как с ее помощью находить стороны и углы треугольника, а также радиус описанной окружности. Разберем доказательство и научимся применять теорему при решении задач
В школе геометрия зачастую воспринимается исключительно как дисциплина, связанная с построением абстрактных фигур на бумаге. Однако геометрическое мышление — практически значимый навык, позволяющий находить решения в ситуациях, где прямое измерение невозможно. Вот лишь два интересных примера.
Представьте, что вы стоите у подножия горы и хотите узнать расстояние от точки наблюдения до ее вершины, но подняться наверх невозможно. Или вам нужно измерить расстояние между двумя точками по разные стороны реки, не переплывая ее. В обеих ситуациях мы можем мысленно построить треугольник, в котором искомое расстояние становится одной из сторон. Найти ее помогут известные углы и одна из доступных для измерения сторон.
Здесь на помощь приходит тригонометрия и одна из ее фундаментальных теорем — теорема синусов. Она связывает стороны треугольника с синусами противолежащих углов и радиусом описанной окружности, позволяя находить неизвестные элементы фигуры по известным, даже не измеряя их напрямую.
Вместе с преподавателем математики Анастасией Андросовой мы разберем формулировку и доказательство теоремы синусов, научимся применять ее для решения задач и выясним, как связаны стороны треугольника с радиусом описанной окружности.
Формулировка теоремы синусов в геометрии
Теорема синусов устанавливает пропорциональную зависимость между сторонами треугольника и синусами противолежащих им углов. Это одна из ключевых теорем геометрии, представленных в учебниках Федерального перечня,1 и она работает для любых треугольников.
Теорема синусов: Стороны треугольника пропорциональны синусам противолежащих углов.
Иными словами, отношение длины стороны к синусу противолежащего угла есть величина постоянная для данного треугольника.
Формула теоремы синусов
Математическая запись теоремы синусов выглядит следующим образом:
где:
- a, b, c — длины сторон треугольника;
- ∠A, ∠B, ∠C — углы, противолежащие сторонам a, b, c соответственно.
Это основная форма записи. Позже мы увидим, что каждое из этих отношений равно двум радиусам или диаметру описанной окружности.
Полезная информация о теореме синусов
Чтобы быстро ориентироваться в возможностях теоремы синусов и всегда держать под рукой ключевую информацию, сохраните эту таблицу-шпаргалку.
| Теорема синусов | Описание |
|---|---|
| Суть теоремы | Стороны треугольника пропорциональны синусам противолежащих углов |
| Основная формула | a / sin∠A = b / sin∠B = c / sin∠C |
| Следствие из теоремы | a / sin∠A = b / sin∠B = c / sin∠C = 2R |
| Для каких треугольников работает | Для любых треугольников |
| Что можно найти | Неизвестную сторону, неизвестный угол, радиус описанной окружности |
Доказательство теоремы синусов
Докажем теорему синусов для произвольного треугольника ABC со сторонами a = BC, b = AC, c = AB и противолежащими углами A, B, C.
Способ 1
Рассмотрим треугольник ABC. Проведем в нем высоту h из вершины C на сторону AB.
Из прямоугольного треугольника AСH получаем h = b × sin∠A, так как sin∠A равен противолежащему катету, деленному на гипотенузу.
Аналогично из прямоугольного треугольника BCH получаем h = a × sin∠B.
Приравниваем правые части: b × sin∠A = a × sin∠B.
Отсюда следует пропорция: a / sin∠A = b / sin∠B.
Аналогично, проведя высоту из другой вершины, например из B на сторону AC, получим: b / sin∠B = c / sin∠C.
Таким образом, мы доказали, что a / sin∠A = b / sin∠B = c / sin∠C.
Способ 2
Площадь треугольника можно выразить тремя способами:
S = ½ab × sin∠C = ½ bc × sin∠A = ½ ac × sin∠B
Соответственно, ab × sin∠C = bc × sin∠A = ac × sin∠B.
Рассмотрим равенство ab × sin∠C = bc × sin∠A. Поделив обе его стороны на b, получаем a × sin∠C = c × sin∠A.
Отсюда следует пропорция: a / sin∠A = c / sin∠C.
Аналогично доказываем: a / sin∠A = b / sin∠B и b / sin∠B = c / sin∠C.
Что и требовалось доказать.
Следствие из теоремы синусов
Из теоремы синусов вытекает важное следствие, связывающее стороны треугольника с радиусом описанной около него окружности.
Следствие: Отношение стороны треугольника к синусу противолежащего угла равно диаметру описанной окружности.
где:
- a, b, c — длины сторон треугольника;
- ∠A, ∠B, ∠C — углы, противолежащие сторонам a, b, c соответственно;
- R — радиус описанной около треугольника окружности.
Зная сторону и противолежащий угол, можно сразу найти радиус или диаметр описанной окружности, и наоборот.
Доказательство следствия из теоремы синусов
Рассмотрим треугольник ABC, вписанный в окружность с центром O и радиусом R. Пусть сторона a = BC, а угол A — противолежащий этой стороне.
Рис.2. Доказательство следствия теоремы синусов. Изображение: Ирина Соколова
Проведем диаметр BD. Получившийся треугольник BCD является прямоугольным, так как угол BCD опирается на диаметр и равен 90°.
В этом треугольнике гипотенуза BD = 2R, а угол D равен углу A, как вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу BC.
Из определения синуса в прямоугольном треугольнике: sin∠D = BC / BD = a / 2R.
Но sin∠D = sin∠A, следовательно: sin∠A = a / 2R.
Отсюда получаем: a / sin∠A = 2R.
Аналогичные рассуждения можно провести для других сторон и углов. Таким образом, каждое из отношений a / sin∠A, b / sin∠B, c / sin∠C равно 2R.
это интересно
Подобные треугольники
Что такое подобные треугольники, каковы их свойства и признаки подобия
Подробнее
Практическое применение теоремы синусов
Теорема синусов является одним из основных инструментов для решения произвольных треугольников. С ее помощью можно находить неизвестные стороны, углы и радиус описанной окружности по известным элементам фигуры.
Как найти сторону треугольника по теореме синусов
Чтобы найти неизвестную сторону, нужно знать другую сторону и два угла. Неизвестная сторона при этом равна известной стороне, умноженной на отношение синусов противолежащих им углов:
a = b × (sin∠A / sin∠B)
Пример
В треугольнике ABC известны сторона b = 10 см, угол A = 30°, угол B = 45°. Найдем сторону a.
a = 10 × (sin 30° / sin 45°) = 10 × (½) / (√2/2) = 5√2/2 = 2,5√2 см
Как найти угол треугольника по теореме синусов
Чтобы найти неизвестный угол, нужно знать две стороны и угол, противолежащий одной из них. Синус искомого угла равен синусу известного угла, умноженному на отношение противолежащих сторон:
sin∠B = sin∠A × (b / a)
Важно помнить, что полученное значение синуса может соответствовать двум углам (острому и тупому), поэтому нужно учитывать условие задачи и тип треугольника. Исключение составляет случай, когда синус равен 1, тогда угол однозначно равен 90°.
Пример
В треугольнике ABC сторона a = 6 см, b = 12 см, угол A = 30°. Найдем угол B.
sin∠B = sin 30° × (12 / 6) = ½ × 2 = 1
Так как sin∠B = 1, а угол треугольника не может быть больше 180°, получаем ∠B = 90°.
Как найти радиус описанной окружности по теореме синусов
Для нахождения радиуса описанной окружности достаточно знать любую сторону треугольника и противолежащий ей угол. Радиус описанной окружности равен половине отношения стороны к синусу противолежащего угла:
R = a / 2sin∠A
Пример
В треугольнике ABC сторона a = 10 см, угол A = 30°. Найдем радиус описанной окружности.
R = 10 / (2 × sin 30°) = 10 / (2 × ½) = 10 / 1 = 10 см
Задачи и ответы по теме «Теорема синусов»
Проверим, как вы усвоили материал. Попробуйте решить каждое задание самостоятельно, а затем сверьтесь с подробными решениями. Если какой-то шаг вызывает вопрос, всегда можно вернуться к соответствующему разделу статьи и повторить теорию.
Задача 1
В треугольнике ABC сторона AB = 8 см, угол C = 30°, угол A = 45°. Найдите сторону BC.
Решение и ответ к задаче 1
Сторона BC противолежит углу A, сторона AB противолежит углу C. Запишем теорему синусов:
BC / sin∠A = AB / sin∠C
Подставляем известные значения:
BC / sin 45° = 8 / sin 30°
BC / (√2/2) = 8 / (½)
BC / (√2/2) = 16
BC = 16 × (√2/2) = 8√2 см
Ответ: 8√2 см
Задача 2
В треугольнике ABC сторона BC = 6 см, угол A = 60°, угол B = 75°. Найдите сторону AB.
Решение и ответ к задаче 2
Сначала найдем угол C. Так как сумма углов треугольника 180°:
∠C = 180° — (∠A + ∠B) = 180° — (60° + 75°) = 45°
Сторона AB противолежит углу C, сторона BC противолежит углу A. Запишем теорему синусов:
AB / sin∠C = BC / sin∠A
AB / sin 45° = 6 / sin 60°
AB / (√2/2) = 6 / (√3/2)
AB / (√2/2) = 4√3
AB = 4√3 × (√2/2) = 2√6 см
Ответ: 2√6 см
Задача 3
В тупоугольном треугольнике ABC сторона AB = 3 см, сторона BC = 3√2 см, угол C = 30°. Найдите угол A.
Решение и ответ к задаче 3
Сторона AB противолежит углу C, сторона BC противолежит углу A. Запишем теорему синусов:
BC / sin∠A = AB / sin∠C
Подставляем известные значения:
3√2 / sin∠A = 3 / sin 30°
3√2 / sin∠A = 3 / (½)
3√2 / sin∠A = 6
sin∠A = 3√2 / 6 = √2 / 2
Значению sin∠A = √2/2 соответствуют два угла: 45° (острый) и 135° (тупой). По условию треугольник тупоугольный, значит, угол A не может быть 45°. Выбираем тупой угол:
∠A = 135°
Ответ: 135°
Задача 4
В треугольнике ABC сторона AB = 12 см, угол C = 30°. Найдите радиус окружности, описанной около треугольника ABC.
Решение и ответ к задаче 4
Для нахождения радиуса описанной окружности используем следствие из теоремы синусов:
AB / sin∠C = 2R
R = AB / 2sin∠C
Подставляем известные значения:
R = 12 / (2 × sin 30°) = 12 / (2 × ½) = 12 / 1 = 12 см
Ответ: 12 см
Популярные вопросы и ответы
Отвечает Анастасия Андросова, преподаватель математики онлайн-платформы «Школково»:
Чем теорема синусов отличается от теоремы косинусов?
Теорема синусов связывает стороны треугольника с синусами противолежащих углов и радиусом описанной окружности. Теорема косинусов связывает квадрат стороны с квадратами двух других сторон и косинусом угла между ними. Разница очевидна, но школьники часто путают эти теоремы, потому что запоминают формулы, а не условия применения. Теорема косинусов для них выглядит пугающе, поэтому некоторые пытаются сначала применить синусы — формула кажется проще. На самом деле так они уходят не туда.
Выбор метода зависит от условий задачи. Главное — не навязывать одну формулу везде, а подбирать подходящую.
Выбор метода зависит от условий задачи. Главное — не навязывать одну формулу везде, а подбирать подходящую.
Всегда ли по теореме синусов можно однозначно найти угол треугольника?
Нет, по теореме синусов не всегда можно однозначно найти угол. Теорема определяет только значение синуса, а синус не различает, острый угол или тупой. Именно поэтому в некоторых случаях задача может иметь два решения. Это типичные ловушки в заданиях ЕГЭ. Чтобы их избежать, нужно проверить, возможен ли второй угол, не превышает ли сумма углов 180° и существует ли вообще треугольник.
Можно ли с помощью теоремы синусов доказать, что треугольник прямоугольный?
Да. Прямой угол — это угол, синус которого максимален среди всех углов и равен единице. Если с помощью теоремы синусов выразить синус угла через стороны и окажется, что синус равен 1, то из этого будет следовать, что угол в треугольнике прямой.
Почему тему по геометрии «Теорема синусов» изучают в 9-11 классах?
В 9 классе тему «Теорема синусов» изучают после теоремы Пифагора и базовых свойств треугольников. К этому моменту школьники уже знакомы с тригонометрией в прямоугольных треугольниках: они знают, что синус — это отношение противолежащего катета к гипотенузе. Далее приходит понимание, что синус привязан именно к углу, а не к треугольнику, через прямоугольный его просто удобно вычислять. Это позволяет использовать синус и в произвольном треугольнике.
Теорему синусов представить достаточно просто: стороны любого треугольника пропорциональны синусам противолежащих углов. А отношение стороны к синусу противолежащего угла равно удвоенному радиусу описанной окружности.
В 9 классе это понимание важно для задач на пропорции и радиус описанной окружности, а в 10–11 классах теорему синусов рассматривают в связке с теоремой косинусов и другими инструментами для полного решения треугольников — нахождения всех элементов по двум-трем данным. Углубляют доказательство через площадь или описанную окружность, показывают неоднозначные случаи. Это база для экзамена профильного уровня, где теорема синусов часто встречается в геометрических задачах второй части и считается одной из основных теорем, что соответствует требованиям Федеральной рабочей программы по математике.2
Теорему синусов представить достаточно просто: стороны любого треугольника пропорциональны синусам противолежащих углов. А отношение стороны к синусу противолежащего угла равно удвоенному радиусу описанной окружности.
В 9 классе это понимание важно для задач на пропорции и радиус описанной окружности, а в 10–11 классах теорему синусов рассматривают в связке с теоремой косинусов и другими инструментами для полного решения треугольников — нахождения всех элементов по двум-трем данным. Углубляют доказательство через площадь или описанную окружность, показывают неоднозначные случаи. Это база для экзамена профильного уровня, где теорема синусов часто встречается в геометрических задачах второй части и считается одной из основных теорем, что соответствует требованиям Федеральной рабочей программы по математике.2
В каких заданиях ОГЭ и ЕГЭ встречаются задачи на теорему синусов?
В ОГЭ по математике теорема синусов встречается во второй части. Это традиционно задания №23 и №25.
Типичные формулировки из банка ФИПИ: углы B и C заданы, радиус R известен, нужно найти сторону BC. Или найдите радиус описанной окружности, если известен угол и противолежащая сторона.
В ЕГЭ профильного уровня задачи сложнее и входят во вторую часть как часть геометрического блока — задания №14 (стереометрия) и №17 (планиметрия).
Типичные формулировки: найдите сторону или угол по двум углам и стороне либо по радиусу описанной окружности и углам, а также задачи в комбинации с трапециями, вписанными фигурами. Например, дуги окружности относятся как 2:3:7, меньшая сторона треугольника равна 16 — найти радиус описанной окружности.
Для эффективной подготовки к экзаменам рекомендуется использовать проверенные источники и задания из Открытого банка ФИПИ.3
Типичные формулировки из банка ФИПИ: углы B и C заданы, радиус R известен, нужно найти сторону BC. Или найдите радиус описанной окружности, если известен угол и противолежащая сторона.
В ЕГЭ профильного уровня задачи сложнее и входят во вторую часть как часть геометрического блока — задания №14 (стереометрия) и №17 (планиметрия).
Типичные формулировки: найдите сторону или угол по двум углам и стороне либо по радиусу описанной окружности и углам, а также задачи в комбинации с трапециями, вписанными фигурами. Например, дуги окружности относятся как 2:3:7, меньшая сторона треугольника равна 16 — найти радиус описанной окружности.
Для эффективной подготовки к экзаменам рекомендуется использовать проверенные источники и задания из Открытого банка ФИПИ.3
Источники
Материал подготовлен в соответствии с официальными документами и рекомендациями.
1. Министерство просвещения России. Федеральный перечень учебников. URL: https://fpu.edu.ru/
- Смирнов В.А., Смирнова И.М. «Геометрия. 9 класс»
- Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б. «Геометрия. 10-11 классы. Базовый и углубленный уровни»
- Мерзляк А.Г., Номировский Д.А., Поляков В.М. «Геометрия. 10 класс. Углубленный уровень»
- Мерзляк А.Г., Номировский Д.А., Поляков В.М. «Геометрия. 11 класс. Углубленный уровень»
2. Министерство просвещения России. Федеральная рабочая программа по учебному предмету «Математика». URL: https://static.edsoo.ru/projects/fop/index.html#/sections/200215
3. Федеральный институт педагогических измерений. Открытый банк заданий ОГЭ и ЕГЭ по математике. Методические рекомендации для учителей. URL: https://fipi.ru/
