Правильные и неправильные дроби: что такое, примеры, преобразование дробей, задачи с ответами по математике для 5

Обыкновенные дроби позволяют записать число частей целого: например, половину шоколадки можно представить как 1/2, а три четверти часа как 3/4 часа. Но если внимательно посмотреть на разные дроби, можно заметить важное отличие: у одних числитель меньше знаменателя, а у других — равен ему или даже больше.

Именно по этому признаку обыкновенные дроби делят на правильные и неправильные. Такое разделение помогает лучше понимать значение дроби и определять, меньше она единицы, равна ей или больше.

Вместе с экспертом разберемся, какие дроби называют правильными и неправильными, рассмотрим их на примерах и научимся преобразовывать неправильные дроби в смешанные числа и обратно.

Что такое правильные и неправильные дроби в математике

Прежде чем говорить о правильных и неправильных дробях, вспомним, как устроена обыкновенная дробь. Она используется для записи одной или нескольких равных частей целого и имеет вид:

\(\frac ab,\)

где:

a — числитель дроби;
b — знаменатель дроби, b ≠ 0.

Знаменатель показывает, на сколько равных частей разделили целое, а числитель — сколько таких частей взяли. Например, если пиццу разделили на 8 равных частей и взяли 3 из них, эту часть пиццы можно записать дробью 3/8. Число 8 является знаменателем, а число 3 — числителем.

В зависимости от того, как соотносятся числитель и знаменатель, обыкновенные дроби делят на правильные и неправильные.

Правильная дробь — это обыкновенная дробь, у которой числитель меньше знаменателя.

Например:

\(\bullet\;\frac25,\\\bullet\;\frac37,\\\bullet\;\frac8{11}.\)

Все правильные дроби меньше единицы. Это легко понять на простом примере: дробь 3/5 означает, что целое разделили на пять равных частей и взяли только три из них. Получилось меньше одного целого.

Неправильная дробь — это обыкновенная дробь, у которой числитель больше знаменателя или равен ему.

Например:

\(\bullet\;\frac47,\\\bullet\;\frac95,\\\bullet\;\frac66.\)

Если числитель больше знаменателя, значение неправильной дроби больше единицы. Если числитель и знаменатель равны, дробь равна единице: 6/6 = 1.

Таким образом, чтобы определить вид дроби, достаточно сравнить ее числитель и знаменатель:

числитель < знаменателя — дробь правильная;
числитель ≥ знаменателя — дробь неправильная.

Правильные и неправильные дроби, их свойства и способы преобразования рассматриваются в учебниках математики для 5–6 классов, входящих в Федеральный перечень учебников. ¹

Полезная информация о правильных и неправильных дробях

Правильные и неправильные дроби отличаются соотношением числителя и знаменателя, а значит, и своим значением относительно единицы. Собрали основные сведения, которые помогут быстро определить вид дроби и не запутаться при решении задач.

Характеристика обыкновенной дроби	Описание
Правильная дробь	Числитель меньше знаменателя:a < b
Неправильная дробь	Числитель больше знаменателя или равен ему: a ≥ b
Значение правильной дроби	Всегда меньше единицы
Значение неправильной дроби	Больше единицы, если a > b, и равно единице, если a = b
Пример правильной дроби	4/7, так как 4 < 7
Пример неправильной дроби	9/5, так как 9 > 5

Примеры правильных и неправильных дробей

Рассмотрим несколько дробей и определим, к какому виду относится каждая из них.

3/8 — правильная дробь, поскольку 3 < 8. Ее значение меньше единицы.

11/6 — неправильная дробь, поскольку 11 > 6. Ее значение больше единицы.

9/9 — неправильная дробь, поскольку числитель равен знаменателю. При этом: 9/9 = 1.

Это интересно

Важно помнить, что величина числителя и знаменателя сама по себе не влияет на вид дроби — важно только их соотношение. Например, дробь 999 999/1 000 000 остается правильной, хотя ее значение совсем немного неи достигает единицы. А дробь 1 000 001/1 000 000 уже неправильная и, наоборот, лишь чуть-чуть превышает единицу. Получается, две дроби могут находиться очень близко друг к другу на числовой прямой, но относиться к разным видам.

Есть и еще одна особенность. Между нулем и единицей можно записать бесконечно много правильных дробей: 1/2, 2/3, 3/4, 99/100 и так далее. Неправильные дроби тоже не заканчиваются после единицы — с их помощью можно представить множество чисел больше нее. Поэтому деление дробей на правильные и неправильные не ограничивает их количество, а лишь помогает определить, по какую сторону от единицы находится их значение или совпадает ли оно с единицей.

Преобразование правильных и неправильных дробей

Неправильную дробь можно представить в другой форме записи числа — выделить из нее целую часть и получить смешанное число. Обратно: любое смешанное число можно представить в виде неправильной дроби.

Такие преобразования не меняют значение числа, а только позволяют записать его в другой форме.

Как преобразовать неправильную дробь в смешанное число

Чтобы преобразовать неправильную дробь в смешанное число, нужно разделить числитель на знаменатель с остатком. Полученное неполное частное станет целой частью смешанного числа, остаток — числителем дробной части, а знаменатель останется прежним.

Рассмотрим дробь:

\(\frac{17}5.\)

Разделим 17 на 5 с остатком:

\(17:5=3 (ост.\;2.).\)

Число 3 записываем как целую часть, остаток 2 — в числитель, а знаменатель 5 оставляем без изменений:

\(\frac{17}5=3\frac25.\)

Проверим результат. Три целых содержат 15 пятых, и еще две пятых остаются:

\(3\frac25=\frac{15}5+\frac25=\frac{17}5.\)

Таким образом, чтобы преобразовать неправильную дробь в смешанное число, необходимо:

разделить числитель на знаменатель с остатком;
записать неполное частное как целую часть;
остаток записать в числитель дробной части;
знаменатель оставить прежним.

Если числитель делится на знаменатель без остатка, дробь представляет собой целое число. Например:

\(\frac{20}5=4.\)

это интересно

Действительные числа

Какие числа входят в числовую систему и как они связаны между собой

Подробнее

Как преобразовать смешанное число в неправильную дробь

Чтобы выполнить обратное преобразование, нужно умножить целую часть смешанного числа на знаменатель и прибавить к полученному результату числитель. Полученное число станет числителем неправильной дроби, а знаменатель останется прежним.

Рассмотрим смешанное число:

\(4\frac37.\)

Умножим целую часть 4 на знаменатель 7:

\(4\times7=28.\)

Прибавим числитель 3:

\(28+3=31.\)

Полученное число 31 записываем в числитель, а знаменатель 7 оставляем прежним:

\(4\frac37=\frac{31}7.\)

Таким образом, чтобы преобразовать смешанное число в неправильную дробь, необходимо:

умножить целую часть на знаменатель;
прибавить к результату числитель;
полученное число записать в числитель неправильной дроби;
знаменатель оставить без изменений.

Оба способа позволяют переходить от одной формы записи числа к другой, сохраняя его значение. Эти преобразования используются при выполнении действий с обыкновенными дробями и решении задач.

Скачать

Задачи и ответы по теме «Правильные и неправильные дроби»

Теперь проверим, насколько хорошо вы усвоили материал. Ниже представлены задачи, которые помогут потренироваться определять правильные и неправильные дроби и преобразовывать их в разные формы записи. Попробуйте выполнить задания самостоятельно, а затем сверьтесь с решениями.

Задача 1

Определите, какие из дробей являются правильными, а какие — неправильными:

\(\frac5{12},\frac97,\frac{14}{14},\frac{17}{20},\frac{25}{16}\)

Решение и ответ к задаче 1

Чтобы определить вид дроби, сравним ее числитель и знаменатель.

В дроби 5/12 числитель меньше знаменателя: 5 < 12.

Значит, 5/12 — правильная дробь.

В дроби 9/7 числитель больше знаменателя: 9 > 7.

Следовательно, 9/7 — неправильная дробь.

В дроби 14/14 числитель равен знаменателю: 14 = 14.

Такая дробь является неправильной и равна единице.

В дроби 17/20: 17 < 20, поэтому она правильная.

Наконец, в дроби 25/16: 25 > 16, следовательно, она неправильная.

Ответ: правильные дроби — 5/12, 17/20; неправильные дроби — 9/7, 14/14, 25/16

Задача 2

\(Представьте\;неправильную\;\;дробь\;\frac{37}8\;\;в\;виде\;смешанного\;числа.\)

Решение и ответ к задаче 2

Чтобы преобразовать неправильную дробь в смешанное число, разделим числитель на знаменатель с остатком:

\(37:8=4(ост\;5).\)

Неполное частное 4 становится целой частью смешанного числа, остаток 5 — числителем дробной части, а знаменатель 8 остается прежним:

\(\frac{37}8=4\frac58.\)

\(Ответ:\;4\frac58.\)

Задача 3

\(Представьте\;смешанное\;число\;2\frac3{11}\;в\;виде\;неправильной\;дроби.\)

Решение и ответ к задаче 3

Чтобы преобразовать смешанное число в неправильную дробь, умножим целую часть на знаменатель и прибавим числитель:

\(2\times11+3=25\)

Полученное число 25 записываем в числитель, а знаменатель 11 оставляем прежним:

\(2\frac3{11}=\frac{25}{11}\)

\(Ответ:\;\frac{25}{11}\)

Популярные вопросы и ответы

Отвечает Алексей Смирнов, учитель математики и физики, репетитор по подготовке к ЕГЭ по математике и физике:

Может ли правильная дробь быть больше единицы?

Нет. У правильной дроби числитель всегда меньше знаменателя, поэтому ее значение меньше единицы. Например, дробь 7/8 показывает, что из восьми равных частей целого взяли только семь.

Если значение дроби равно единице или превышает ее, такая дробь уже не является правильной. При равных числителе и знаменателе, а также при числителе, большем знаменателя, дробь относится к неправильным.

Может ли неправильная дробь быть равна единице?

Да. Неправильной считается не только дробь, у которой числитель больше знаменателя, но и дробь с равными числителем и знаменателем.

Например, 5/5 = 1, 12/12 = 1.
Поэтому любая дробь вида a/a, где a ≠ 0, является неправильной дробью и равна единице.

Чем неправильная дробь отличается от смешанного числа?

Неправильная дробь и смешанное число — это разные формы записи числа. Неправильная дробь записывается с помощью числителя и знаменателя, причем числитель больше знаменателя или равен ему. Смешанное число состоит из целой и дробной частей.

При этом одно и то же число часто можно записать обоими способами. Например, 11/4 = 2 ¾

В левой части равенства находится неправильная дробь, а в правой — смешанное число. Их записи различаются, но числовые значения одинаковы.

Почему тему по математике «Правильные и неправильные дроби» изучают в 5–6 классах?

В 5–6 классах школьники начинают подробно работать с обыкновенными дробями: учатся понимать их запись, сравнивать дроби и выполнять с ними различные действия. Разделение дробей на правильные и неправильные помогает определить значение дроби относительно единицы и подготовиться к работе со смешанными числами.

Эти знания становятся основой для дальнейшего изучения математики. Обыкновенные дроби встречаются при изучении пропорций, процентов, рациональных чисел, алгебраических выражений и других тем, поэтому важно научиться уверенно работать с ними еще в основной школе.

Изучение обыкновенных дробей и действий с ними предусмотрено Федеральной рабочей программой по математике для основной школы. ²

В каких заданиях ОГЭ и ЕГЭ по математике встречаются правильные и неправильные дроби?

В ОГЭ и ЕГЭ обычно не требуется отдельно определять, является дробь правильной или неправильной. Однако умение работать с такими дробями необходимо при выполнении многих заданий, связанных с вычислениями и преобразованиями числовых выражений.

Неправильные дроби могут встречаться в числовых выражениях, задачах на пропорции, степени и другие темы. Поэтому само определение правильной и неправильной дроби относится к базовой школьной теории, а навыки работы с ними используются и в более сложных экзаменационных заданиях.

Задания, в которых используются вычисления и преобразования выражений с дробями, представлены в открытых банках заданий ОГЭ и ЕГЭ Федерального института педагогических измерений. ³

5 тем по математике, которые помогут лучше разобраться в обыкновенных дробях

Сокращение дробей: как сокращать обыкновенные дроби и приводить их к более простой записи
Сложение и вычитание дробей: как выполнять действия с дробями с одинаковыми и разными знаменателями
Умножение дробей: по каким правилам перемножают обыкновенные дроби и смешанные числа
Деление дробей: как делить обыкновенные дроби и в каких случаях используют взаимно обратные числа
Десятичные дроби: что такое десятичная дробь, как она записывается и чем отличается от обыкновенной

Источники

Материал подготовлен на основании официальных документов и рекомендаций:

1. Министерство просвещения России. Федеральный перечень учебников. URL: https://fpu.edu.ru/

Виленкин Н. Я., Жохов В. И., Чесноков А. С., Александрова Л. А., Шварцбурд С. И. «Математика. 5 класс. Базовый уровень»
Виленкин Н. Я., Жохов В. И., Чесноков А. С. и др. «Математика. 6 класс. Базовый уровень»

2. Министерство просвещения России. Федеральная рабочая программа по учебному предмету «Математика». URL: https://static.edsoo.ru/projects/fop/index.html#/sections/200215

3. Федеральный институт педагогических измерений. Открытый банк заданий ОГЭ и ЕГЭ по математике. Методические рекомендации для учителей. URL: https://fipi.ru/