Деление дробей

Под делением понимают операцию, в которой есть делимое и делитель. Причем делимое – это то, что делят, а делитель – это число, на которое делят. Понятно, что делимое всегда записывают первым, а делитель – вторым числом. В случае с обыкновенными дробями деление означает умножение на число, обратное делителю. Более подробно об это рассказывается на наглядных примерах.

Полезная информация о делении дробей

Напомним, что обыкновенной называют дробь вида a/b (можно записать и в виде ^a/_b, что одно и то же), где a и b являются натуральными числами. Примеры: 2/3, 5/8, 7/3 и тому подобное. Чтобы разобраться в делении дробей, нужно вспомнить основные понятия, описанные в таблице.

Деление обыкновенных дробей

Чтобы разделить одну обыкновенную дробь на другую, необходимо умножить делимое на число, которое обратно делителю. Если сказать более простым языком, действовать нужно так:

1. Записать делимое (первую дробь) без изменений.
2. Перевернуть делитель (то есть записать обратное число).
3. Умножить делимое на обратное делителю число и получить результат.

Примеры

Описанное правило легко понять на наглядных примерах. Например, требуется разделить 3/5 на 9/10. Тогда, действуя по описанному алгоритму, получим:

1. Делимое (первую дробь) записываем без изменений: 3/5.
2. Делитель (вторую дробь) переворачиваем, то есть меняем числитель и знаменатель местами. Записываем 10/9.
3. Теперь умножаем делимое на делитель и после взаимного сокращения получаем:

В данном случае обе дроби удачно сократились. Но так бывает не всегда. Рассмотрим другой пример: 7/8 разделить на 3/5. Последовательность действий аналогичная:

1. Делимое записываем без изменений: 7/8.
2. Делитель переворачиваем, чтобы получить обратное число: 5/3.
3. Умножаем делимое на делитель и получаем:

Выделив целую часть, получим итоговый ответ в виде смешанного числа 1¹¹/₂₄.

это интересно

Умножение дробей

Советы эксперта, как научиться быстро умножать дроби

подробнее

Деление дроби на натуральное число

Любую обыкновенную дробь можно разделить и на натуральное число. Алгоритм следующий:

1. Делимое записать без изменений.
2. Делитель (натуральное число) представить в виде дроби, например, 7 – это 7/1.
3. Умножить делимое на число, обратное делителю (то есть записанное в перевернутом виде). В данном случае 7/1 превратится в 1/7.

Примеры

В качестве примера рассмотрим деление 2/3 на 3:

1. Делимое оставляем без изменений: 2/3.
2. Делитель (натуральное число) представляем в виде дроби 3/1.
3. Умножаем делимое на число, обратное делителю, то есть на 1/3.
   В результате получится такая запись:

Натренировавшись, дальнейшие действия можно упростить, то есть представить натуральное число в виде дроби (3/1) в уме и сразу перенести его в знаменатель (1/3). Тогда запись получится короче:

Можно рассмотреть и другой пример: разделить 5/3 на 5.

1. Делимое записываем без изменений: 5/3.
2. Делитель выносим в знаменатель: 1/5.
3. Умножаем делимое на делитель и после сокращения получим:

Деление натурального числа на дробь

Можно выполнить и обратное действие – разделить натуральное число на обыкновенную дробь. Инструкция следующая:

1. Делимое (натуральное число) представить в виде дроби, например 4 в виде 4/1.
2. Делитель (обыкновенную дробь) записать в виде обратного числа, то есть перевернуть числитель и знаменатель.
3. Умножить делимое на делитель.

Примеры

В качестве примера можно рассмотреть деление 3 на 3/5:

1. Делимое записываем в виде дроби, то есть 3/1.
2. Вместо делителя записываем обратное число – 5/3.
3. Умножаем делимое на обратное делителю число, после сокращений получаем:

Понятно, что первое действие можно выполнить в уме, то есть не писать 3/1, а сразу унести натуральное число 3 в числитель. Тогда получится упрощенный вариант:

Можно изучить и другое задание: разделить 7 на 5/6:

1. Натуральное число (делимое) записываем в виде дроби 7/1.
2. Делитель записываем в виде обратного числа, то есть меняем местами числитель и знаменатель: 6/5.
3. Умножаем первое число на второе и выделяем целую часть:

это интересно

Десятичные дроби

Как умножать и делить десятичные дроби

подробнее

Деление дроби на смешанное число

Наряду с натуральными есть и смешанные числа. Они состоят из целой и дробной части, например: 3¹/₄.

Дробь можно разделить на любое смешанное число, действуя по такому алгоритму:

1. Делимое записывать без изменений.
2. Делитель (смешанное число) записать в виде обыкновенной дроби. Для этого ее знаменатель умножают на целое число и прибавляют к числителю.
3. Умножить делимое на число, обратное делителю (поменять местами числитель и знаменатель).

Примеры

В качестве примера можно рассмотреть деление 6/7 на 3¹/₃.

1. Делимое записываем без изменений: 6/7.
2. Делитель запишем в виде обыкновенной дроби. Для этого знаменатель умножим на целую часть (3 · 3 = 9) и прибавим 1 (9 + 1 = 10). Запишем это значение в числитель, оставляя знаменатель прежним: 10/3.
3. Умножим делитель на число, обратное делителю (3/10). После сокращений получим:

Как видно, ничего сложного нет – достаточно лишь превратить смешанное число в обыкновенную (неправильную) дробь. Еще один пример: разделить 3/4 на 5²/₃:

1. Делимое оставляем без изменений: 3/4.
2. Делитель (смешанное число) превращаем в обыкновенную дробь: 5²/₃ = (3*5+2)/3 = 17/3.
3. Теперь умножаем делимое на число, обратное делителю (меняем местами числитель и знаменатель – вместо 17/3 записываем 3/17):

Советы экспертов, как подготовиться к контрольной работе по делению дробей

Дарья Дейген, эксперт ЕГЭ по математике, основатель и руководитель образовательного центра RedCat.School, руководитель центра дистанционного обучения Университетской гимназии МГУ, заместитель начальника управления делами и делопроизводства МГУ:

В 5 классе ребята на уроках математики изучают обыкновенные дроби. Учатся их складывать, вычитать, умножать и делить. Традиционно наибольшее количество трудностей вызывает тема деления. И правил там побольше, и операции надо выполнять в обратную сторону, что усложняет процесс. Но не все так страшно, как может показаться после первого урока по теме «Деление обыкновенных дробей».

Чтобы подготовиться к контрольной, важно научиться выполнять несколько типов заданий:

• деление обыкновенных дробей друг на друга;
• деление натурального числа на обыкновенную дробь и наоборот;
• деление обыкновенной дроби на смешанное число и наоборот.

Принцип везде одинаковый – делимое (первое число) умножают на дробь, обратную делителю (числитель и знаменатель меняют местами). В заданиях первого типа сделать это проще всего – достаточно умножить делимое на перевернутый делитель.

В заданиях второго типа натуральное число представляют в виде дроби и действуют точно так же.

В заданиях третьего типа смешанное число представляют в виде неправильной дроби и выполняют те же действия.

Популярные вопросы и ответы

Отвечает Дарья Дейген: