Признаки равенства треугольников
Чтобы установить равенство двух треугольников, необязательно сравнивать все их стороны и углы. Разберемся, какие признаки позволяют сделать вывод о равенстве треугольников всего по трем их элементам и как применять их при решении задач
На чертеже два треугольника могут выглядеть совершенно одинаково или, наоборот, казаться разными из-за размера и расположения рисунка. Но в геометрии внешний вид фигуры не является доказательством. Чтобы точно установить, равны ли треугольники, необходимо сравнить их элементы.
Проверять отдельно все три стороны и все три угла при этом не требуется. Существуют специальные признаки, которые позволяют доказать равенство треугольников всего по трем соответственным элементам. Они значительно упрощают геометрические доказательства и помогают находить неизвестные стороны и углы. Вместе с экспертом разберемся, какие признаки равенства треугольников изучают в школьном курсе и как ими пользоваться.
Что такое признаки равенства треугольников
Два треугольника называются равными, если их можно совместить наложением так, что соответственные вершины, стороны и углы полностью совпадут. У равных треугольников соответственные стороны и углы равны.
Например, равенство треугольников ABC и A1B1C1 записывают так:
△ABC = △A1B1C1.
При этом:
AB = A1B1, BC = B1C1, AC = A1C1;
∠A = ∠A1, ∠B = ∠B1, ∠C = ∠C1.
Однако для доказательства равенства треугольников необязательно устанавливать равенство всех шести соответственных элементов. Достаточно проверить определенные условия.
Признаки равенства треугольников — это условия, по которым можно установить, что два треугольника равны.
В школьной геометрии рассматривают три основных признака равенства треугольников:
- Первый признак: по двум сторонам и углу между ними;
- Второй признак: по стороне и двум прилежащим к ней углам;
- Третий признак: по трем сторонам.
Каждый из них позволяет сделать вывод о равенстве треугольников, зная только три соответственных элемента. Дальше разберем эти признаки и докажем каждый из них.
Именно эти три признака рассматриваются в школьном курсе геометрии и представлены в учебниках, включенных в Федеральный перечень учебников Министерства просвещения России.1
Полезная информация о признаках равенства треугольников
Чтобы не путать признаки равенства треугольников и быстро определять, какой из них можно применить в задаче, соберем основную информацию в таблице-шпаргалке.
| Признаки равенства треугольников | Описание |
|---|---|
| Равные треугольники | Треугольники, которые при наложении совпадают |
| Признаки равенства | Условия, по которым можно установить равенство двух треугольников |
| Первый признак | По двум сторонам и углу между ними |
| Второй признак | По стороне и двум прилежащим к ней углам |
| Третий признак | По трем сторонам |
| Результат | Если выполняются условия хотя бы одного из признаков, треугольники равны |
Первый признак равенства треугольников
Первый признак позволяет установить равенство треугольников по двум сторонам и углу, расположенному между ними.
Если две стороны и угол между ними одного треугольника соответственно равны двум сторонам и углу между ними другого треугольника, то такие треугольники равны.
Рассмотрим треугольники ABC и A1B1C1.
Если:
AB = A1B1,
AC = A1C1,
∠A = ∠A1,
то:
△ABC = △A1B1C1.
Для применения первого признака недостаточно установить равенство двух сторон и любого угла. Равными должны быть углы, заключенные между этими сторонами.
— В геометрии важно не просто выписать равные элементы, а посмотреть, как они расположены на чертеже, — рассказывает учитель математики и физики, репетитор по подготовке к ЕГЭ по математике и физике Алексей Смирнов. — Полезная привычка — сначала отметить все известные стороны и углы и только после этого выбирать подходящий признак.
Доказательство
Докажем первый признак методом наложения. Совместим треугольники так, чтобы вершина A1 совпала с вершиной A, а сторона A1B1 расположилась на луче AB.
По условию AB = A1B1, поэтому вершина B1 совпадет с вершиной B. Поскольку ∠A = ∠A1, луч A1C1 совпадет с лучом AC. Так как AC = A1C1, вершина C1 совпадет с вершиной C.
Таким образом, все вершины двух треугольников совпали, а значит, треугольники равны:
△ABC = △A1B1C1.
Что и требовалось доказать.
Второй признак равенства треугольников
Второй признак позволяет установить равенство треугольников по стороне и двум прилежащим к ней углам.
Если сторона и два прилежащих к ней угла одного треугольника соответственно равны стороне и двум прилежащим к ней углам другого треугольника, то такие треугольники равны.
Рассмотрим треугольники ABC и A1B1C1.
Если:
AB = A1B1,
∠A = ∠A1,
∠B = ∠B1,
то:
△ABC = △A1B1C1.
Как и в первом признаке, здесь важно не только количество известных элементов, но и их расположение. Два равных угла должны прилежать именно к той стороне, равенство которой установлено.
Доказательство
Докажем второй признак методом наложения. Совместим треугольники так, чтобы вершина A1 совпала с вершиной A, а сторона A1B1 расположилась на луче AB.
По условию AB = A1B1, поэтому вершина B1 совпадет с вершиной B. Поскольку ∠A = ∠A1, луч A1C1 совпадет с лучом AC. Аналогично из равенства ∠B = ∠B1 следует, что луч B1C1 совпадет с лучом BC.
Вершины C и C1 являются точками пересечения соответствующих лучей. Поскольку эти лучи совпадают, вершина C1 совпадет с вершиной C.
Таким образом, все вершины двух треугольников совпали, а значит, треугольники равны:
△ABC = △A1B1C1.
Что и требовалось доказать.
Третий признак равенства треугольников
Третий признак отличается от первых двух тем, что для его применения сравнивать углы вообще не требуется. Достаточно установить равенство трех соответственных сторон.
Если три стороны одного треугольника соответственно равны трем сторонам другого треугольника, то такие треугольники равны.
Рассмотрим треугольники ABC и A1B1C1.
Если:
AB = A1B1,
AC = A1C1,
BC = B1C1,
то:
△ABC = △A1B1C1.
Таким образом, если известны три пары равных соответственных сторон, дополнительно сравнивать углы двух треугольников не нужно.
Доказательство
Докажем третий признак. Совместим стороны A1B1 и AB так, чтобы вершины A1 и A, B1 и B совпали, а вершины C и C1 оказались по разные стороны от прямой AB. Соединим точки C и C1.
По условию AC = A1C1. После совмещения вершин A и A1 отрезок A1C1 занимает положение AC1, поэтому AC = AC1.
Следовательно, треугольник ACC1 равнобедренный, а его углы при основании CC1 равны:
∠ACC1 = ∠AC1C.
Аналогично: по условию BC = B1C1. После совмещения вершин B и B1 отрезок B1C1 занимает положение BC1, поэтому BC = BC1.
Значит, треугольник BCC1 также равнобедренный:
∠BCC1 = ∠BC1C.
Угол ACB состоит из углов ACC1 и C1CB, а угол AC1B из углов AC₁C и CC₁B. Поскольку соответствующие части этих углов равны, то:
∠ACB = ∠AC1B.
Теперь у треугольников ABC и ABC1 соответственно равны две стороны и угол между ними. По первому признаку равенства треугольников:
△ABC = △ABC1.
Следовательно, исходные треугольники ABC и A₁B₁C₁ равны:
△ABC = △A1B1C1.
Что и требовалось доказать.
Задачи и ответы по теме «Признаки равенства треугольников»
Проверим, насколько хорошо вы разобрались в признаках равенства треугольников. Попробуйте сначала определить, какой признак можно применить в каждой задаче, и решить ее самостоятельно, а затем сверьтесь с решением и ответом.
— Если нужный признак не замечается сразу, попробуйте буквально назвать три известных элемента каждого треугольника. Часто уже после этого становится понятно, какой из признаков здесь работает — советует эксперт.
Задача 1
В треугольниках ABC и DEF известно, что:
AB = DE = 7 см,
AC = DF = 5 см,
∠A = ∠D = 60°.
Периметр треугольника ABC равен 18 см. Найдите длину стороны EF.
Решение и ответ к задаче 1
В треугольниках ABC и DEF соответственно равны две стороны и углы между ними:
AB = DE,
AC = DF,
∠A = ∠D.
Следовательно, треугольники равны по первому признаку:
△ABC = △DEF.
У равных треугольников соответственные стороны равны, поэтому:
BC = EF.
Найдем сторону BC из периметра треугольника ABC:
BC = PABC — (AB + AC),
BC = 18 — (7 + 5) = 6 см.
Следовательно:
EF = 6 см.
Ответ: 6 см
Задача 2
Отрезки AC и BD пересекаются в точке O. Известно, что:
AO = OC,
∠BAO = ∠DCO.
Докажите, что AB = CD.
Решение и ответ к задаче 2
Рассмотрим треугольники AOB и COD.
По условию:
AO = OC,
∠BAO = ∠DCO.
Углы AOB и COD — вертикальные, поэтому:
∠AOB = ∠COD.
Таким образом, сторона AO и два прилежащих к ней угла треугольника AOB соответственно равны стороне OC и двум прилежащим к ней углам треугольника COD.
Следовательно, треугольники AOB и COD равны по второму признаку:
△AOB = △COD.
У равных треугольников соответственные стороны равны, поэтому:
AB = CD.
Что и требовалось доказать.
Задача 3
В четырехугольнике ABCD известно, что:
AB = CD,
BC = AD.
Проведена диагональ AC. Докажите, что:
∠BAC = ∠DCA.
Решение и ответ к задаче 3
Рассмотрим треугольники ABC и CDA.
По условию:
AB = CD,
BC = AD.
Сторона AC является общей для обоих треугольников.
Таким образом, три стороны треугольника ABC соответственно равны трем сторонам треугольника CDA.
Следовательно, треугольники равны по третьему признаку:
△ABC = △CDA.
У равных треугольников соответственные углы равны. Углу BAC первого треугольника соответствует угол DCA второго, поэтому:
∠BAC = ∠DCA.
Что и требовалось доказать.
Популярные вопросы и ответы
Отвечает Алексей Смирнов, учитель математики и физики, репетитор по подготовке к ЕГЭ по математике и физике:
Чем признаки равенства треугольников отличаются от признаков подобия?
Признаки равенства позволяют доказать, что два треугольника полностью совпадают при наложении, то есть их соответственные стороны и углы равны. У подобных треугольников соответственные углы также равны, но стороны могут иметь разную длину: важно, чтобы они были пропорциональны.
Поэтому равные треугольники имеют одинаковые форму и размеры, а подобные одинаковую форму, но не обязательно одинаковые размеры.
Поэтому равные треугольники имеют одинаковые форму и размеры, а подобные одинаковую форму, но не обязательно одинаковые размеры.
Зачем нужны признаки равенства треугольников?
Признаки позволяют доказать равенство двух треугольников, не сравнивая отдельно все их стороны и углы. Достаточно установить равенство трех определенных соответственных элементов.
На практике это значительно упрощает решение геометрических задач. Доказав равенство треугольников, мы можем сделать вывод о равенстве остальных соответственных сторон и углов, даже если их равенство изначально не было известно.
На практике это значительно упрощает решение геометрических задач. Доказав равенство треугольников, мы можем сделать вывод о равенстве остальных соответственных сторон и углов, даже если их равенство изначально не было известно.
Почему тему по геометрии «Признаки равенства треугольников» изучают в 7 классе?
В 7 классе начинается систематическое изучение геометрии и школьники знакомятся с основными свойствами треугольников. Признаки их равенства становятся одним из первых инструментов, с помощью которых можно не просто вычислять неизвестные величины, а доказывать геометрические утверждения.
Эта тема также необходима для дальнейшего изучения геометрии. Признаки равенства используются при доказательстве свойств равнобедренного треугольника, параллельных прямых и других фигур.
Согласно федеральной рабочей программе по математике, признаки равенства треугольников входят в содержание курса геометрии 7 класса.2
Эта тема также необходима для дальнейшего изучения геометрии. Признаки равенства используются при доказательстве свойств равнобедренного треугольника, параллельных прямых и других фигур.
Согласно федеральной рабочей программе по математике, признаки равенства треугольников входят в содержание курса геометрии 7 класса.2
В каких заданиях ОГЭ и ЕГЭ по геометрии встречаются признаки равенства треугольников?
На ОГЭ и ЕГЭ признаки равенства треугольников могут использоваться при решении различных планиметрических задач. Как правило, в условии не требуется просто назвать первый, второй или третий признак. Их необходимо применить как один из этапов решения или доказательства. Подобные геометрические задачи представлены в экзаменационных материалах и открытых банках заданий ФИПИ.3
Например, с помощью признаков можно доказать равенство сторон или углов, а затем использовать полученный результат для дальнейших вычислений. Поэтому важно не только знать формулировки трех признаков, но и уметь замечать на чертеже элементы, которые позволяют их применить.
Например, с помощью признаков можно доказать равенство сторон или углов, а затем использовать полученный результат для дальнейших вычислений. Поэтому важно не только знать формулировки трех признаков, но и уметь замечать на чертеже элементы, которые позволяют их применить.
5 тем по геометрии, которые помогут лучше разобраться в треугольниках
- Прямоугольный треугольник: почему один угол в 90° так сильно упрощает решение задач
- Равносторонний треугольник: какими свойствами обладают его стороны и углы
- Медиана треугольника: что происходит с треугольником, когда она делит противоположную сторону пополам
- Биссектриса треугольника: вспомним «крысу, которая бегает по углам» и разберемся, что на самом деле делает биссектриса
- Высота треугольника: как ее провести и какими свойствами она обладает
Источники
Материал подготовлен в соответствии с официальными документами и рекомендациями.
1. Министерство просвещения России. Федеральный перечень учебников. URL: https://fpu.edu.ru/
- Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б. «Геометрия. 7-9 классы»
- Мерзляк А.Г., Номировский Д.А., Поляков В.М. «Геометрия. 8 класс»
- Мерзляк А.Г., Номировский Д.А., Поляков В.М. «Геометрия. 9 класс»
- Смирнов В.А., Смирнова И.М. «Геометрия. 8 класс»
- Смирнов В.А., Смирнова И.М. «Геометрия. 9 класс»
2. Министерство просвещения России. Федеральная рабочая программа по учебному предмету «Математика». URL: https://static.edsoo.ru/projects/fop/index.html#/sections/200215
3. Федеральный институт педагогических измерений. Открытый банк заданий ОГЭ и ЕГЭ по математике. Методические рекомендации для учителей. URL: https://fipi.ru/
