Прямоугольный треугольник: определение, свойства, признаки

Треугольник является одной из самых распространенных фигур в геометрии: он встречается и в простых задачах на углы и стороны, и в сложных чертежах, где становится частью других фигур. При этом треугольники могут заметно отличаться друг от друга, поэтому важно не только знать их общие свойства, но и разбираться в отдельных видах.

Треугольники классифицируют по разным признакам. По сторонам они могут быть разносторонними, равнобедренными и равносторонними, а по углам — остроугольными, прямоугольными и тупоугольными. Каждый вид имеет свои особенности, которые помогают находить неизвестные элементы и выбирать подходящий способ решения задачи.

В этой статье подробнее остановимся на одном из них. Вместе с экспертом разберем, что такое прямоугольный треугольник, как называются его стороны, какими свойствами и признаками он обладает и как применять их при решении геометрических задач.

Что такое прямоугольный треугольник в геометрии

Прямоугольный треугольник — это треугольник, один из углов которого является прямым, то есть равен 90°.

Рассмотрим, как выглядит прямоугольный треугольник ABC, в котором угол C — прямой и равен 90°.

Именно наличие прямого угла отличает такой треугольник от остроугольного и тупоугольного и определяет многие его особые свойства.

Полезная информация о прямоугольном треугольнике

У прямоугольного треугольника есть несколько особенностей, которые отличают его от других видов треугольников. В таблице собрали основные определения, свойства и формулы, которые пригодятся при изучении темы и решении задач.

Стороны прямоугольного треугольника

Стороны прямоугольного треугольника имеют специальные названия: две из них называются катетами, а третья — гипотенузой. Определить их можно по расположению относительно прямого угла.

На рисунке выше в прямоугольном треугольнике ABC с прямым углом C стороны AC и BC являются катетами, а сторона AB — гипотенузой.

Катеты прямоугольного треугольника

Катеты — это две стороны прямоугольного треугольника, которые образуют прямой угол. Поэтому каждый из них прилегает к прямому углу.

При этом положение катета можно рассматривать и относительно одного из острых углов треугольника. В этом случае один катет называют прилежащим, а другой — противолежащим. Прилежащий катет образует рассматриваемый острый угол вместе с гипотенузой, а противолежащий находится напротив этого угла.

Например, в треугольнике ABC с прямым углом C относительно угла A катет AC будет прилежащим, а BC — противолежащим. Если рассматривать угол B, их роли поменяются, BC станет прилежащим катетом, а AC — противолежащим.

Гипотенуза прямоугольного треугольника

Гипотенуза — это сторона прямоугольного треугольника, которая лежит напротив прямого угла.

В треугольнике ABC с прямым углом C гипотенузой является сторона AB. Она не образует прямой угол и всегда длиннее каждого из катетов.

это интересно

Параллелограмм

Какими свойствами обладает параллелограмм и по каким признакам его можно распознать

Подробнее

Свойства прямоугольного треугольника

Наличие прямого угла определяет целый ряд особенностей прямоугольного треугольника. Его свойства позволяют находить неизвестные стороны и углы, вычислять площадь и устанавливать соотношения между отдельными элементами фигуры. Рассмотрим основные из них.

Сумма острых углов прямоугольного треугольника равна 90°

Сумма углов любого треугольника равна 180°. Поскольку один угол прямоугольного треугольника составляет 90°, сумма двух оставшихся углов также равна 90°:

∠A + ∠B = 90°.

Следовательно, если известен один острый угол прямоугольного треугольника, второй можно найти, вычтя его величину из 90°.

Гипотенуза длиннее каждого из катетов

Гипотенуза лежит напротив прямого угла, который является самым большим углом прямоугольного треугольника. Напротив большего угла треугольника лежит большая сторона, поэтому:

c > a и c > b,

где:

• a и b — катеты;
• c — гипотенуза.

Квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов

Это свойство выражает теорема Пифагора:

c² = a² + b²,

где:

• a и b — катеты;
• c — гипотенуза.

С ее помощью можно найти любую неизвестную сторону прямоугольного треугольника, если известны две другие.

Гипотенузу находят по формуле:

Если нужно определить один из катетов:

Катет, лежащий напротив угла 30°, равен половине гипотенузы

Если один из острых углов прямоугольного треугольника равен 30°, то противолежащий ему катет в два раза короче гипотенузы:

a = c / 2,

где:

• a — катет, лежащий напротив угла 30°;
• c — гипотенуза.

Верно и обратное утверждение: если катет прямоугольного треугольника равен половине гипотенузы, то угол, лежащий напротив этого катета, равен 30°.

Если один из острых углов прямоугольного треугольника равен 45°, то треугольник является равнобедренным

Если один из острых углов прямоугольного треугольника равен 45°, то второй острый угол также равен 45°, поскольку их сумма составляет 90°. Следовательно, катеты, лежащие напротив равных углов, равны, а такой прямоугольный треугольник является равнобедренным.

Если в треугольнике ABC угол C равен 90°, а угол A равен 45°, то ∠B = 45°,

AC = BC.

Медиана, проведенная к гипотенузе, равна половине гипотенузы

Если из вершины прямого угла провести медиану к гипотенузе, ее длина будет равна половине длины гипотенузы.

Если CM — медиана, проведенная к гипотенузе AB, то:

CM = AB / 2.

При этом точка M, которая является серединой гипотенузы, равноудалена от всех трех вершин треугольника:

AM = BM = CM.

Поэтому она является центром окружности, описанной около прямоугольного треугольника.

Высота, проведенная к гипотенузе, делит прямоугольный треугольник на два подобных ему треугольника

Если из вершины прямого угла прямоугольного треугольника провести высоту к гипотенузе, образуются два прямоугольных треугольника. Каждый из них подобен исходному треугольнику, а также друг другу.

Пусть в прямоугольном треугольнике ABC высота CH проведена к гипотенузе AB, тогда:

△ABC ∼ △ACH ∼ △BCH.

Из подобия этих треугольников следуют несколько важных соотношений, представленных ниже.

Высота, проведенная к гипотенузе, является средним геометрическим отрезков, на которые она делит гипотенузу

Высота, проведенная из вершины прямого угла к гипотенузе, является средним геометрическим отрезков, на которые она делит гипотенузу:

CH² = AH · HB,

где:

• CH — высота, проведенная к гипотенузе;
• AH и HB — отрезки гипотенузы.

Катеты прямоугольного треугольника также связаны с гипотенузой и своими проекциями на нее. Каждый катет является средним геометрическим гипотенузы и проекции этого катета на гипотенузу:

AC² = AB · AH,

BC² = AB · HB,

где:

• AC и BC — катеты;
• AB — гипотенуза;
• AH и HB — проекции катетов AC и BC на гипотенузу соответственно.

Помимо геометрических свойств, при решении задач важно уметь вычислять основные числовые характеристики прямоугольного треугольника — его периметр и площадь.

Периметр прямоугольного треугольника, как и любого другого, равен сумме длин всех трех сторон:

P = a + b + c,

где:

• a и b — катеты;
• c — гипотенуза.

Если длина одной из сторон неизвестна, но известны две другие, сначала ее можно найти с помощью теоремы Пифагора, а затем вычислить периметр.

Площадь прямоугольного треугольника можно вычислить несколькими способами в зависимости от известных элементов.

Если известны два катета, площадь равна половине их произведения:

S = ab / 2,

где a и b — катеты.

Эта формула следует из общей формулы площади треугольника. Катеты перпендикулярны друг другу, поэтому один из них можно принять за основание, а второй за соответствующую высоту.

Если известны гипотенуза и проведенная к ней высота, используется формула:

S = ch_с / 2,

где:

• c — гипотенуза;
• h_с — высота, проведенная к гипотенузе.

Еще один способ позволяет найти площадь через полупериметр и радиус вписанной окружности:

S = pr,

где:

• p — полупериметр прямоугольного треугольника;
• r — радиус вписанной окружности.

Из этой же формулы можно также найти радиус вписанной окружности. Для этого площадь треугольника нужно разделить на его полупериметр.

Если известны длины всех сторон прямоугольного треугольника, радиус вписанной в него окружности можно найти по формуле:

где:

• a и b — катеты;
• c — гипотенуза;
• r — радиус вписанной окружности.

Признаки прямоугольного треугольника

Определить, является ли треугольник прямоугольным, можно не только по непосредственно заданному прямому углу. В некоторых задачах величины углов неизвестны, но сделать вывод позволяют другие данные, например соотношение углов или длин сторон. Рассмотрим основные признаки прямоугольного треугольника.

Один из углов треугольника равен 90°

Это следует непосредственно из определения: если один из углов треугольника прямой, то такой треугольник является прямоугольным.

Например, если в треугольнике ABC ∠C = 90°, то ABC — прямоугольный треугольник.

Сумма двух углов треугольника равна 90°

Если сумма двух углов треугольника составляет 90°, то третий угол обязательно является прямым. Это следует из теоремы о сумме углов треугольника:

∠A + ∠B + ∠C = 180°.

Если:

∠A + ∠B = 90°,

то:

∠C = 180° − 90° = 90°.

Следовательно, треугольник ABC является прямоугольным.

Квадрат большей стороны равен сумме квадратов двух других сторон

Определить прямоугольный треугольник можно и в том случае, когда известны только длины его сторон. Для этого используется теорема, обратная теореме Пифагора.

Если в треугольнике со сторонами a, b и c сторона c является наибольшей и выполняется равенство:

c² = a² + b²,

то угол, лежащий напротив стороны c, равен 90°, а треугольник является прямоугольным.

Например, для треугольника со сторонами 5, 12 и 13:

13² = 5² + 12²,

169 = 25 + 144.

Равенство выполняется, поэтому такой треугольник является прямоугольным.

Определение и основные свойства прямоугольного треугольника приводятся в школьных учебниках по геометрии, включенных в Федеральный перечень учебников. ¹

Задачи и ответы по теме «Прямоугольный треугольник»

Закрепим основные свойства прямоугольного треугольника на практике. Попробуйте сначала решить задачи самостоятельно, а затем сравните свое решение с ответами.

Задача 1

Один из острых углов прямоугольного треугольника равен 34°. Найдите второй острый угол.

Задача 2

В прямоугольном треугольнике один из острых углов равен 30°, а гипотенуза — 18 см. Найдите катет, лежащий напротив угла 30°.

Задача 3

В прямоугольном треугольнике высота, проведенная к гипотенузе, делит ее на отрезки длиной 4 см и 9 см. Найдите длину этой высоты.

Популярные вопросы и ответы

Отвечает Алексей Смирнов, учитель математики и физики, репетитор по подготовке к ЕГЭ по математике и физике:

5 тем по геометрии, которые помогут лучше разобраться в свойствах треугольников

• Средняя линия треугольника: как она связана со сторонами треугольника
• Биссектриса треугольника: как она делит угол и какими свойствами обладает
• Описанная окружность: где находится ее центр и какими свойствами она обладает
• Смежные и вертикальные углы: как они связаны между собой и как находить их величины
• Касательная к окружности: какими свойствами она обладает и как используется в задачах

Источники

Материал подготовлен в соответствии с официальными документами и рекомендациями.

1. Министерство просвещения России. Федеральный перечень учебников. URL: https://fpu.edu.ru/ 

• Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б. «Геометрия. 7-9 классы»
• Мерзляк А.Г., Номировский Д.А., Поляков В.М. «Геометрия. 8 класс»
• Мерзляк А.Г., Номировский Д.А., Поляков В.М. «Геометрия. 9 класс»
• Смирнов В.А., Смирнова И.М. «Геометрия. 8 класс»
• Смирнов В.А., Смирнова И.М. «Геометрия. 9 класс»

2. Министерство просвещения России. Федеральная рабочая программа по учебному предмету «Математика». URL: https://static.edsoo.ru/projects/fop/index.html#/sections/200215

3. Федеральный институт педагогических измерений. Открытый банк заданий ОГЭ и ЕГЭ по математике. Методические рекомендации для учителей. URL: https://fipi.ru/