Рациональные числа

Каждый день, сами того не замечая, мы сталкиваемся с рациональными числами: когда делим шоколадку между друзьями, рассчитываем время до конца урока или скидку в магазине. Рациональные числа – настоящие помощники в математике и жизни.

В отличие от загадочного числа π с его бесконечной чередой цифр после запятой, рациональные числа всегда можно представить в ясной и удобной форме. Их особенность – в предсказуемости и точности, что делает вычисления простыми и надежными.

Изучим подробнее эти универсальные числа. Вы узнаете, как они работают и почему без них невозможно обойтись ни в школе, ни в повседневных расчетах.

Что такое рациональные числа в математике

Рациональные числа – это числа, которые можно записать в виде обыкновенной дроби a/b, где в числителе a стоит целое число, а в знаменателе b натуральное число. Разберемся подробнее.

Натуральные числа – это числа для счета: 1, 2, 3, 4 и так далее. Обратите внимание, что 0 не является натуральным числом.

Целые числа – это натуральные числа, противоположные им числа и ноль: ….-3, -2, -1, 0, 1, 2, 3,…..

Вот несколько способов, как представить рациональное число в виде обыкновенной дроби.

1. Целые числа всегда можно записать как дробь со знаменателем 1:

2. Конечные десятичные дроби переводятся в обыкновенные:

3. Смешанные числа превращаются в неправильные дроби:

4. Бесконечные десятичные дроби разделяют на периодические и непериодические.

Периодические можно представить в виде обыкновенной дроби, то есть они являются рациональными числами:

Непериодические нельзя выразить точной обыкновенной дробью. Они не являются рациональными, такие числа принято называть иррациональными:  

√2 ≈ 1,414213….
π ≈ 3,141592….

Полезная информация о рациональных числах

Рациональные числа чрезвычайно разнообразны и включают множество частных случаев. Рассмотрим основные виды таких чисел на конкретных примерах.

Рациональные числа	Примеры
Целые числа	2; 100000; -4; 0; -12
Обыкновенные дроби	1/2; -3/7; 7/4; -101/100
Конечные десятичные дроби	0,5; -34,68; 4,4; -0,01
Смешанные числа	1 3/7; 10 5/14; -3 2/3
Бесконечные периодические дроби	0,33333…. ; 0,2424242….

Сложение рациональных чисел

Операции с рациональными числами подчиняются определенным правилам, которые помогают выполнять вычисления точно и последовательно. Сложение – это первая и очень важная операция, на основе которой строятся все остальные арифметические действия. Разберем вместе все возможные случаи сложения рациональных чисел.

Сложение нуля с рациональным числом

Ноль при сложении играет роль нейтрального элемента. Это означает, что если к любому числу прибавить ноль, оно сохраняет свое значение. Такое свойство называется свойством нуля при сложении. Для любого рационального числа a:

a + 0 = a

Пример

Рассмотрим, как правило сложения нуля с рациональным числом работает на конкретных числах:

Значение дробей осталось неизменным.

Сложение противоположных рациональных чисел

Противоположные числа имеют одинаковые модули, но разные знаки. Их сумма всегда равна нулю. Для любого рационального числа a:

a + (-a) = 0

Обратите внимание, что число 0 противоположно самому себе.

Пример

Посмотрим, как правило сложения противоположных рациональных чисел выглядит в выражениях:

При сложении данных чисел результат получился равным нулю.

Сложение положительных рациональных чисел

При сложении положительных рациональных чисел результат всегда будет тоже положительным. Для любых положительных a и b:

a + b = c, где с – положительное рациональное число.

Пример

Проиллюстрируем правило сложения положительных рациональных чисел примерами:

Ответ в обоих случаях получился положительным. Также важно помнить, что при сложении дробей с разными знаменателями требуется предварительно привести их к общему знаменателю.

Сложение рациональных чисел с разными знаками

При сложении чисел с разными знаками нужно сравнить их модули. Далее вычесть из большего модуля меньший. Результату присвоить знак числа с большим модулем. Для рациональных чисел a и b, где a – отрицательное, b – положительное:

при |a|>|b|

a + b = — (|a| — |b|) = с, где с – отрицательное рациональное число

при |a|<|b|

a + b = +(|b| -|a|) = c, где c – положительное рациональное число

Пример

Проверим, как работает правило сложения рациональных чисел с разными знаками на практике:

В первом случае модуль больше у отрицательного числа, соответственно, получаем результат со знаком минус. Во втором примере, наоборот, большее значение имеет модуль положительного числа, а значит, и ответ положительный.

Сложение отрицательных рациональных чисел

Сумма двух отрицательных чисел всегда отрицательна. Для начала необходимо сложить модули чисел, а затем перед полученным числом поставить знак минус. Для любых отрицательных a и b:

a + b = -(|a| + |b|) = c, где с – отрицательное рациональное число.

Пример

Рассмотрим, как работает правило сложения отрицательных рациональных чисел:

Оба результата имеют знак минус.

Вычитание рациональных чисел

Вычитание рациональных чисел можно заменить сложением с противоположным числом. Такой способ позволяет использовать все ранее изученные правила сложения. Для любых рациональных чисел a и b :

a — b = a + (-b).

Пример

Покажем на примерах, как вычитание рациональных чисел заменяется сложением с противоположным числом:

Сделали замену вычитания на сложение с противоположным числом, получив при этом в первом примере сумму двух отрицательных чисел, во втором – сложение чисел с разными знаками. 

Умножение рациональных чисел

Умножение рациональных чисел имеет свои особенности, которые важно учитывать при вычислениях. В отличие от сложения, здесь работают другие правила определения знака результата. Рассмотрим все варианты умножения – от простейших случаев до более сложных комбинаций.

Умножение рационального числа на нуль

При умножении любого числа на ноль всегда получается ноль. Это свойство называется свойством нуля при умножении и работает для всех видов чисел. Для любого рационального числа a:

a × 0 = 0.

Пример

Проверим, как работает свойство нуля при умножении:

В обоих случаях мы получили в результате ноль.

Умножение рационального числа на единицу

При умножении числа на единицу число не меняется. Единица в умножении нейтральна. Для любого рационального числа a:

a × 1 = a.

Пример

Проверим свойство единицы при умножении:

При умножении чисел на один в результат записали то же самое число. 

Умножение взаимно обратных чисел

Произведение взаимно обратных чисел равно единице. Числа называются взаимно обратными, если их произведение равно 1 и они отличаются перевернутой записью числителя и знаменателя. Для числа a, при а ≠ 0, обратным будет 1/a. Для рационального числа a (a ≠ 0)

Пример

Убедимся, что произведение взаимно обратных чисел равно единице:

При умножении происходит сокращение дробей, в итоге ответ – единица.

Умножение положительных рациональных чисел

При умножении двух положительных чисел результат всегда положительный. Для положительных a и b:

a × b = c, где c – положительное рациональное число.

Пример

Рассмотрим конкретные случаи умножения положительных чисел:

Оба результата получились положительными.

Умножение рациональных чисел с разными знаками

При умножении чисел с разными знаками результат всегда отрицательный. Модуль произведения равен произведению модулей этих чисел. Для рациональных чисел a и b, где a – отрицательное, b – положительное:

a × b = -(|a|×|b|) = c, где c — отрицательное рациональное число.

Пример

Проверим, как на практике выполняется умножение рациональных чисел с разными знаками:

В обоих случаях в ответе получили значение со знаком минус.

Умножение отрицательных рациональных чисел

При умножении двух отрицательных чисел результат всегда положительный. Это объясняется правилом «минус на минус дает плюс». Для любых отрицательных a и b:

a × b = |a| × |b| = c, где c – положительное рациональное число.

Пример

Покажем, как работает правило умножения отрицательных рациональных чисел:

Результат в обоих примерах получился положительным. 

Деление рациональных чисел

Деление можно заменить умножением на обратное число. Для числа a, при a ≠ 0, обратным будет 1/a. Это преобразование значительно упрощает вычисления с дробями. Для любых рациональных чисел a и b (b ≠ 0):

a : b = a × 1/b.

Пример

Применим правило деления рациональных чисел через умножение на обратное число:

Произвели преобразование из деления в умножение с помощью переворота второй дроби, тем самым получили умножение на противоположное число.

Задачи по теме «Рациональные числа» 

Теперь, когда мы разобрали все основные операции с рациональными числами, проверим, насколько хорошо усвоен материал. Решите следующие задачи, применяя изученные правила.

Задача 1

Вычислите:

Задача 2

Найдите произведение:

Задача 3

Выполните деление:

Задача 4

Найдите значение выражения:

Ответы к задачам

Проверьте, правильно ли вы выполнили задания. Ниже приведены подробные решения с ответами.

Задача 1

1) Приведем дроби к общему знаменателю, а затем выполним сложение чисел с разными знаками:

2) Заменим вычитание чисел на сложение с противоположным числом, затем сложим модули чисел, поставив знак минус перед результатом:

-2,75 — 1,25 = -(|-2,75| + |-1,25|) = -(2,75 + 1,25) = -4

Задача 2

1) Выполним умножение дробей с разными знаками, умножая числитель на числитель, знаменатель на знаменатель. У результата будет знак минус. Не забывайте сокращать дробь в конце:

2) Выполняем умножение отрицательных дробей, откидывая знак минус. Ответ будет положительным:

-0,6 × (-0,4) = 0,6 × 0,4 = 0,24

Задача 3

1) Заменим деление умножением на обратное число, а затем выполним умножение по правилу:

2) Заменим деление умножением на обратное число, а затем выполним умножение по правилу:

-1,2 : 0,4 = -1,2 × 2,5 = -3

Задача 4 

1) Выполним сложение в скобках, приведя дроби к общему знаменателю. Затем выполним умножение, а далее сложение:

Обратите внимание, что можно сразу применить свойство нуля при умножении, не затрачивая время на сложение в скобках. Вне зависимости от результата, полученного в скобке, после умножения на 0 получим 0. А далее останется прибавить 5.

2) Выполним умножение по порядку, а далее вычитание:

Обратите внимание, что умножение числа на единицу не меняет само число, так же как и сложение или вычитание 0.

Популярные вопросы и ответы

Отвечает Ольга Комарова, учитель математики: