Трапеция: свойства, признаки, формулы

Трапеции можно увидеть в очертаниях крыш, деталях мостов, элементах мебели и различных технических конструкциях. Такие предметы отличаются по размеру и назначению, однако их контуры могут иметь общую геометрическую особенность: две противоположные стороны параллельны.

В школьной геометрии трапеция встречается в задачах на стороны, углы, высоту, среднюю линию, периметр и площадь. Вместе с репетитором по математике Артемом Островским разберем, что такое трапеция, какими свойствами и признаками она обладает и как применять их при решении задач.

Что такое трапеция в геометрии

Трапеция — это четырехугольник, у которого две противоположные стороны параллельны, а две другие не параллельны.

Это означает, что если ABCD — трапеция, то, например, AD параллельно BC (AD || BC), а AB не параллельно CD. 

У трапеции выделяют несколько основных элементов: основания, боковые стороны и высоту.

Параллельные стороны трапеции называются основаниями, а две другие стороны — боковыми сторонами. Так, если в трапеции ABСD AD || BC, то AD и BC являются основаниями, а AB и CD боковыми сторонами.

Высота трапеции — это перпендикулярный отрезок, соединяющий прямые, на которых лежат ее основания. Длина этого отрезка равна расстоянию между основаниями. 

Высоту трапеции можно провести из любой ее вершины к прямой, содержащей противоположное основание. Например, если из вершины B трапеции ABCD опустить перпендикуляр BH на прямую AD, то BH ⊥ AD, а отрезок BH является высотой трапеции.

Трапеция относится к основным видам четырехугольников и часто встречается в задачах по планиметрии. Определение трапеции, ее элементы, свойства и частные случаи рассматриваются в учебниках геометрии, входящих в Федеральный перечень учебников.¹

Полезная информация о трапеции

Чтобы быстро повторить основные сведения о трапеции и не запутаться при решении задач, удобно пользоваться краткой сводкой ключевых фактов. В таблице ниже собраны главные характеристики этой геометрической фигуры.

Тема «Трапеция», ее основные элементы, свойства и способы вычисления площади входит в содержание школьного курса геометрии согласно Федеральной рабочей программе по математике.²

Виды трапеции

В зависимости от длин сторон и их взаимного расположения выделяют два частных случая трапеции: равнобедренную и прямоугольную. Каждая из этих фигур соответствует определению трапеции, но обладает дополнительными особенностями.

Равнобедренная трапеция

Равнобедренная трапеция — это трапеция, у которой боковые стороны равны.

Если ABCD — равнобедренная трапеция и AD || BC, то AB = CD.

Равнобедренная трапеция обладает рядом дополнительных свойств, связанных с ее углами и диагоналями. Подробнее их рассмотрим ниже.

Прямоугольная трапеция

Прямоугольная трапеция — это трапеция, у которой одна из боковых сторон перпендикулярна основаниям.

Если ABCD — прямоугольная трапеция, AD || BC и AB ⊥ AD, то ∠A = ∠B = 90°.

Боковая сторона AB одновременно является высотой трапеции.

Прямоугольная трапеция удобна при решении задач, поскольку внутри нее легко выделить прямоугольник и прямоугольный треугольник. Это позволяет применять свойства прямоугольных фигур и теорему Пифагора.

Любая равнобедренная или прямоугольная трапеция является трапецией, но не каждая трапеция является прямоугольной или равнобедренной. Для принадлежности к одному из частных случаев фигура должна удовлетворять дополнительному условию: иметь равные боковые стороны или два прямых угла.

Свойства трапеции

Трапеция обладает рядом свойств, которые помогают находить ее стороны, углы, среднюю линию и другие элементы, а также решать задачи на доказательство. Рассмотрим основные из них.

Сумма углов трапеции, прилежащих к одной боковой стороне, равна 180°

Если ABCD — трапеция и AD || BC, то ∠A + ∠B = 180°, ∠C + ∠D = 180°.

Боковые стороны AB и CD являются секущими для параллельных прямых AD и BC. Поэтому углы, прилежащие к каждой боковой стороне, являются внутренними односторонними, а их сумма равна 180°. Это свойство позволяет находить неизвестные углы трапеции.

Средняя линия трапеции параллельна основаниям и равна их полусумме

Средняя линия трапеции — это отрезок, соединяющий середины ее боковых сторон. Если ABCD — трапеция, а точки M и N — середины боковых сторон AB и CD, то

MN || AD, MN || BC и

Это свойство позволяет находить длину средней линии по основаниям трапеции, а также определять неизвестное основание, если известны средняя линия и другое основание.

Точка пересечения диагоналей трапеции делит их на отрезки, пропорциональные основаниям

Если ABCD — трапеция, AD || BC, а диагонали AC и BD пересекаются в точке O, то

Это свойство следует из подобия треугольников AOD и COB, которое возникает благодаря параллельности оснований трапеции. Оно позволяет находить части диагоналей по известным основаниям или, наоборот, определять отношение оснований.

Диагонали трапеции делят ее на треугольники с определенным соотношением площадей

Если ABCD — трапеция, AD || BC, а диагонали AC и BD пересекаются в точке O, то треугольники AOB и COD, прилежащие к основаниям, имеют площади, отношение которых равно квадрату отношения оснований:

При этом треугольники AOB и COD имеют равные площади:

Это свойство используется в более сложных задачах, где трапеция разделена диагоналями на несколько частей и требуется найти площади отдельных треугольников.

В равнобедренной трапеции углы при каждом основании равны

Равнобедренная трапеция обладает дополнительными свойствами, которые не выполняются для произвольной трапеции.

Если ABCD — равнобедренная трапеция, AD || BC и AB = CD, то ∠A = ∠D, ∠B = ∠C.

Это свойство позволяет по одному известному углу определить остальные углы равнобедренной трапеции. Например, если известен угол A, то угол D равен ему, а углы B и C можно найти, используя сумму углов при боковой стороне.

Диагонали равнобедренной трапеции равны

Если ABCD — равнобедренная трапеция, то AC = BD.

Равенство диагоналей связано с симметрией равнобедренной трапеции. Это свойство позволяет находить длину одной диагонали по другой, а также используется при доказательстве геометрических утверждений.

Около равнобедренной трапеции можно описать окружность

Если ABCD — равнобедренная трапеция, то все ее вершины лежат на одной окружности.

Это следует из свойств углов равнобедренной трапеции: сумма ее противоположных углов равна 180°. Поэтому равнобедренная трапеция является вписанным четырехугольником. Это свойство используется в задачах, связанных одновременно с четырехугольниками и окружностями.

Кроме геометрических свойств, важно уметь находить основные числовые характеристики трапеции — ее периметр и площадь.

Периметр трапеции равен сумме длин всех ее сторон:

где:

• P — периметр трапеции;
• a и b — основания трапеции;
• c и d — боковые стороны трапеции.

Площадь трапеции равна произведению полусуммы ее оснований на высоту:

где:

• S — площадь трапеции;
• a и b — основания трапеции;
• h — высота трапеции.

Поскольку полусумма оснований равна средней линии трапеции, площадь также можно вычислить по формуле:

где:

• S — площадь трапеции;
• m — средняя линия трапеции;
• h — высота трапеции.

это интересно

Хорда окружности

Что называют хордой и какими свойствами она обладает

подробнее

Признаки трапеции

Признаки геометрических фигур позволяют определить их вид по отдельным известным свойствам. В случае произвольной трапеции основным условием является ее определение: необходимо установить, что одна пара противоположных сторон четырехугольника параллельна, а другая — нет. Для равнобедренной трапеции существуют дополнительные признаки, позволяющие определить ее по углам или диагоналям.

Признак трапеции

Если в четырехугольнике одна пара противоположных сторон параллельна, а другая пара не параллельна, то этот четырехугольник является трапецией. Например, если в четырехугольнике ABCD AD || BC, а AB не параллельна CD, то ABCD — трапеция.

Этот признак непосредственно следует из определения трапеции. Параллельность сторон при решении задач может быть задана в условии или установлена с помощью признаков параллельности прямых.

Признак равнобедренной трапеции по углам

Если в трапеции углы при одном основании равны, то эта трапеция является равнобедренной. Если ABCD — трапеция, AD || BC и ∠A = ∠D, то AB = CD, следовательно, ABCD — равнобедренная трапеция.

Для определения вида трапеции достаточно установить равенство пары углов при одном из оснований. Углы при другом основании в этом случае также будут равны.

Признак равнобедренной трапеции по диагоналям

Если диагонали трапеции равны, то эта трапеция является равнобедренной. Если ABCD — трапеция и AC = BD, то AB = CD, следовательно, ABCD — равнобедренная трапеция.

Этот признак позволяет установить, что трапеция является равнобедренной, даже если длины ее боковых сторон непосредственно неизвестны.

Задачи и ответы по теме «Трапеция»

Теперь проверим, насколько хорошо вы усвоили материал. Ниже представлены задачи, аналогичные тем, которые встречаются в школьной программе и заданиях по планиметрии. Они помогут потренироваться применять свойства трапеции при нахождении углов, средней линии, сторон и площади. Попробуйте решить задачи самостоятельно, а затем сверьтесь с решениями.

Задача 1

В трапеции ABCD основания AD и BC параллельны. Угол A равен 64°. Найдите угол B.

Задача 2

Основания трапеции равны 8 см и 16 см. Найдите ее среднюю линию.

Задача 3

В равнобедренной трапеции ABCD основания AD и BC параллельны. Угол A равен 70°. Найдите остальные углы трапеции.

Задача 4

Основания прямоугольной трапеции равны 7 см и 15 см, меньшая боковая сторона — 6 см. Найдите площадь трапеции.

Популярные вопросы и ответы

Отвечает Артем Островский, преподаватель курсов программирования и машинного обучения Московского физико-технического института:

5 тем по геометрии, которые будут полезны при изучении четырехугольников

• Периметр прямоугольника: по каким формулам его вычисляют и как находят неизвестные стороны фигуры
• Перпендикулярные прямые: как определить и построить перпендикулярные прямые и какими свойствами они обладают
• Площадь параллелограмма: какие формулы используют для вычисления площади фигуры
• Биссектриса треугольника: что такое биссектриса и какими свойствами она обладает
• Высота треугольника: как провести высоту в разных видах треугольников и какими свойствами она обладает

Источники

Материал подготовлен в соответствии с официальными документами и рекомендациями.

1. Министерство просвещения России. Федеральный перечень учебников. URL: https://fpu.edu.ru/ 

• Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б. «Геометрия. 7-9 классы»
• Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б. «Геометрия. 10-11 классы. Базовый и углубленный уровни»
• Мерзляк А.Г., Номировский Д.А., Поляков В.М. «Геометрия. 8 класс»
• Мерзляк А.Г., Номировский Д.А., Поляков В.М. «Геометрия. 9 класс»
• Мерзляк А.Г., Номировский Д.А., Поляков В.М. «Геометрия. 10 класс. Углубленный уровень»
• Мерзляк А.Г., Номировский Д.А., Поляков В.М. «Геометрия. 11 класс. Углубленный уровень»
• Смирнов В.А., Смирнова И.М. «Геометрия. 8 класс»
• Смирнов В.А., Смирнова И.М. «Геометрия. 9 класс»

2. Министерство просвещения России. Федеральная рабочая программа по учебному предмету «Математика». URL: https://static.edsoo.ru/projects/fop/index.html#/sections/200215

3. Федеральный институт педагогических измерений. Открытый банк заданий ОГЭ и ЕГЭ по математике, демоверсии, методические рекомендации для учителей. URL: https://fipi.ru/