Внешний угол треугольника
Угол треугольника может располагаться не только внутри фигуры. Если продолжить одну из его сторон, рядом с внутренним углом образуется внешний. Разберемся, какими свойствами обладают внешние углы треугольника
На чертеже треугольник обычно воспринимается как замкнутая фигура с тремя внутренними углами. Однако достаточно продолжить одну из его сторон за вершину, и рядом с внутренним углом появится еще один — внешний угол.
На первый взгляд кажется, что это просто дополнительный угол за пределами треугольника. На самом деле его величина напрямую связана сразу с несколькими внутренними углами фигуры. Благодаря этому внешний угол позволяет находить неизвестные величины и нередко сокращает решение задачи на несколько действий.
Вместе с экспертом разберемся, что такое внешний угол треугольника, докажем теорему о нем, выясним, чему равна сумма внешних углов и научимся применять эти свойства в задачах.
Что такое внешний угол треугольника в геометрии
Внешний угол треугольника — это угол, смежный с одним из его внутренних углов.
Внутренний угол α и внешний угол β являются смежными, поэтому их сумма равна 180°:
∠α + ∠β = 180°.
Следовательно, если известен внутренний угол треугольника, величину смежного с ним внешнего угла можно найти по формуле:
∠β = 180° − ∠α.
Например, если внутренний угол при вершине равен 65°, то внешний угол при этой вершине составляет: 180° − 65° = 115°.
Важно учитывать, что при каждой вершине треугольника можно получить два внешних угла, продолжая в разные стороны одну или другую сторону треугольника. Эти два внешних угла являются вертикальными, поэтому равны между собой.
Таким образом, у треугольника можно построить шесть внешних углов — по два при каждой вершине.
Полезная информация о внешнем угле треугольника
Основные сведения о внешних углах треугольника собрали в таблице. Она поможет быстро вспомнить их свойства и основные соотношения.
| Характеристика | Данные о внешнем угле треугольника |
|---|---|
| Внешний угол треугольника | Угол, смежный с внутренним углом треугольника |
| Число внешних углов | По два при каждой вершине, всего шесть |
| Связь с внутренним углом | Сумма внешнего угла и смежного с ним внутреннего угла равна 180° |
| Теорема о внешнем угле | Внешний угол равен сумме двух внутренних углов треугольника, не смежных с ним |
| Сумма внешних углов | Сумма трех внешних углов, взятых по одному при каждой вершине, равна 360° |
Тема внешнего угла треугольника входит в школьный курс геометрии и рассматривается в учебниках для 7 класса.1
Теорема о внешнем угле треугольника
Внешний угол связан не только с внутренним углом, смежным с ним. Его величину можно определить и через два других угла треугольника. Эту связь устанавливает теорема о внешнем угле треугольника:
Внешний угол треугольника равен сумме двух внутренних углов, не смежных с ним.
Обозначим два внутренних угла, не смежных с внешним, через α и β, а внешний угол — через γ. Согласно теореме:
∠γ = ∠α + ∠β.
Например, если два внутренних угла треугольника, не смежных с внешним, равны 48° и 67°, то внешний угол составляет: ∠γ = 48° + 67° = 115°.
Это позволяет находить внешний угол, даже не вычисляя предварительно смежный с ним внутренний.
Из теоремы следует еще одно полезное свойство: внешний угол треугольника больше каждого внутреннего угла, не смежного с ним.
Действительно, внешний угол равен сумме двух положительных величин. Поэтому каждая из них по отдельности меньше этой суммы.
— На чертеже внешний угол легко принять просто за часть продолженной стороны и не использовать в решении, объясняет Алексей Смирнов, учитель математики и физики, репетитор по подготовке к ЕГЭ по математике и физике. — Поэтому, увидев продолжение стороны треугольника, стоит сразу проверить, не дает ли образовавшийся внешний угол более короткий путь к ответу.
Доказательство теоремы о внешнем угле треугольника
Докажем теорему, используя свойства смежных углов и теорему о сумме углов треугольника. Обозначим два внутренних угла, не смежных с внешним, через α и β, внешний угол — через γ, а смежный с ним внутренний угол — через δ.
Сумма внутренних углов треугольника равна 180°:
∠α + ∠β + ∠δ = 180°.
Внешний угол γ и внутренний угол δ являются смежными, поэтому их сумма также равна 180°:
∠γ + ∠δ = 180°.
Следовательно:
∠α + ∠β + ∠δ = ∠γ + ∠δ.
Вычтем из обеих частей равенства ∠δ:
∠α + ∠β = ∠γ.
Таким образом, внешний угол треугольника равен сумме двух внутренних углов, не смежных с ним:
∠γ = ∠α + ∠β.
Что и требовалось доказать.
это интересно
Сумма внешних углов треугольника
Если взять по одному внешнему углу при каждой вершине треугольника, их сумма всегда будет одинаковой независимо от формы и размеров фигуры.
Сумма трех внешних углов треугольника, взятых по одному при каждой вершине, равна 360°.
Докажем это свойство. Обозначим внутренние углы треугольника через α, β и γ, а смежные с ними внешние углы — через α1, β1 и γ1.
Поскольку внутренний и смежный с ним внешний угол в сумме дают 180°, получаем:
α + α1 = 180°,
β + β1 = 180°,
γ + γ1 = 180°.
Сложим эти равенства:
α + β + γ + α1 + β1 + γ1 = 540°.
При этом сумма внутренних углов треугольника равна 180°:
α + β + γ = 180°.
Следовательно:
α1 + β1 + γ1 = 540° − 180° = 360°.
Таким образом, сумма трех внешних углов треугольника, взятых по одному при каждой вершине, всегда равна 360°.
При этом у треугольника можно построить шесть внешних углов — по два при каждой вершине, как мы выяснили ранее. Поэтому важно различать все возможные внешние углы и три внешних угла, которые используются при вычислении их суммы.
— Когда в задаче говорится о сумме внешних углов треугольника, важно сразу определить, какие именно углы рассматриваются, — рассказывает эксперт. — При каждой вершине можно построить два внешних угла, но для суммы 360° выбирают по одному при каждой вершине.
Задачи и ответы по теме «Внешний угол треугольника»
Закрепить знания о внешних углах треугольника и научиться применять их свойства при вычислениях помогут несколько задач с ответами. Попробуйте сначала решить каждую из них самостоятельно, а затем сравните свое решение с предложенным. Возьмите на заметку совет от нашего эксперта Алексея Смирнова: «В задачах с внешними углами полезно сначала отметить на чертеже только те углы, которые действительно нужны для решения. Лишние продолжения сторон и обозначения часто усложняют рисунок и мешают увидеть нужную связь.
Задача 1
Внешний угол треугольника равен 124°. Найдите смежный с ним внутренний угол.
Решение и ответ к задаче 1
Внешний угол и смежный с ним внутренний угол в сумме равны 180°. Поэтому:
180° − 124° = 56°.
Ответ: 56°
Задача 2
Два внутренних угла треугольника равны 47° и 68°. Найдите внешний угол, не смежный с этими углами.
Решение и ответ к задаче 2
По теореме внешний угол треугольника равен сумме двух внутренних углов, не смежных с ним:
47° + 68° = 115°.
Ответ: 115°
Задача 3
Один из внутренних углов треугольника в два раза больше другого. Внешний угол при третьей вершине равен 135°. Найдите два внутренних угла, не смежных с внешним.
Решение и ответ к задаче 3
Пусть меньший внутренний угол равен x. Тогда второй внутренний угол равен 2x.
По теореме внешний угол равен сумме двух внутренних углов треугольника, не смежных с ним. Составим уравнение:
x + 2x = 135°.
Отсюда:
3x = 135°,
x = 45°.
Найдем второй угол:
2 · 45° = 90°.
Ответ: 45° и 90°
Популярные вопросы и ответы
Отвечает Алексей Смирнов, учитель математики и физики, репетитор по подготовке к ЕГЭ по математике и физике:
Сколько внешних углов имеет треугольник?
При каждой из трех вершин треугольника можно построить два внешних угла. Для этого достаточно продолжить за вершину одну или другую сторону, образующую внутренний угол. Поэтому всего у треугольника можно построить шесть внешних углов, по два при каждой вершине.
При одной вершине эти два внешних угла являются вертикальными, поэтому их величины равны. Именно поэтому при изучении свойств треугольника обычно рассматривают по одному внешнему углу при каждой вершине.
Когда говорят, что сумма внешних углов треугольника равна 360°, имеются в виду именно три внешних угла, по одному при каждой вершине.
При одной вершине эти два внешних угла являются вертикальными, поэтому их величины равны. Именно поэтому при изучении свойств треугольника обычно рассматривают по одному внешнему углу при каждой вершине.
Когда говорят, что сумма внешних углов треугольника равна 360°, имеются в виду именно три внешних угла, по одному при каждой вершине.
Может ли внешний угол треугольника быть острым, прямым или тупым?
Да. Величина внешнего угла зависит от величины смежного с ним внутреннего угла: β = 180° − α.
Если внутренний угол тупой, внешний будет острым. Если внутренний угол прямой, внешний также будет прямым. Если внутренний угол острый, внешний окажется тупым.
Например, внутреннему углу 120° соответствует внешний угол 60°, внутреннему углу 90° — внешний 90°, а внутреннему углу 40° — внешний 140°.
При этом развернутым или равным 0° внешний угол треугольника быть не может, поскольку каждый его внутренний угол больше 0° и меньше 180°.
Если внутренний угол тупой, внешний будет острым. Если внутренний угол прямой, внешний также будет прямым. Если внутренний угол острый, внешний окажется тупым.
Например, внутреннему углу 120° соответствует внешний угол 60°, внутреннему углу 90° — внешний 90°, а внутреннему углу 40° — внешний 140°.
При этом развернутым или равным 0° внешний угол треугольника быть не может, поскольку каждый его внутренний угол больше 0° и меньше 180°.
Почему тему по геометрии «Внешний угол треугольника» изучают в 7 классе?
В 7 классе школьники начинают систематически изучать свойства треугольников и переходят от отдельных понятий об углах к их взаимосвязям. К этому моменту уже известны смежные углы и теорема о сумме углов треугольника, поэтому на их основе можно доказать новое утверждение — теорему о внешнем угле.
Тема также показывает, как из нескольких уже известных геометрических фактов получить новый. В дальнейшем такие рассуждения постоянно используются при доказательстве теорем и решении задач с треугольниками и другими многоугольниками.
Согласно федеральной рабочей программе по математике, внешний угол треугольника и его свойства изучают в курсе геометрии 7 класса.2
Тема также показывает, как из нескольких уже известных геометрических фактов получить новый. В дальнейшем такие рассуждения постоянно используются при доказательстве теорем и решении задач с треугольниками и другими многоугольниками.
Согласно федеральной рабочей программе по математике, внешний угол треугольника и его свойства изучают в курсе геометрии 7 класса.2
В каких заданиях ОГЭ и ЕГЭ по геометрии встречается внешний угол треугольника?
Свойства внешнего угла треугольника могут понадобиться при решении различных задач по планиметрии. Чаще всего они используются для нахождения неизвестных углов в треугольниках, а также в задачах с параллельными прямыми, четырехугольниками и другими геометрическими фигурами.
При этом отдельный вопрос именно на определение внешнего угла встречается не обязательно. Обычно теорема о внешнем угле становится одним из промежуточных шагов решения. С ее помощью можно выразить или найти неизвестный угол, а затем использовать полученный результат для дальнейших вычислений или доказательства. Поэтому при подготовке к ОГЭ и ЕГЭ важно не только знать формулировку теоремы, но и уметь распознавать внешний угол на чертеже и видеть его связь с внутренними углами треугольника.
Подобные задания и материалы для подготовки к экзаменам представлены на сайте ФИПИ.3
При этом отдельный вопрос именно на определение внешнего угла встречается не обязательно. Обычно теорема о внешнем угле становится одним из промежуточных шагов решения. С ее помощью можно выразить или найти неизвестный угол, а затем использовать полученный результат для дальнейших вычислений или доказательства. Поэтому при подготовке к ОГЭ и ЕГЭ важно не только знать формулировку теоремы, но и уметь распознавать внешний угол на чертеже и видеть его связь с внутренними углами треугольника.
Подобные задания и материалы для подготовки к экзаменам представлены на сайте ФИПИ.3
5 тем по геометрии, которые помогут продолжить изучение треугольников
- Биссектриса треугольника: как она делит угол треугольника и какими свойствами обладает
- Высота треугольника: как строится высота и почему она образует прямой угол со стороной
- Подобные треугольники: как связаны соответствующие углы и стороны подобных треугольников
- Прямоугольный треугольник: какими свойствами обладает треугольник с прямым углом
- Равнобедренный треугольник: как связаны углы при основании и стороны треугольника
Источники
Материал подготовлен в соответствии с официальными документами и рекомендациями.
1. Министерство просвещения России. Федеральный перечень учебников. URL: https://fpu.edu.ru/
- Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б. «Геометрия. 7-9 классы. Базовый уровень»
- Мерзляк А.Г., Полонский В.Б., Якир М.С. «Математика. Геометрия. 7 класс. Базовый уровень»
- Смирнов В.А., Смирнова И.М. «Геометрия. 7 класс»
2. Министерство просвещения России. Федеральная рабочая программа по учебному предмету «Математика». URL: https://static.edsoo.ru/projects/fop/index.html#/sections/200215
3. Федеральный институт педагогических измерений. Открытый банк заданий ОГЭ и ЕГЭ по математике, демоверсии, методические рекомендации для учителей. URL: https://fipi.ru/
