Иррациональные уравнения

Вы уже умеете решать линейные, квадратные, дробно-рациональные уравнения и другие — теперь пора перейти к еще одному важному типу задач. Иррациональные уравнения требуют особой аккуратности, потому что в них переменная находится под знаком корня, а значит, при преобразованиях легко получить посторонние решения.

Главная сложность таких уравнений заключается в том, что недостаточно просто выполнить алгебраические действия и найти корни. Нужно учитывать ограничения, связанные со знаком подкоренного выражения, и внимательно проверять, какие значения действительно подходят. В этой теме вместе с преподавателем математики Вероникой Бороздиной мы разберем основные виды иррациональных уравнений, рассмотрим алгоритмы их решения и закрепим материал на примерах и задачах.

Что такое иррациональные уравнения в алгебре

Иррациональные уравнения — это уравнения, содержащие выражения с переменной под знаком корня. Проще говоря, в таких уравнениях неизвестная величина находится под знаком корня, поэтому для их решения требуется выполнять специальные преобразования.

Существует несколько типов иррациональных уравнений, которые различаются по своему виду и способу решения. К основным из них относятся:

• уравнения вида $\sqrt{f(x)}$= a , где под корнем находится выражение с переменной, а с другой стороны равенства стоит число;
• уравнения вида $\sqrt{f(x)}$= g(x) , где корень приравнивается к выражению с переменной;
• уравнения вида $\sqrt{f(x)}$= $\sqrt{g(x)}$, где корни стоят в обеих частях уравнения;
• уравнения вида $\sqrt{f(x)}$ + $\sqrt{g(x)}$ = a , где сумма корней равна числу.

Например, иррациональными являются такие уравнения:

$\sqrt{x + 5}$= 3

$\sqrt{2x — 1}$= x

$\sqrt{x + 4}$+ $\sqrt{x — 1}$= 5

Способы решения каждого из этих видов мы подробно рассмотрим ниже.

Главная особенность таких уравнений состоит в том, что при их решении необходимо учитывать область допустимых значений. Подкоренное выражение не может быть отрицательным, поэтому не каждое найденное значение переменной будет подходить.

Кроме того, при возведении обеих частей уравнения в квадрат могут появляться посторонние корни. Поэтому при решении иррациональных уравнений важно не только выполнить преобразования, но и проверить полученные ответы.

Такое понимание темы закреплено в школьных учебниках, входящих в федеральный перечень учебников¹.

Полезная информация об иррациональных уравнениях

Чтобы легче ориентироваться в теме и не путаться при решении задач, удобно держать под рукой краткую таблицу-шпаргалку. В ней собраны основные правила, которые важно помнить при работе с иррациональными уравнениями.

Алгоритмы решения разных видов иррациональных уравнений

Иррациональные уравнения можно решать разными способами в зависимости от их вида. В одних случаях достаточно изолировать корень и возвести обе части уравнения в квадрат один раз, в других приходится делать это несколько раз или сначала выполнять дополнительные преобразования.

Ниже рассмотрим основные типы иррациональных уравнений, которые чаще всего встречаются в школьном курсе алгебры и на экзаменах.

Уравнения вида √f(x) = a

Это самый простой тип иррациональных уравнений. В правой части стоит число, поэтому решение обычно сводится к проверке условий и последующему возведению в квадрат.

Алгоритм решения

1. Проверить условие a ≥ 0, так как арифметический квадратный корень не может быть отрицательным. Если a < 0, то уравнение не имеет решений.
2. Найти ОДЗ: f(x) ≥ 0.
3. Возвести обе части уравнения в квадрат.
4. Решить полученное уравнение.
5. Сопоставить найденные корни с ОДЗ.

Пример

Решим уравнение: $\sqrt{2x — 3}$= 5
Так как 5 > 0, уравнение имеет решение.
Найдем ОДЗ: 2x — 3 ≥ 0 → x ≥ 1,5
Возведем обе части уравнения в квадрат:
2x — 3 = 25
2x = 28
x = 14
Значение x = 14 удовлетворяет ОДЗ.

Ответ: 14

Уравнения вида √f(x) = g(x)

Это более сложный тип иррациональных уравнений. В правой части стоит выражение с переменной, поэтому необходимо учитывать дополнительные ограничения.

Алгоритм решения

1. Найти ОДЗ: f(x) ≥ 0.
2. Учесть дополнительное условие: g(x) ≥ 0, так как квадратный корень не может быть отрицательным.
3. Возвести обе части уравнения в квадрат.
4. Решить полученное уравнение.
5. Сопоставить найденные корни с ОДЗ и дополнительным условием.

Пример

Решим уравнение: $\sqrt{x + 2}$= x
Найдем ОДЗ: x + 2 ≥ 0 → x ≥ -2
Дополнительное условие: x ≥ 0
Возведем обе части уравнения в квадрат:
x + 2 = x²
x² — x — 2 = 0
x₁ = -1, x₂ = 2
Сопоставим найденные корни с ОДЗ и условием: подходит только x = 2.

Ответ: 2

это интересно

Свойства степеней

Повторим свойства степеней с натуральным и рациональным показателями

Подробнее

Уравнения вида √f(x) = √g(x)

В этом случае корни находятся в обеих частях уравнения. После возведения в квадрат получим равенство подкоренных выражений.

Алгоритм решения

1. Найти ОДЗ: f(x) ≥ 0 и g(x) ≥ 0.
2. Возвести обе части уравнения в квадрат.
3. Решить полученное уравнение.
4. Сопоставить найденные корни с ОДЗ.

Пример

Решим уравнение: $\sqrt{x + 7}$ = $\sqrt{3x — 1}$
Найдем ОДЗ: 
x + 7 ≥ 0 → x ≥ -7
3x — 1 ≥ 0 → x ≥ ⅓
Общее ОДЗ: x ≥ ⅓
Возведем обе части уравнения в квадрат:
x + 7 = 3x — 1
2x = 8
x = 4
Значение x = 4 удовлетворяет ОДЗ.

Ответ: 4

Уравнения вида √f(x) + √g(x) = a

Такие уравнения требуют поэтапного решения и, как правило, более аккуратных преобразований. Обычно приходится дважды возводить уравнение в квадрат.

Алгоритм решения

1. Найти ОДЗ: f(x) ≥ 0, g(x) ≥ 0.
2. Перенести один корень в другую часть уравнения.
3. Возвести обе части уравнения в квадрат.
4. При необходимости повторить возведение в квадрат, предварительно упростив выражение.
5. Решить полученное уравнение.
6. Сопоставить найденные корни с ОДЗ.

Пример

Решим уравнение: $\sqrt{x + 1}$+ $\sqrt{x — 3}$= 4
Найдем ОДЗ:
x + 1 ≥ 0 → x ≥ -1
x — 3 ≥ 0 → x ≥ 3
Общее ОДЗ: x ≥ 3
Перенесем один корень:

$\sqrt{x + 1}$= 4 — $\sqrt{x — 3}$

Возведем обе части уравнения в квадрат:

x + 1 = 16 — 8 $\sqrt{x — 3}$+ x -3
1 = 13 — 8 $\sqrt{x — 3}$
8 $\sqrt{x — 3}$= 12
$\sqrt{x — 3}$= ³/₂

Снова возведем обе части уравнения в квадрат:

x — 3 = ⁹/₄
x = ²¹/₄ = 5,25
Значение x = 5,25 удовлетворяет ОДЗ.

Ответ: 5,25

Уравнения, решаемые с помощью замены переменной

Некоторые иррациональные уравнения удобно решать с помощью замены переменной. Это особенно полезно, когда в уравнении встречаются одинаковые выражения под корнем разных степеней. В этом случае уравнение можно свести к более простому, например квадратному.

Алгоритм решения

1. Найти ОДЗ исходного уравнения.
2. Ввести новую переменную, например, t, обозначив один из корней.
3. Выразить остальные корни через введенную переменную.
4. Записать уравнение через новую переменную.
5. Решить полученное уравнение.
6. Выполнить обратную замену, вернувшись к исходной переменной.
7. Сопоставить найденные корни с ОДЗ.

Пример

Решим уравнение:

Найдем ОДЗ: x ≥ 0 (так как присутствует корень четной степени)

Введем новую переменную:

Тогда:

Подставим замену в исходное уравнение:

2t² + 5t — 3 = 0

t₁ = ½, t₂ = -3

Так как

то значение t = -3 не подходит. Остается t = ¹/₂.

Выполним обратную замену:

Значение x = ¹/₆₄ удовлетворяет ОДЗ.

Ответ: ¹/₆₄

Алгоритмы решения всех уравнений соответствуют содержанию федеральной рабочей программы по математике².

Задачи и ответы по теме «Иррациональные уравнения»

Теперь применим полученные знания на практике. Ниже приведены задачи разного уровня сложности, которые помогут закрепить основные алгоритмы решения иррациональных уравнений, научиться учитывать ОДЗ и вовремя замечать посторонние корни.

Задача 1

Решите уравнение: $\sqrt{x + 9}$= 4

Задача 2

Решите уравнение: $\sqrt{2x — 3}$= x — 2

Задача 3

Решите уравнение: $\sqrt{x + 8}$= $\sqrt{2x + 3}$

Задача 4

Решите уравнение: $\sqrt{x + 4}$ + $\sqrt{x — 5}$= 5

Задача 5

Решите уравнение:

Решение и ответ к задаче 5

Найдем ОДЗ: x ≥ 0

Внесем x под знак корня четвертой степени:

Тогда уравнение примет вид:

Введем новую переменную:

Тогда:

Подставим замену в исходное уравнение:

t² + 2t — 3 = 0

t₁ = -3, t₂ = 1

Так как

то значение t = -3 не подходит. Остается t = 1.

Выполним обратную замену:

x⁵ = 1

x = 1

Значение x = 1 удовлетворяет ОДЗ.

Ответ: 1 

Популярные вопросы и ответы

Отвечает Вероника Бороздина, старший преподаватель математики Домашней школы «ИнтернетУрок»:

5 типов уравнений и неравенств, которые важно уметь решать

1. Линейные уравнения: как находить неизвестную с помощью простых преобразований
2. Кубические уравнения: как решать уравнения третьей степени и находить корни
3. Рациональные неравенства: как применять метод интервалов
4. Показательные неравенства: как сравнивать степени и работать с показательной функцией
5. Логарифмические неравенства: как решать неравенства с логарифмами и учитывать ограничения

Источники

Материал подготовлен на основании официальных документов и рекомендаций:

1. Министерство просвещения России. Федеральный перечень учебников. URL: https://fpu.edu.ru/ 

• Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И., Суворова С.Б. «Алгебра. 9 класс»
• Мерзляк А.Г., Полонский В.Б., Якир М.С. «Алгебра. 9 класс»
• Алимов Ш.А., Колягин Ю.М., Ткачева М.В. и др. «Алгебра и начала математического анализа. 10-11 классы. Базовый и углубленный уровни»
• Никольский С.М., Потапов М.К., Решетников Н.Н. «Алгебра и начала математического анализа. 10-11 классы»

2. Министерство просвещения России. Федеральная рабочая программа по учебному предмету «Математика». URL: https://static.edsoo.ru/projects/fop/index.html#/sections/200215
3. Федеральный институт педагогических измерений. Открытый банк заданий ОГЭ и ЕГЭ по математике. Методические рекомендации для учителей. URL: https://fipi.ru/