Квадрат: свойства, признаки и формулы

Квадрат кажется одной из самых простых геометрических фигур: четыре равные стороны и четыре прямых угла. Однако за этим определением скрывается целая система свойств. Квадрат одновременно относится к параллелограммам, прямоугольникам и ромбам, поэтому объединяет особенности сразу нескольких четырехугольников.

Благодаря такой структуре квадрат часто встречается в задачах на стороны, углы, диагонали, периметр и площадь. Вместе с репетитором по математике Артемом Островским разберем, как распознать квадрат, какими свойствами он обладает и где эта фигура встречается на экзаменах.

Что такое квадрат в геометрии

Прежде всего, квадрат — это четырехугольник. Однако в геометрии квадрат интересен тем, что его можно определить сразу через несколько уже известных фигур. Все эти определения равнозначны и описывают одну и ту же геометрическую фигуру.

Квадрат — это параллелограмм, у которого все стороны равны, а все углы прямые.

Поскольку прямоугольник и ромб являются частными случаями параллелограмма, квадрат можно определить и через них. Квадрат — это прямоугольник, у которого все стороны равны. Квадрат — это ромб, у которого все углы прямые.

Это означает, что если ABCD — квадрат, то AB = BC = CD = AD, ∠A = ∠B = ∠C = ∠D = 90°.

Квадрат относится к числу наиболее важных четырехугольников и часто встречается в задачах по планиметрии.

Определение квадрата, его свойства и признаки рассматриваются в учебниках геометрии, входящих в Федеральный перечень учебников.¹

Полезная информация о квадрате

Чтобы быстро повторить основные свойства квадрата и не запутаться при решении задач, удобно пользоваться краткой сводкой ключевых фактов. В таблице ниже собраны основные сведения об этой геометрической фигуре.

Связь квадрата с другими четырехугольниками

Квадрат занимает особое место среди четырехугольников. Он одновременно является параллелограммом, прямоугольником и ромбом, поэтому объединяет свойства сразу всех этих фигур. Такая связь позволяет применять к квадрату свойства каждого из этих четырехугольников и использовать разные способы решения задач на стороны, углы, диагонали, периметр и площадь.

Связь квадрата с параллелограммом

Любой квадрат является параллелограммом, но не каждый параллелограмм является квадратом.

Напомним, что параллелограммом называют четырехугольник, у которого противоположные стороны попарно параллельны. Квадрат полностью удовлетворяет этому определению, поскольку его противоположные стороны также параллельны. Поэтому квадрат наследует все свойства параллелограмма.

Связь квадрата с прямоугольником

Любой квадрат является прямоугольником, но не каждый прямоугольник является квадратом.

Прямоугольником называют параллелограмм, у которого все углы прямые. Поскольку все углы квадрата равны 90°, он полностью соответствует этому определению. Благодаря этому квадрат обладает всеми свойствами прямоугольника.

Связь квадрата с ромбом

Любой квадрат является ромбом, но не каждый ромб является квадратом.

Ромбом называют параллелограмм, у которого все стороны равны. Это условие полностью выполняется и для квадрата. Поэтому квадрат наследует свойства ромба.

Свойства квадрата

Квадрат обладает всеми свойствами параллелограмма, прямоугольника и ромба, а также сочетает их дополнительные особенности. Эти свойства помогают находить стороны, углы, диагонали, периметр и площадь, а также используются при решении задач на доказательство.

Противоположные стороны квадрата параллельны

Если ABCD — квадрат, то AB || CD и BC || AD.

Это свойство квадрат наследует от параллелограмма. Благодаря параллельности противоположных сторон многие задачи на углы и доказательства можно решать с использованием свойств параллельных прямых.

Диагонали квадрата равны

Если ABCD — квадрат, то AC = BD.

Это свойство квадрат перенимает от прямоугольника и позволяет находить длину одной диагонали по известной длине другой, а также используется при доказательстве равенства треугольников.

Диагонали квадрата взаимно перпендикулярны

Если ABCD — квадрат, то AC ⊥ BD.

Это свойство квадрат получает от ромба. Перпендикулярность диагоналей позволяет находить углы и использовать прямоугольные треугольники при решении задач.

Диагонали квадрата пересекаются и точкой пересечения делятся пополам

Если ABCD — квадрат, а диагонали AC и BD пересекаются в точке O, то AO = OC, BO = OD.

Так как диагонали при этом равны, то AO = BO = CO = DO.

Свойство деления диагоналей пополам квадрат наследует от параллелограмма. Поскольку квадрат также является прямоугольником, его диагонали равны, поэтому точка их пересечения равноудалена от всех четырех вершин.

Диагонали квадрата являются биссектрисами его углов

Если ABCD — квадрат, то диагонали AC и BD делят углы квадрата пополам. Например, ∠BAC = ∠CAD = 45°.

Это свойство квадрат получает от ромба. Оно часто используется при нахождении углов и доказательстве геометрических утверждений.

Диагональ квадрата делит его на два равных равнобедренных прямоугольных треугольника

Если ABCD — квадрат, то диагональ AC делит его на два равных равнобедренных прямоугольных треугольника ABC и CDA, где ∠B = ∠D = 90°, AB = BC и CD = DA.

Аналогичным образом диагональ BD также делит квадрат на два равных равнобедренных прямоугольных треугольника. Если провести обе диагонали, квадрат окажется разделен на четыре равных равнобедренных прямоугольных треугольника.

Это свойство широко используется при вычислении диагонали квадрата, нахождении неизвестных сторон и решении задач с применением теоремы Пифагора.

Кроме геометрических свойств, важно уметь находить основные числовые характеристики квадрата — его периметр, площадь и диагональ.

Периметр квадрата равен сумме длин всех его сторон. Поскольку все четыре стороны квадрата равны, его периметр вычисляется по формуле:

где:

• P — периметр квадрата;
• a — сторона квадрата.

Площадь квадрата равна квадрату длины его стороны:

где:

• S — площадь квадрата;
• a — сторона квадрата.

Площадь квадрата также можно найти через его диагональ:

где:

• S — площадь квадрата;
• d — диагональ квадрата.

Эта формула следует из свойства диагоналей квадрата. Они взаимно перпендикулярны, поэтому площадь квадрата можно вычислить как площадь ромба через произведение диагоналей. Поскольку диагонали квадрата равны, формула принимает данный вид.

Диагональ квадрата выражается через его сторону по формуле:

где:

• d — диагональ квадрата;
• a — сторона квадрата.

Диагональ делит квадрат на два равных равнобедренных прямоугольных треугольника, катеты которых равны стороне квадрата. Теорема Пифагора позволяет связать длину диагонали со стороной квадрата:

d² = a² + a² = 2a², откуда d = a√2.

Если известна диагональ квадрата, его сторону можно найти по формуле:

где:

• a — сторона квадрата;
• d — диагональ квадрата.

Эти формулы позволяют находить стороны, диагональ, периметр и площадь квадрата, а также решать задачи, в которых известна только одна из его основных числовых характеристик.

это интересно

Подобные треугольники

Что такое подобные треугольники, каковы их свойства и признаки подобия

Подробнее

Признаки квадрата

Признаки квадрата помогают определить, является ли четырехугольник квадратом, если известны только некоторые его свойства. Они особенно полезны при решении задач на доказательство.

Первый признак квадрата

Если прямоугольник имеет равные смежные стороны, то он является квадратом.

Поскольку у прямоугольника все углы прямые, а равенство двух соседних сторон означает, что равны все четыре стороны, такой прямоугольник удовлетворяет определению квадрата.

Второй признак квадрата

Если ромб имеет один прямой угол, то он является квадратом.

У ромба все стороны равны. Если хотя бы один его угол равен 90°, то остальные углы также становятся прямыми. Следовательно, такой ромб одновременно обладает свойствами ромба и прямоугольника, а значит, является квадратом.

Третий признак квадрата

Если ромб имеет равные диагонали, то он является квадратом.

Ромб является параллелограммом. Если его диагонали равны, то по признаку прямоугольника такой параллелограмм является прямоугольником. Следовательно, фигура одновременно является ромбом и прямоугольником, а значит, представляет собой квадрат.

Задачи и ответы по теме «Квадрат»

Теперь проверим, насколько хорошо вы усвоили свойства и признаки квадрата. Ниже представлены задачи разного уровня сложности. Сначала попробуйте решить каждую задачу самостоятельно, а затем сверьтесь с подробными решениями.

Задача 1

Сторона квадрата равна 7 см. Найдите его периметр и площадь.

Задача 2

Диагональ квадрата равна 10 см. Найдите его площадь.

Задача 3

В квадрате ABCD диагонали AC и BD пересекаются в точке O. Известно, что AO = 6 см. Найдите длины диагоналей квадрата и его сторону.

Популярные вопросы и ответы

Отвечает Артем Островский, преподаватель курсов программирования и машинного обучения Московского физико-технического института:

5 тем по геометрии, которые будут полезны при изучении четырехугольников

• Периметр прямоугольника: по каким формулам его вычисляют и как находят неизвестные стороны фигуры
• Средняя линия трапеции: какими свойствами обладает средняя линия трапеции и как ее применять в задачах
• Перпендикулярные прямые: как определить и построить перпендикулярные прямые и какими свойствами они обладают
• Площадь параллелограмма: какие формулы используют для вычисления площади фигуры
• Биссектриса треугольника: что такое биссектриса и какими свойствами она обладает

Источники

Материал подготовлен в соответствии с официальными документами и рекомендациями.

1. Министерство просвещения России. Федеральный перечень учебников. URL: https://fpu.edu.ru/ 

• Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б. «Геометрия. 7-9 классы»
• Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б. «Геометрия. 10-11 классы. Базовый и углубленный уровни»
• Мерзляк А.Г., Номировский Д.А., Поляков В.М. «Геометрия. 8 класс»
• Мерзляк А.Г., Номировский Д.А., Поляков В.М. «Геометрия. 9 класс»
• Мерзляк А.Г., Номировский Д.А., Поляков В.М. «Геометрия. 10 класс. Углубленный уровень»
• Мерзляк А.Г., Номировский Д.А., Поляков В.М. «Геометрия. 11 класс. Углубленный уровень»
• Смирнов В.А., Смирнова И.М. «Геометрия. 8 класс»
• Смирнов В.А., Смирнова И.М. «Геометрия. 9 класс»

2. Министерство просвещения России. Федеральная рабочая программа по учебному предмету «Математика». URL: https://static.edsoo.ru/projects/fop/index.html#/sections/200215
3. Федеральный институт педагогических измерений. Открытый банк заданий ОГЭ и ЕГЭ по математике, демоверсии, методические рекомендации для учителей. URL: https://fipi.ru/