Квадратичная функция: что такое, график, построение параболы, коэффициенты, свойства, вершина, ось симметрии, нули функции, задачи с ответами по алгебре для 8-9 класса и подготовки к ОГЭ и ЕГЭ

Вы замечали, что если подбросить мяч вверх, то сначала он летит все выше, а затем достигает пика и начинает падать. Траектория полета напоминает плавную дугу. Именно такую форму описывает математический объект, который мы сегодня будем изучать. Эта дуга — парабола, а ее уравнение — квадратичная функция. Она встречается не только на уроках алгебры, но и в физике при расчетах пути, в архитектуре при проектировании арок, в экономике для моделирования издержек. Вместе с методистом по математике Анной Жадан мы разберемся, как устроена квадратичная функция, научимся строить ее график и узнавать его свойства по формуле, а также поймем, как несколько чисел в уравнении управляют положением и формой этой красивой кривой.

Что такое квадратичная функция в алгебре

Если линейная функция показывает прямую зависимость, то квадратичная функция описывает более сложные процессы, где переменная возведена в квадрат.

Согласно определению из учебников алгебры, входящих в Федеральный перечень¹: квадратичная функция — это функция вида y = ax²+ bx + c, где:

x — независимая переменная (аргумент),
y — зависимая переменная (функция),
a, b, c — действительные числа (коэффициенты), причем a ≠ 0, иначе это будет линейная функция.

Главная особенность квадратичной функции: ее графиком всегда является парабола. Эта кривая линия имеет ось симметрии, вершину и направленные вверх или вниз ветви, поведение которых полностью определяется коэффициентами a, b и c.

Полезная информация о квадратичной функции

Чтобы быстро ориентироваться в ключевых аспектах квадратичной функции и всегда держать под рукой основные свойства, сохраните эту таблицу-шпаргалку.

Квадратичная функция	Описание
Общий вид	y = ax² + bx + c
Переменные	x — независимая переменная (аргумент) y — зависимая переменная (функция)
График	Парабола
Старший коэффициент (a)	Определяет направление ветвей параболы: a > 0 – ветви вверх a < 0 – ветви вниз Также влияет на ширину параболы.
Дискриминант (D)	D = b² — 4ac Определяет количество нулей функции (точек пересечения с осью OX): D > 0 – два пересечения D = 0 – касание (одно пересечение) D < 0 – нет пересечений
Вершина параболы	Точка (x₀; y₀): x₀ = -b/(2a) y₀ = ax₀²+ bx₀ + c. Это точка минимума, если a > 0, или максимума, если a < 0.
Ось симметрии	Вертикальная прямая x = x₀, проходящая через вершину параболы
Свободный член (c)	Ордината точки пересечения с осью OY: (0; c)

График квадратичной функции

Графиком квадратичной функции y = ax² + bx + c является парабола. В отличие от прямой, для построения параболы на координатной плоскости нужно найти координаты не двух, а большего количества точек. Однако зная ее геометрические особенности, можно строить график быстро и точно.

Коэффициенты квадратичной функции

Каждый коэффициент в формуле отвечает за конкретную особенность графика:

Старший коэффициент a показывает направление ветвей параболы. Если a > 0, то ветви направлены вверх, если a < 0, то ветви направлены вниз. Также величина модуля |a| отвечает за ширину параболы. Чем больше |a|, тем уже парабола, а ветви идут круче. Чем меньше |a|, тем шире парабола, а ветви более пологие.

Второй коэффициент b вместе с коэффициентом a влияет на положение оси симметрии и абсциссу вершины параболы.

Свободный член c показывает, где график пересекает ось OY. Это будет точка (0; c).

Вершина параболы

Вершина является самой важной точкой параболы. Это либо самая высокая точка графика, то есть максимум при a < 0, либо самая низкая, то есть минимум при a > 0. Координаты вершины (x₀; y₀) вычисляются по формулам:

x₀ = -b/(2a)

y₀ = ax₀² + bx₀ + c или y₀ = -D/(4a), где D = b² — 4ac

Чтобы найти абсциссу вершины, достаточно коэффициентов a и b. Ординату можно получить двумя способами: подставить абсциссу в формулу функции или воспользоваться формулой с дискриминантом.

Ось симметрии параболы

Парабола симметрична относительно вертикальной прямой, проходящей через ее вершину. Уравнение оси симметрии: x = x₀. Это значит, что если взять две точки на параболе с одинаковыми ординатами (y), то их абсциссы (x) будут симметричны относительно x₀.

Это свойство упрощает построение графика: найдя точки с одной стороны от оси, можно автоматически достроить симметричные им с другой стороны.

Ветви параболы

Направление ветвей параболы зависит только от знака коэффициента a.

Если a > 0, ветви параболы направлены вверх. Функция сначала убывает (до вершины), а затем возрастает. В вершине — наименьшее значение.
Если a < 0, ветви параболы направлены вниз. Функция сначала возрастает (до вершины), а затем убывает. В вершине — наибольшее значение.

Элементы параболы. Изображение: Ирина Соколова

Пошаговая инструкция по построению графика квадратичной функции

Следуйте этому алгоритму, чтобы уверенно строить график любой квадратичной функции.

Запишите формулу функции. Убедитесь, что она приведена к виду y = ax² + bx + c.
Определите направление ветвей параболы. Посмотрите на знак коэффициента a: если a > 0, ветви вверх, если a < 0, ветви вниз. Это сразу задаст общую форму будущей параболы.
Найдите вершину параболы. Вычислите координаты вершины (x₀; y₀) по формулам: x₀ = -b/(2a), y₀ = f(x₀).
Проведите ось симметрии. На координатной плоскости пунктирной линией проведите вертикальную прямую x = x₀.
Найдите дополнительные точки. Выберите несколько значений x справа или слева от оси симметрии, подставьте их в формулу и вычислите соответствующие y. Отметьте полученные точки. Не забывайте про очень удобную точку для построения — пересечение параболы с осью OY. Она находится проще всего. Подставьте x = 0 в формулу функции и получите точку (0; c). Добавьте ее к уже найденным точкам, она пригодится для более точного построения.
Отразите точки. Используя симметрию параболы, перенесите найденные точки на другую сторону оси. Для этого отложите такие же расстояния от оси в противоположном направлении и отметьте точки с теми же ординатами.
Проведите параболу. Соедините все отмеченные точки плавной линией. Продолжите ее за крайние точки, чтобы подчеркнуть, что график функции бесконечен.
Подпишите график его уравнением.

Примеры построения графика квадратичной функции

Рассмотрим несколько примеров, которые помогут закрепить алгоритм на практике и увидеть, как ведут себя параболы в разных ситуациях.

Пример

Построим график функции y = x² — 4x + 3.

1. Функция квадратичная, соответственно, графиком будет парабола.

2. Коэффициент a = 1 > 0 → ветви параболы направлены вверх.

3. Вершина параболы: x₀ = -(-4)/(2×1) = 2, y₀ = 2² — 4×2 + 3 = -1. Вершина имеет координаты (2; -1).

4. Проводим пунктиром ось симметрии: x = 2.

5. Для построения точек слева от оси симметрии возьмем значения x = 0 и x = 1:

x = 0 → y = 0² — 4×0 + 3 = 3 → (0; 3)

x = 1 → y = 1² — 4×1 + 3 = 0 → (1; 0)

6. Отражаем найденные точки относительно оси симметрии x = 2.

Точка (0; 3) находится слева от оси на расстоянии 2 единицы. Справа на таком же расстоянии будет точка с координатой x = 4. Ордината остается неизменной. Получаем точку (4; 3).

Точка (1; 0) находится слева от оси на расстоянии 1 единица. Справа на таком же расстоянии будет точка с координатой x = 3. Ордината остается неизменной. Получаем точку (3; 0).

7. Когда все точки отмечены на координатной плоскости, соединяем их плавной линией, образующей параболу. Концы параболы выводим за пределы крайних точек, чтобы показать, что ветви бесконечно поднимаются вверх.

8. Подписываем график: y = x² — 4x + 3.

График функции y = x² — 4x + 3. Изображение: Ирина Соколова

Пример

Построим график функции y = -2x² + 4.

1. Функция квадратичная, соответственно, графиком будет парабола.

2. Коэффициент a = -2 < 0 → ветви параболы направлены вниз.

3. Вершина параболы: x₀ = 0/(2×(-2)) = 0, y₀ = -2×0² + 4 = 4. Вершина имеет координаты (0; 4).

4. Ось симметрии: x = 0.

5. Для построения точек справа от оси симметрии возьмем значения x = 1 и x = 2:

x = 1 → y = -2×1² + 4 = 2 → (1; 2)

x = 2 → y = -2×2² + 4 = -4 → (2; -4)

6. Отражаем найденные точки относительно оси симметрии x = 0.

Точка (1; 2) находится справа от оси на расстоянии 1 единица. Слева на таком же расстоянии будет точка с координатой x = -1. Ордината остается неизменной. Получаем точку (-1; 2).

Точка (2; -4) находится справа от оси на расстоянии 2 единицы. Слева на таком же расстоянии будет точка с координатой x = -2. Ордината остается неизменной. Получаем точку (-2; -4).

8. Подписываем график: y = -2x² + 4.

График функции y = -2x² + 4. Изображение: Ирина Соколова

Свойства квадратичной функции

Любая функция характеризуется набором свойств. Зная формулу квадратичной функции, можно сразу, даже без построения графика, описать все ее ключевые особенности.

Область определения и область значений

Область определения (D) — это все значения, которые может принимать независимая переменная x. Для квадратичной функции аргумент x может быть любым числом.

D(y) = R (все действительные числа)

Область значений (E) — это все значения, которые может принимать зависимая переменная y. Для квадратичной функции она зависит от направления ветвей и вершины.

E(y) = [y₀; +∞), если а > 0

E(y) = (-∞; y₀], если a < 0

Нули функции

Нули функции — это значения аргумента x, при которых значение функции y равно нулю. Геометрически это точки пересечения графика с осью OX, поскольку на этой оси y = 0.

Чтобы найти нули квадратичной функции, нужно решить квадратное уравнение ax² + bx + c = 0. Количество корней этого уравнения зависит от дискриминанта D = b² — 4ac.

D > 0 — два различных корня, значит, два нуля функции. Парабола пересекает ось OX в двух точках.
D = 0 — один корень (два совпадающих), значит, один нуль функции. Вершина параболы лежит на оси OX, график касается оси.
D < 0 — действительных корней нет, значит, нет нулей функции. Парабола не пересекает ось OX, она либо целиком выше, либо полностью ниже нее.

это интересно

Квадратные неравенства

Узнаем, как решать квадратные неравенства, используя свойства параболы

Подробнее

Монотонность

Монотонность — это характеристика того, как функция ведет себя при изменении аргумента, возрастает она или убывает. Функция называется возрастающей, если большему значению x соответствует большее значение y. Функция называется убывающей, если большему x соответствует меньшее y.

Для квадратичной функции характер монотонности меняется в вершине параболы.

Если a > 0 (ветви вверх), то функция убывает на промежутке (-∞; x₀], а на промежутке [x₀; +∞) возрастает. При этом в точке x₀ достигается минимум функции.
Если a < 0 (ветви вниз), то функция возрастает на промежутке (-∞; x₀], а на промежутке [x₀; +∞) убывает. При этом в точке x₀ достигается максимум функции.

Наибольшее и наименьшее значение

Говоря о наибольшем или наименьшем значении функции, мы отвечаем на вопрос: какое самое большое или самое маленькое значение y может принимать функция?

Для квадратичной функции ответ зависит от направления ветвей.

Если a > 0 (ветви вверх), функция имеет наименьшее значение. Оно достигается в вершине параболы и равно y₀. Наибольшего значения у такой функции нет, так как ветви уходят в бесконечность.
Если a < 0 (ветви вниз), функция имеет наибольшее значение. Оно также достигается в вершине и равно y₀. Наименьшего значения в этом случае не существует.

Обратите внимание: если функция рассматривается не на всей числовой прямой, а только на заданном отрезке, наибольшее и наименьшее значения могут находиться не только в вершине, но и на концах этого отрезка.

Преобразование графиков квадратичной функции

Простейшей квадратичной функцией является y = x². Ее график — парабола с вершиной в начале координат (0; 0), ветви направлены вверх. Зная, как преобразуется этот график, можно легко строить любые параболы, не выполняя каждый раз полный расчет по алгоритму.

Метод выделения полного квадрата

Любую квадратичную функцию y = ax² + bx + c можно привести к виду, из которого сразу видны координаты вершины. Для этого используют метод выделения полного квадрата. В результате получается выражение:

y = a(x – x₀)² + y_0,

где x₀ и y₀ — уже знакомые нам координаты вершины параболы.

Пример

Покажем это на конкретном примере. Возьмем функцию y = 2x² – 8x + 5.

Вынесем коэффициент a за скобки из первых двух слагаемых:
y = 2(x² – 4x) + 5
Внутри скобок выделим полный квадрат. Для этого к выражению x² – 4x добавим и вычтем 4:
x² – 4x = (x² – 4x + 4) – 4 = (x – 2)² – 4
Подставим обратно:
y = 2((x – 2)² – 4) + 5 = 2(x – 2)² – 8 + 5 = 2(x – 2)² – 3

Получили выражение y = 2(x – 2)² – 3. Здесь x₀ = 2, y₀ = –3 — координаты вершины, а a = 2 показывает, что парабола растянута относительно y = x².

В такой записи сразу понятно, как получить график данной функции из графика y = x² с помощью двух типов преобразований: параллельного переноса и растяжения или сжатия.

Параллельный перенос параболы

Параллельный перенос — это смещение графика вдоль осей координат без изменения его формы. Координаты вершины x₀ и y₀ как раз показывают величину этого смещения.

Если функция имеет вид y = (x – x₀)², ее график получается из y = x² сдвигом вдоль оси OX: вправо при x₀ > 0, влево при x₀ < 0.
Если функция имеет вид y = x² + y₀, график сдвигается вдоль оси OY: вверх при y₀ > 0, вниз при y₀ < 0.

График функции y = (x – x₀)² + y₀ — это результат двух последовательных сдвигов. Его вершина находится в точке (x₀; y₀).

Пример

Рассмотрим функцию y = (x – 2)² – 3, которую мы получили в предыдущем разделе (без учета коэффициента a).

Выражение (x – 2)² означает сдвиг вдоль оси OX на 2 единицы вправо (x₀ = 2).

Выражение (x – 2)² – 3 означает дополнительный сдвиг вдоль оси OY на 3 единицы вниз (y₀ = –3).

Соответственно, чтобы получить график y = (x – 2)² – 3 из графика y = x², нужно:

сдвинуть параболу вправо на 2 единицы;
сдвинуть ее вниз на 3 единицы.

Вершина перемещается из точки (0; 0) в точку (2; –3).

Параллельный перенос параболы. Изображение: Ирина Соколова

Растяжение и сжатие графика

Коэффициент a перед скобкой в выражении y = a(x – x₀)² + y₀ отвечает за растяжение или сжатие параболы.

Если |a| > 1, график растягивается в вертикальном направлении. Из-за этого парабола становится уже, а ветви идут круче.
Если 0 < |a| < 1, график сжимается в вертикальном направлении. Из-за этого парабола становится шире, а ветви идут более полого.
Если a < 0, дополнительно происходит отражение параболы относительно оси OX и ветви направлены вниз.

Пример

Вернемся к нашей функции y = 2(x – 2)² – 3. Коэффициент a = 2 показывает, что, помимо сдвигов, парабола подверглась растяжению.

Поскольку |a| = 2 > 1, график растянут в вертикальном направлении. Из-за этого парабола стала уже, а ветви идут круче, чем у y = x².

Так как a > 0, направление ветвей сохраняется — они смотрят вверх.

С учетов всех преобразований итоговый график y = 2(x – 2)² – 3 — это парабола, полученная из y = x² следующим образом:

Растяжение в вертикальном направлении в 2 раза.
Сдвиг вправо на 2 единицы.
Сдвиг вниз на 3 единицы.

Растяжение параболы. Изображение: Ирина Соколова

Задачи и ответы по теме «Квадратичная функция»

Проверим, как вы усвоили материал. Попробуйте решить каждое задание самостоятельно, а затем сверьтесь с подробными решениями. Если какой-то шаг вызывает вопрос, всегда можно вернуться к соответствующему разделу статьи и освежить теорию.

Задача 1

Найдите координаты вершины параболы и определите направление ее ветвей: y = x² — 6x + 5.

Решение и ответ к задаче 1

Коэффициенты функции: a = 1, b = -6, c = 5.

a = 1 > 0 → ветви направлены вверх.

Абсцисса вершины: x₀ = -b/(2a) = -(-6)/(2×1) = 3.

Ордината вершины: y₀ = 3² — 6×3 + 5 = 9 — 18 + 5 = -4.

Ответ: (3; -4), ветви направлены вверх

Задача 2

Не выполняя построения, найдите координаты точек пересечения графика функции y = -x² + 2x + 3 с осями координат.

Решение и ответ к задаче 2

Пересечение с осью OY: x = 0 → y = -0² + 2×0 + 3 = 3 → точка (0; 3).

Пересечение с осью OX: y = 0 → -x² + 2x + 3 = 0 → x₁ = -1, x₂ = 3 → точки (-1; 0) и (3; 0).

Ответ: (0; 3), (-1; 0), (3; 0)

Задача 3

Определите, при каких значениях параметра k вершина параболы y = x² — 4x + k лежит на оси OX.

Решение и ответ к задаче 3

Вершина лежит на оси OX, значит, y₀ = 0.

x₀ = -(-4)/(2×1) = 2

y₀ = 2² — 4×2 + k = 4 — 8 + k = k — 4

Приравниваем к нулю: k — 4 = 0 → k = 4.

Ответ: k = 4

Задача 4

Найдите наибольшее и наименьшее значение функции y = x² — 4x + 3 на отрезке [0; 5].

Решение и ответ к задаче 4

Так как a = 1 > 0, ветви вверх, значит, наименьшее значение находится в вершине, если она входит в отрезок, а наибольшее значение на одном из концов отрезка.

Найдем координаты вершины:

x₀ = -(-4)/(2×1) = 2, входит в отрезок [0; 5]

y₀ = 2² — 4×2 + 3 = 4 — 8 + 3 = -1

Теперь найдем значения функции на концах отрезка:

f(0) = 0² — 4×0 + 3 = 3

f(5) = 5² — 4×5 + 3 = 25 — 20 + 3 = 8

Тогда наименьшее значение функции y_min = -1, а наибольшее y_max = 8.

Ответ: y_min = -1; y_max = 8

Задача 5

Запишите уравнение параболы, полученной из графика y = x² последовательными преобразованиями: сдвиг влево на 4 единицы, сдвиг вверх на 1 единицу, затем сжатие в вертикальном направлении в 2 раза.

Решение и ответ к задаче 5

Выполняем преобразования по порядку:

Сдвиг влево на 4 единицы — заменяем x на (x + 4):
y = (x + 4)²
Сдвиг вверх на 1 единицу — прибавляем 1:
y = (x + 4)² + 1
Сжатие в вертикальном направлении в 2 раза — умножаем функцию на ½ , поскольку сжатие означает уменьшение в 2 раза:
y = ½(x + 4)² + 1

Ответ: y = ½(x + 4)² + 1

Задача 6

Приведите функцию y = 3x² — 12x + 7 к виду y = a(x — x₀)² + y₀ и укажите координаты ее вершины.

Решение и ответ к задаче 6

Вынесем коэффициент a за скобки из первых двух слагаемых: y = 3(x² — 4x) + 7.

Выделим полный квадрат: x² — 4x = (x² — 4x + 4) — 4 = (x — 2)² — 4.

Подставим: y = 3((x — 2)² — 4) + 7 = 3(x — 2)² — 12 + 7 = 3(x — 2)² — 5.

Координаты вершины: (2; -5).

Ответ: y = 3(x — 2)² — 5; (2; -5)

Квадратичная функция

Что такое квадратичная функция в алгебре

Полезная информация о квадратичной функции