Теорема Пифагора

О важности теоремы Пифагора высказался Иоганн Кеплер: «Геометрия обладает двумя великими сокровищами: теоремой Пифагора и делением отрезка в крайнем и среднем отношении; первое можно сравнить с мерой золота, второе назвать драгоценным камнем»

Наталия Юмагулова
Учитель математики
Теорема Пифагора актуальна в заданиях как базового, так и профильного ЕГЭ по математике. За верное решение задач базового уровня дается 1 балл, за задания повышенного уровня начисляется 3 балла. В статье мы рассмотрим доказательство теоремы и решим пару задач по теме. Благодаря качественному изучению этого материала экзаменуемый справится с рядом заданий и получит за них наивысший балл.

Что такое теорема Пифагора

Теорема Пифагора устанавливает соотношение между сторонами прямоугольного треугольника. Изображение: Наталия Юмагулова.
В прямоугольном треугольнике квадрат длины гипотенузы равен сумме квадратов длин катетов.
Важно!

Сторону прямоугольного треугольника, противолежащую прямому углу, называют гипотенузой, а стороны, прилежащие к прямому углу, — катетами. Гипотенуза больше любого из катетов («Геометрия. 8 класс. Учебник», А. Г. Мерзляк).

Формула теоремы Пифагора

c² = a² + b²

Из этой формулы выводятся следующие:

с = √a² + b²

a = √c² - b²

b = √c² - a²

Доказательство теоремы Пифагора

В литературе есть около 400 доказательств
теоремы Пифагора. Изображение:
wikipedia.org
Дано:
△АВС — прямоугольный;
<АСВ = 90⁰.

Доказать:

АВ² = АС² + ВС².
Доказательство:
Проведем высоту СН.

АН, НВ — проекции катетов АС и ВС на гипотенузу. По теореме о метрических соотношениях в прямоугольном треугольнике, квадрат катета равен произведению гипотенузы и проекции этого катета на гипотенузу. Значит,

АС² = АВ × АН; ВС² = АВ × НВ.

Сложим почленно эти равенства:

АС² + ВС² = АВ × АН + АВ × НВ = АВ × (АН + НВ) = АВ ×АВ = АВ².

Что и требовалось доказать.

Задачи на теорему Пифагора

Переходим к решению задач с помощью теоремы Пифагора.
Задача №1. Чертеж: Наталия Юмагулова.
Задача №1
Центр окружности, описанной около треугольника КРH, лежит на стороне КН. Радиус окружности равен 10. Найдите КР, если РН равен 12

Дано:
Описанная окружность с центром в точке О.
О ∈ КН;
R = 10;
РН = 12.

Найти:
КР.
Решение:
Так как окружность описанная, то все вершины треугольника лежат на ней. Следовательно, угол <КРН — вписанный.

По условию задачи центр окружности О ∈ КН, значит, хорда КН является диаметром.

КН = 2R = 2 ✕ 10 = 20.

Вписанный угол <КРН, опирающийся на диаметр, — прямой, значит, треугольник КРН — прямоугольный.

По теореме Пифагора:

КР = КН² - РН²,
КР = 400-144 = √256 = 16

Ответ: КР = 16
Задача №2. Чертеж: Наталия Юмагулова.
Задача №2

Дано:

Пирамида МАВС с высотой МА. Известно, что в основании лежит прямоугольный треугольник с прямым углом С.

Найти:

1) Угол между ребрами МС и ВС. Ответ дайте в градусах.
2) МВ, если МС = 12, ВС = 5.
Решение:
1) Так как по условию задачи МА — высота пирамиды, то МА ⟂ (АВС). АС — проекция наклонной МС на плоскость АВС. Так как АС ⟂ ВС, то, по теореме о трех перпендикулярах, МС ⟂ ВС, следовательно, угол между МС и ВС равен 90° (градусов).

Ответ
: 90°.

2) Так как из пункта 1 МС ⟂ ВС ⇒ треугольник МСВ — прямоугольный ⇒ по теореме Пифагора: МВ = МС² + ВС² ⇒ МВ = 144 + 25 = 169 = 13.

Ответ:
МВ = 13.

Популярные вопросы и ответы

Почему теорему Пифагора изучают на геометрии в 8 классе?

Потому что это необходимый теоретический материал для решения задач с помощью данной теоремы: квадратные уравнения, арифметический квадратный корень, подобие треугольников и другие. Эти темы изучаются именно в 8 классе.

Где и когда возникла теорема Пифагора?

Согласно сирийскому историку Ямвлиху, Пифагора познакомили с учителем математики Фалесом Милетским и его учеником Анаксимандром. После известно, что Пифагор отправился в Египет для продолжения своих исследований, был захвачен во время вторжения Камбиса II из Персии в 525 году до н. э. и доставлен в Вавилон. Пифагор вскоре поселился в Кротоне (ныне Кротон, Италия) и основал школу или, говоря современным языком, монастырь, где все члены дали строгий обет хранить тайну, а все новые математические результаты на протяжении нескольких столетий приписывались его имени. Таким образом, до конца неизвестно первое доказательство теоремы, а также есть некоторые сомнения в том, что сам Пифагор действительно ее доказал. Она была одной из первых теорем, пришедших из древних цивилизаций.

Теорема Пифагора — самый известный математический вклад ученого. Согласно одной из легенд, он был так счастлив, когда решил доказательство, что принес в жертву 100 быков.

Также при изучении вавилонских клинописных табличек и древнекитайских рукописей было установлено, что знаменитая теорема была известна задолго до Пифагора, возможно несколько тысячелетий до него. Так, немецкий математик Кантор выяснил, что равенство 32 + 42 = 52 было известно египтянам около 2300 лет до н. э., еще во времена царя Аменехмета (согласно папирусу 6 619 Берлинского музея). Такой треугольник со сторонами 3, 4, 5 получил название «египетский треугольник». Одни предполагают, что Пифагор дал теореме полноценное доказательство, а другие считают по-другому. Например, доказательство в «Началах Евклида» (Предложение 47), по утверждению Прокла, принадлежит самому Евклиду, а не Пифагору.

Где в жизни можно применить теорему Пифагора?

Широкое применение имеет теорема при решении геометрических задач: нахождении длин, расстояний в прямоугольном треугольнике. Большой спектр применения есть у этой великой теоремы в физике, астрономии, строительстве, архитектуре, литературе.

Как звучит обратная теорема Пифагора?

Если квадрат длины одной стороны треугольника равен сумме квадратов длин двух других сторон, то треугольник является прямоугольным.
Фото на обложке: Liza Summer, pixals.com

Комментарии для сайта Cackle