Премия Рунета-2020
Россия
Москва
-3°
Boom metrics
Наука3 ноября 2023 13:00

Как запрещенное в математике действие открывает человеку тайны пустоты и бесконечности: Вся правда о делении на нуль

Рассказываем о самом скандальном математическом действии
Долой вековой гнет искусственных правил

Долой вековой гнет искусственных правил

Фото: Shutterstock

Народ в тревоге и в надеждах: делить на нуль можно! Получится – бесконечность. Даром преподаватели на запреты время тратили. Об этом говорят на форумах, пишут в соцсетях. Долой вековой гнет искусственных правил.

А на самом деле? Давайте посмотрим.

ЦИФРА, БЕЗ КОТОРОЙ МОЖНО ЖИТЬ

Ноль нас не удивляет. «У меня ноль конфет», говорит ребенок, и демонстрирует пальцами «дырку от бублика». На самом деле, идея «пустого числа» долго не приходила людям в голову.

Если вы считаете головы баранов, мешки с зерном и прочие реальные вещи, нуль вам не нужен, как и отрицательные числа. У меня нуль баранов – так что ты вообще делаешь на рынке? Ранняя математика так и жила, без нуля.

Нас к пустоте приучила десятичная система счисления. Скажем, мы пишем «десять» вот так: 10. Зачем мы ставим «0» после единицы? Мы хотим показать, что в нашем числе – два разряда. В первом единица, во втором ничего нет. Но ведь десять можно записать – римскими цифрами – и так: Х. Как видим, никакого нуля не требуется. И дальше непринужденно: XI, XII…

Кажется, что производить расчеты римскими цифрами очень сложно. Дело привычки, уверяю вас. В Средние века купцы молниеносно складывали, вычитали, и даже делили и умножали просто пальцами, используя их как костяшки счет. Таким способом, который появился еще в VII веке, можно проводить операции до 10 тысяч. Собственно, слово «диджитальный» (цифровой) происходит от слова «палец» (по-латыни digitus).

Хорошо, а как без нуля записать, например, сто? Римлянин уверенно выводит литеру С. Ой как ловко. Для сотни просто особый знак. Вот только напишем-ка римской системой, скажем, 2023: MMXXIII. Что-то громоздко. Позиционная-то система компактнее.

Позиционную (только не на основе десятки, а на основе 6 – мы до сих пор считаем в часе 60 минут) придумали вавилоняне. Им нужен был ноль. И он у них был. Просто – пропуск (затем, правда, изобрели ему особый значок). Но с нулем операций они не делали.

У майя один знак был для нуля и бесконечности – а про бесконечность нам сегодня еще придется говорить.

НИЧТО ИЛИ НЕЧТО?

Наша идея нуля пришла из Индии: впервые значок «пустоты» используется там в рукописи 876 года. Он и выглядел почти как современный: или точка, или закрашенный кружок. Арабам понравилась идея десятеричного счисления. Вместе с нею они заимствовали и ноль. От арабского «сифр» - ноль - происходит и «цифра», и «шифр».

В Европе познакомились с десятеричной системой через арабов, но полюбилась она не сразу. Признавали, что система хороша для научных расчетов, а вот в повседневной жизни старые, римские правила получше будут. Дело решил трактат математика Сакробоско (1250), написанный в десятеричной системе. Он оказался так хорош, что повсеместно стал пособием для школяров – а те, воспитанные на трактате, уже без нуля себя и не мыслили. Вот только Сакробоско называл диковинную цифру то так, то сяк, а чаще «знак ничего» (figura nihili). Термин nulla (ничто) впервые попадается в рукописи 1484 года, отсюда наш нуль.

В России цифры обозначали как римляне, буквами алфавита, и нуль был не нужен. В 1703 году Леонтий Магницкий публикует «Арифметику», трактат на европейский манер, и отныне это базовый учебник, но там нуль поименован «цифра» (по-арабски) или «ничто». «Цифрой» нуль звали весь XVIII век, и только в XIX-м переняли европейское – современное – слово.

СТРАННЫЕ ДЕЙСТВИЯ

В школе нам говорят, что делить на нуль нельзя. И в этом есть смысл. В самом деле, разделим восемь на два. В итоге получим 4. Теперь четыре помножим на 2, получим 8. Все складно.

Поделим 8 на нуль. И получим, например, число икс. Теперь помножим икс на нуль. И мы не получим 8, а получим нуль. А должны были получить исходное число. Не вышло. Не такого икса. Собственно, математик Джордж Беркли в 1734 году так и написал.

Но давайте поделим нуль на нуль. И получим в результате все тот же икс. Чему равен икс? Иск при умножении на нуль должен давать нуль. Превосходно. Так может, иск равен 1? Один умножить на нуль – нуль. Может. А может, два? Может. Два на нуль – тоже нуль. Вместо икс можно мыслить любое число.

Таким образом, у нас вроде бы все получилось, но результат не определен. В правилах арифметики это значит, что действие не состоялось. Делить на нуль нельзя даже нуль.

ХОРОШО СИДИМ

Но все это формализм какой-то. А что, если вернуться к нашим баранам, с которых начиналась математика – то есть к неким физическим примерам?

За столом сидит 5 человек. У меня 10 печенюшек. Сколько печений получит каждый, если я хочу дать поровну? Ясно, 10 делим на 5, по две. Теперь за столом – один человек. Понятно, что ему достанутся все 10.

А ноль? То есть нет никого за столом. Вопрос не так прост. Ведь, если никто не пришел на мою вечеринку, никто ничего и не получает. Действие не состоялось. И я бы рад поделить печенье на нуль, но мне нет резона это делать.

А давайте иначе. Пусть у меня литровая бутылка сока. И мерный стаканчик на 200 миллилитров. Ясно, что я могу налить пять стаканчиков. Теперь стаканчик – лишь 10 миллилитров. Получилось сто порций. И так, уменьшая размер стаканчика, я наращиваю число порций. А коли у меня в стаканчике – ноль миллилитров? Значит ли это, что я могу сделать бесконечное количество порций?

Хм, формально вроде да. Вот стаканчик, который вмещает одну молекулу сока. Получилось несколько триллионов (условно) порций – по числу молекул в литре. От триллионов до бесконечности вроде бы уже недалеко. Но ведь нулевой стаканчик – это у меня нет стаканчика. И я стою, держу в руках пустоту, и думаю, как мне получить бесконечность. Глупая ситуация.

ДУРНАЯ БЕСКОНЕЧНОСТЬ

И все-таки непонятно. Вот, знаменатель дроби все уменьшается. Значение становится все больше. Делим один на один – это даст 1, один на 0,5 – два, и так далее. Разве при делении на нуль мы не получим бесконечность? И ответ – бесконечность, а делить на нуль можно?

Да, мы получим бесконечность. Но есть неприятный момент.

Возьмем не один, а минус один. И будем делить минус один на все меньшие числа. Мы получим все большие отрицательные числа… и в итоге минус бесконечность, когда поделим на нуль.

Итак, у нас при делении на нуль получается то бесконечность, то минус бесконечность. Ответ опять не определен, как в случае деления нуля на нуль.

Не выходит каменный цветок и по разобранным уже формальным основаниям. Умножим бесконечность на нуль. Очевидно, мы получим нуль. А не то число, которое делили.

В нашей Вселенной – все именно так. Во вселенной Римана – деление на нуль дает именно бесконечность, без неопределенности. Что это за вселенная такая?

РАСШИРЬ СОЗНАНИЕ

Дойдя до этого места, я встал из-за стола и принялся бродить по комнате. Как бы рассказать о сфере Римана простыми словами? А давайте начнем издалека.

Грек Евклид написал: вот, у нас есть точка. И есть прямая. Через эту точку можно провести только одну прямую, параллельную той, первой. Логично? Логично. И Евклид записал это правило в разряд аксиом, а не теорем – то есть посыл, который не требует доказательств.

Тем не менее, уже античные математики решили, что это все-таки не аксиома, а теорема, и ее надо доказать. Но у них ничего не получалось. Наконец в XIX веке поставили вопрос: а что, если пространство… искривлено? Тогда через точку можно провести больше одной параллельной прямой! Так родилась неэвклидова геометрия.

Простой пример – шар. Наша Земля. У нас есть меридианы, они параллельны, и – о чудо – пересекаются на полюсах! Параллели пересекаются. А можно вообразить и иным образом искривленное пространство. Как седло. Как бесконечное количество перетекающих друг в друга седел. А теперь оцифруем такое пространство. Уйдем от геометрии к алгебре. И получим новые правила счисления.

Одной из таких альтернативных вселенных является шар Римана. И в нем бесконечность может быть только положительной. Грубо говоря, когда вы тянете прямую к Южному полюсу (отрицательная зона), вы потом ее же притягиваете к Северному (положительная зона), и у вас получилась одна-единственная, положительная, бесконечность. Если меня сейчас читают профессиональные математики, они бледнеют, седеют и пьют корвалол. Не переживайте так, скажите точнее (и понятнее), если это вообще возможно.

Итак, раз у нас бесконечность одна, положительная, то деление на нуль в самом деле дает бесконечность, а не минус бесконечность. И оно возможно.

КСТАТИ

Живем ли мы в искривленном пространстве?

Пространство может быть искривлено, и даже «пустое»: гравитация искажает пространство-время так, что МКС крутится вокруг Земли, бесконечно словно бы заваливаясь в некую яму. Но Вселенная в целом – она какая? Может, она и есть сфера Римана, и делить на нуль можно? Узнать – проще простого. На плоскости сумма углов треугольника – 180 градусов (на шаре нет). И надо найти треугольник побольше, да и измерить его углы. Последние наблюдения очень далеких галактик дали четкий результат: пространство нашей Вселенная идеально плоское. Можете делить на нуль. Но не у нас.

ЭТО ВАМ НЕ ИГРУШКИ

Заклинаю вас: если учитель поднимет на уроке, и спросит, можно ли делить на нуль, не говорите «да», и сферу Римана даже не приплетайте. Потому что бесконечность – далеко не простая (и не интуитивно понятная) идея, запутаетесь.

Простой вопрос. Скажем, у вас есть отель с бесконечным числом номеров. И к вам прилетает бесконечное число гостей с двух планет. Гостей с планеты А вы селите в четные номера, с планеты Б – в нечетные. В результате у вас получилось две бесконечности. И вопрос. Та бесконечность, в которой живут гости с планеты А – это половина всех ваших номеров? Вроде бы да. А+Б = количеству всего вашего номерного фонда. А очевидно = Б. Но как может одна бесконечность быть половиной другой?

Как вообще можно складывать бесконечности? Бесконечность + бесконечность = бесконечность, как 0+0=0. Вспомним майя, у который для нуля и бесконечности был один значок. Умно!

Хорошо. А чему равна сумма всех натуральных чисел? 1+2+3+4…? Конечно, бесконечности! Нет, она равна минус одной двенадцатой. Доказательство, простое и изящное, вы найдете быстрым гуглом, вот только понять его умом не получится. И это выглядит как чистой воды математический формализм. Написали что-то, сложили, вычли, сложили… Но в физике, когда надо сложить бесконечный ряд натуральных чисел, используют именно этот результат, минус одна двенадцатая. И все работает, все сходится, а физика – это вам не формализм, это реальная жизнь.

Мы с вами всего лишь пальчик окунули в таинственный мир нуля и бесконечности. И нашли, что где-то далеко они соприкасаются. Когда-то нуль понадобился индусам лишь для того, чтобы ловчее записывать числа. Но то, что изобретено как абстракция и для удобства, зажило своей жизнью. Так устроена Вселенная – а может, наш мозг, который познает ее своим, единственно нам доступным, способом.

КСТАТИ

Нуль – четный или нечетный?

Простой ответ – да. Он делится на 2 без остатка (нуль поделить на 2 – нуль), и с обеих сторон окружен нечетными числами (минус один и один). Также есть правило, что разность четных чисел четна, и, например, 6-6=0, значит, нуль четный. Наконец, умножение любого числа на 2 дает четное число, и 2 помножить на нуль дает нуль – и нуль четный. Но что-то людей смущает. Так, опросы студентов и преподавателей в США показали, что около половины опрошенных считают нуль нечетным или «тем и другим одновременно». А логика есть! Шесть минус шесть нуль, но и пять (нечетное число) минус пять – тоже нуль. И все-таки на экзамене надо отвечать, что – четное.