Пропорция в математике: что такое, основное свойство, как решать пропорции, нахождение неизвестного члена, задачи с ответами по математике для 6 класса и подготовки к ОГЭ

Рецепт оладий рассчитан на 2 яйца и 250 мл кефира, а гостей пришло вдвое больше. Сколько кефира понадобится, если взять 4 яйца? Почти каждый сразу ответит, что 500 мл. И мало кто заметит, что в уме он только что составил и решил пропорцию.

С пропорциями мы встречаемся гораздо чаще, чем кажется. По ним пересчитывают рецепты и расход краски для ремонта, определяют расстояние по карте и стоимость товара на развес. Во всех этих случаях достаточно знать три величины, чтобы найти четвертую.

Вместе с экспертом разберемся, что такое пропорция в математике, какое свойство делает ее такой удобной и как шаг за шагом найти любой неизвестный член пропорции.

Что такое пропорция в математике

Чтобы понять, что такое пропорция, сначала вспомним об отношении. Отношением двух чисел называют их частное. Например, отношение 12 к 4 записывают как 12 : 4 или в виде дроби $\frac{12}{4}$ . Оно равно 3 и показывает, во сколько раз первое число больше второго.

Отношение не изменится, если оба его члена умножить или разделить на одно и то же число, не равное нулю. Поэтому отношения, как и дроби, можно сокращать. Например, 12 : 18 = 2 : 3.

Пропорция — это равенство двух отношений. В общем виде пропорцию записывают так:

a : b = c : d или $\frac{a}{b} = \frac{c}{d}$

где a, b, c и d — члены пропорции, причем b ≠ 0 и d ≠ 0.

Читается такая запись как «a относится к b, как c относится к d».

Числа a и d называют крайними членами пропорции, а числа b и c называют средними членами. Названия легко запомнить, если посмотреть на запись a : b = c : d. Числа a и d стоят по краям, b и c оказываются в середине.

Например, равенство 6 : 3 = 10 : 5 является пропорцией, потому что оба отношения равны 2. В ней 6 и 5 являются крайними членами, а 3 и 10 средними.

А вот запись 8 : 2 = 9 : 3 пропорцией не будет. Первое отношение равно 4, второе равно 3, и равенство получается неверным.

Определение пропорции, ее основное свойство и способы нахождения неизвестного члена рассматриваются в учебниках математики, входящих в Федеральный перечень учебников. ¹

Полезная информация о пропорции

Прежде чем решать пропорции, соберем главное о них в одной таблице. К ней удобно возвращаться, если нужно быстро вспомнить, где в пропорции крайние члены, а где средние, и как найти неизвестный член.

Характеристика пропорции	Описание
Определение	Равенство двух отношений
Запись	a : b = c : d или $\frac{a}{b} = \frac{c}{d}$ , где a, b, c и d — члены пропорции, причем b ≠ 0 и d ≠ 0
Крайние члены	a и d
Средние члены	b и c
Основное свойство	a · d = b · c
Неизвестный крайний член	Если x : b = c : d, то x = b · c : d
Неизвестный средний член	Если a : x = c : d, то x = a · d : c

Основное свойство пропорции

Все вычисления с пропорциями держатся на одном правиле. Его называют основным свойством пропорции.

В верной пропорции произведение крайних членов равно произведению средних членов: a · d = b · c.

Проверим на пропорции 6 : 3 = 10 : 5. Произведение крайних членов 6 · 5 = 30, произведение средних членов 3 · 10 = 30. Результаты совпали.

Почему это правило выполняется всегда? Запишем пропорцию в виде равенства дробей:

\frac{a}{b} = \frac{c}{d}.

Умножим обе его части на одно и то же число (b · d). Равенство от этого не нарушится:

\frac{a}{b} \cdot b \cdot d = \frac{c}{d} \cdot b \cdot d.

В левой части сократится b, в правой сократится d. Остается a · d = c · b, то есть произведение крайних членов равно произведению средних.

Верно и обратное утверждение. Если для чисел a, b, c, d, не равных нулю, выполняется равенство a · d = b · c, то из этих чисел можно составить верную пропорцию a : b = c : d.

Благодаря этому свойство помогает быстро проверить, образуют ли два отношения пропорцию. Например, сравним отношения 15 : 6 и 25 : 10. Найдем 15 · 10 = 150 и 6 · 25 = 150. Произведения равны, значит, 15 : 6 = 25 : 10 является верной пропорцией. Оба отношения действительно равны 2,5.

это интересно

Наибольший общий делитель (НОД)

Как найти наибольший общий делитель и использовать его

Подробнее

Пошаговая инструкция по решению пропорций

Решить пропорцию означает найти ее неизвестный член. Обычно его обозначают буквой x. По сути, пропорция с неизвестным представляет собой линейное уравнение, а основное свойство пропорции помогает решить его очень быстро.

Порядок действий всегда одинаковый:

Определите, каким членом пропорции является x: крайним или средним.
Запишите основное свойство пропорции, приравняв произведение крайних членов к произведению средних.
Выразите x и выполните вычисления.
Сделайте проверку, подставив найденное значение в исходную пропорцию.

Разберем отдельно оба случая.

Как найти неизвестный крайний член пропорции

Неизвестный крайний член пропорции равен произведению средних членов, деленному на известный крайний член.

Если x : b = c : d, то x = b · c : d.

Пример 1. Решим пропорцию x : 4 = 15 : 12.

Неизвестное x стоит на месте крайнего члена. По основному свойству пропорции:

x · 12 = 4 · 15,
x · 12 = 60,
x = 60 : 12,
x = 5.

Проверка: 5 : 4 = 1,25 и 15 : 12 = 1,25. Отношения равны, значит, x найден верно.

Ответ: 5

Пример 2. Члены пропорции могут быть и десятичными дробями. Решим пропорцию 2,4 : 3 = 8 : x.

Здесь x занимает место второго крайнего члена:

2,4 · x = 3 · 8,
2,4 · x = 24,
x = 24 : 2,4,
x = 10.

Проверка: 2,4 : 3 = 0,8 и 8 : 10 = 0,8. Отношения равны, значит, x найден верно.

Ответ: 10

Как найти неизвестный средний член пропорции

Неизвестный средний член пропорции равен произведению крайних членов, деленному на известный средний член.

Если a : x = c : d, то x = a · d : c.

Пример 1. Решим пропорцию 18 : x = 6 : 5.

Неизвестное x стоит на месте среднего члена. Приравняем произведения:

x · 6 = 18 · 5,
x · 6 = 90,
x = 90 : 6,
x = 15.

Проверка: 18 : 15 = 1,2 и 6 : 5 = 1,2. Отношения равны, значит, x найден верно.

Ответ: 15

Пример 2. Если членами пропорции оказались обыкновенные дроби, алгоритм остается прежним. Понадобится только умение выполнять деление дробей. Решим пропорцию $\frac{3}{4} : x = \frac{1}{2} : \frac{2}{3}$ .

$\begin{aligned} x \cdot \frac{1}{2} &= \frac{3}{4} \cdot \frac{2}{3},\\ x \cdot \frac{1}{2} &= \frac{1}{2},\\ x &= \frac{1}{2} : \frac{1}{2},\\ x &= 1. \end{aligned}$

Проверка: 3/4 : 1 = 3/4 и 1/2 : 2/3 = 1/2 · 3/2 = 3/4. Отношения равны, значит, x найден верно.

Ответ: 1

Удобно помнить, что в обоих случаях действие одно и то же. Мы перемножаем два известных числа, стоящих «по диагонали» друг от друга в записи $\frac{a}{b} = \frac{c}{d}$ и делим результат на третье известное число.

Пропорция инфографика (1) — Изображение: Александр Морозов / нейросети

Скачать

Задачи и ответы по теме «Пропорция»

Закрепим материал на практике. Попробуйте справиться самостоятельно, а затем сверьтесь с подробным решением.

Задача 1

Решите пропорции:

а) x : 6 = 14 : 21;
б) 2,5 : 7,5 = x : 18.

Решение и ответ к задаче 1

а) Неизвестное является крайним членом пропорции:

x · 21 = 6 · 14,
x · 21 = 84,
x = 84 : 21,
x = 4.

б) Неизвестное является средним членом пропорции:

7,5 · x = 2,5 · 18,
7,5 · x = 45,
x = 45 : 7,5,
x = 6.

Ответ: а) 4; б) 6

Задача 2

Для варенья на 3 кг яблок берут 2 кг сахара. Сколько сахара понадобится на 7,5 кг яблок?

Решение и ответ к задаче 2

Во сколько раз больше берут яблок, во столько же раз больше нужно и сахара. Поэтому отношение массы яблок к массе сахара остается одним и тем же. Обозначим искомую массу сахара через x кг и составим пропорцию:

3 : 2 = 7,5 : x.

По основному свойству пропорции:

3 · x = 2 · 7,5,
3 · x = 15,
x = 5.

Ответ: 5 кг

Задача 3

Масштаб карты 1 : 200 000. Расстояние между двумя поселками на карте равно 4,5 см. Найдите расстояние между поселками на местности в километрах.

Решение и ответ к задаче 3

Масштаб 1 : 200 000 означает, что 1 см на карте соответствует 200 000 см на местности. Обозначим расстояние на местности через x см и составим пропорцию:

1 : 200 000 = 4,5 : x.

Найдем x:

1 · x = 200 000 · 4,5,
x = 900 000.

Получили 900 000 см.

Переведем единицы длины: 900 000 см = 9 000 м = 9 км.

Ответ: 9 км

Популярные вопросы и ответы

Отвечает Алексей Смирнов, учитель математики и физики, репетитор по подготовке к ЕГЭ по математике и физике:

Можно ли поменять местами члены пропорции и сохранить равенство?

Можно, но не любые. Пропорция останется верной, если поменять местами ее крайние члены или ее средние члены. Из пропорции a : b = c : d получаются верные пропорции d : b = c : a и a : c = b : d. Кроме того, можно поменять местами сами отношения, записав c : d = a : b, или «перевернуть» оба отношения сразу: b : a = d : c.

Объяснить это легко с помощью основного свойства. При таких перестановках произведение крайних членов и произведение средних членов не меняются, а значит, равенство между ними сохраняется. Например, из пропорции 6 : 3 = 10 : 5 можно получить 6 : 10 = 3 : 5, где оба отношения равны 0,6.

А вот перестановка членов только в одном отношении может нарушить пропорцию. Например, если в пропорции 6 : 3 = 10 : 5 поменять местами только 6 и 3, получится 3 : 6 = 10 : 5. Левое отношение равно 0,5, правое равно 2, поэтому равенство нарушается. Чтобы «перевернуть» пропорцию и сохранить ее верной, нужно поменять местами члены сразу в обоих отношениях.

Почему тему по математике «Пропорция» изучают в 6 классе?

Пропорция опирается на действия с дробями. Чтобы уверенно находить ее неизвестный член, нужно уметь умножать и делить обыкновенные и десятичные дроби, а эти навыки школьники закрепляют как раз к 6 классу. Поэтому именно здесь появляется возможность связать отдельные вычисления в удобный способ решения задач.

Кроме того, тема пропорции служит основой для многих следующих разделов. С ее помощью решают задачи на масштаб и проценты, на прямую и обратную пропорциональные зависимости. Позже пропорции понадобятся в геометрии, физике и химии, когда нужно будет работать с подобными фигурами, формулами и концентрациями растворов.

Изучение отношений, пропорций и масштаба предусмотрено Федеральной рабочей программой по математике. ²

В каких заданиях ОГЭ и ЕГЭ по математике встречаются пропорции?

Отдельного задания с названием «пропорция» на экзаменах нет, но сама пропорция помогает решать очень многие задачи. На ОГЭ это практико-ориентированные задачи, задачи на проценты и текстовые задачи, где одна величина меняется во столько же раз, во сколько меняется другая. Составить пропорцию в таких случаях часто бывает быстрее, чем рассуждать по действиям.

В геометрических заданиях ОГЭ и ЕГЭ пропорции возникают при работе с подобными треугольниками, ведь их соответствующие стороны пропорциональны. На ЕГЭ пропорции также помогают в текстовых задачах на смеси, сплавы и растворы. Поэтому умение быстро и без ошибок решать пропорции экономит время на экзамене и снижает риск вычислительной ошибки.

Задания, при решении которых используются отношения и пропорции, представлены в открытых банках заданий ОГЭ и ЕГЭ Федерального института педагогических измерений (ФИПИ). ³

5 тем по математике, которые помогут уверенно работать с дробями

Правильные и неправильные дроби: как отличить правильную дробь от неправильной и выделить из нее целую часть
Смешанные числа: из чего состоит смешанное число и как перевести его в неправильную дробь
Сравнение дробей: какими способами сравнивают дроби с разными числителями и знаменателями
Сложение и вычитание дробей: как складывать и вычитать дроби с одинаковыми и разными знаменателями
Умножение дробей: по какому правилу умножают обыкновенные дроби и смешанные числа

Источники

Статья подготовлена в соответствии с официальными документами и рекомендациями:

1. Министерство просвещения России. Федеральный перечень учебников. URL: https://fpu.edu.ru/

Виленкин Н. Я., Жохов В. И., Чесноков А. С. и другие. «Математика. 6 класс. Базовый уровень»
Мерзляк А. Г., Полонский В. Б., Якир М. С. «Математика. 6 класс. Базовый уровень»

2. Министерство просвещения России. Федеральная рабочая программа по учебному предмету «Математика». URL: https://static.edsoo.ru/projects/fop/index.html#/sections/200215
3. Федеральный институт педагогических измерений. Открытый банк заданий ОГЭ и ЕГЭ по математике, демоверсии, методические рекомендации для учителей. URL: https://fipi.ru/