Обыкновенные дроби
Что означают числа над и под дробной чертой и как с их помощью записать часть целого? Разберемся, как устроены обыкновенные дроби, какими они бывают и где встречаются в математике
Что общего у половины шоколадки, четверти часа и трех пятых пути до школы? Все это части целого, и каждую из них можно записать с помощью обыкновенной дроби. Дроби окружают нас гораздо чаще, чем кажется: когда мы делим пиццу с друзьями, отмеряем половину стакана молока для блинов или замечаем, что до конца фильма осталась треть.
Но как математика понимает, какую именно часть мы имеем в виду? Для этого у дроби есть числитель, знаменатель и дробная черта — и у каждого элемента своя задача. Вместе с экспертом узнаем, как устроены обыкновенные дроби, почему 12 и 24 обозначают одно и то же число и как найти место дроби на координатном луче.
Что такое обыкновенные дроби в математике
Представьте большую пиццу, которую разделили поровну между восемью друзьями. Каждому достанется одна из восьми одинаковых частей — 18 пиццы. А если кто-то съест три кусочка, получится уже 38.
Именно для таких ситуаций и нужны дроби. Они позволяют записать не только целое число предметов, например 2 яблока или 5 книг, но и часть целого.
Обыкновенная дробь — это запись числа в виде:
ab,
где:
- a — числитель дроби;
- b — знаменатель дроби, причем b ≠ 0.
При этом числитель может быть равен нулю, а знаменатель — нет. Это связано с тем, что дробная черта обозначает деление, а делить ноль на какое-либо ненулевое число можно, при этом деление на ноль в математике не определено.
Вернемся к нашей пицце:
38.
Число 8 показывает, что всю пиццу разделили на 8 равных частей, а число 3 — что 3 такие части взяли.
Здесь есть важное условие: части должны быть равными. Например, если один человек отрезал от торта огромный кусок, а другой — совсем маленький, нельзя сказать, что каждый получил по одной второй торта только потому, что кусков получилось два.
При этом дробь — это не просто удобный способ описать кусочек пиццы или торта, а настоящее число. Дробная черта означает деление:
38 = 3 : 8.
Поэтому с дробями можно выполнять математические действия: складывать и вычитать, умножать, делить, а также сравнивать их и отмечать на координатном луче точно так же, как другие числа.
Полезная информация об обыкновенных дробях
На первый взгляд в записи обыкновенной дроби всего два числа и черта между ними. Но каждый элемент здесь сообщает свою информацию. Чтобы не перепутать, что находится сверху, что снизу и за что отвечает, собрали самое важное об обыкновенных дробях в одной таблице-шпаргалке.
| Характеристика обыкновенной дроби | Описание |
|---|---|
| Общий вид | ab, b ≠ 0 |
| Числитель | Число над дробной чертой, показывающее, сколько равных частей взяли |
| Знаменатель | Число под дробной чертой, показывающее, на сколько равных частей разделили целое |
| Дробная черта | Заменяет знак деления: ab = a : b |
| Основное свойство дроби | Числитель и знаменатель можно умножить или разделить на одно и то же ненулевое число, значение дроби при этом не изменится |
| Правильная дробь | Числитель меньше знаменателя: a < b |
| Неправильная дробь | Числитель больше знаменателя или равен ему: a ≥ b |
Обыкновенные дроби, их основные свойства и правила работы с ними рассматриваются в учебниках математики для 5–6 классов, входящих в Федеральный перечень учебников. 1
Числитель дроби
Числитель находится над дробной чертой и показывает, сколько равных частей целого взяли.
Запомнить это проще на примере. Представьте коробку, в которой лежит 10 одинаковых конфет. Вы съели 4. Тогда съеденную часть можно записать так: 410.
Число 4 — числитель: именно столько частей мы взяли.
А теперь вы съели еще две конфеты. Числитель изменится: 610.
Знаменатель при этом останется прежним, потому что изначально целое по-прежнему состояло из 10 одинаковых частей.
Получается, если знаменатели двух дробей одинаковые, то чем больше числитель, тем больше значение дроби.
Это легко понять: размер одной части не изменился — коробка по-прежнему разделена на 10 одинаковых долей. Но во втором случае таких частей взяли больше:
410 < 610.
Числитель может быть меньше знаменателя, равен ему или больше него:
37, 77, 107.
Он может быть и равен нулю. Например, если пиццу разделили на 8 частей, но вы пока не взяли ни одного кусочка:
08 = 0.
Знаменатель дроби
Знаменатель находится под дробной чертой и показывает, на сколько равных частей разделили целое.
Представим две одинаковые пиццы. Первую разделили пополам, а вторую — на 8 одинаковых кусочков. Один кусок первой пиццы — это 12,
а один кусок второй — 18.
Очевидно, половина пиццы гораздо больше одного маленького кусочка из восьми. Поэтому знаменатель помогает понять размер одной доли.
Если целое одно и то же, то чем на большее количество равных частей его разделили, тем меньше получается каждая часть:
12 > 14 > 18.
А вот нулем знаменатель быть не может. Нельзя разделить шоколадку на «ноль равных частей», а с точки зрения математики запись с нулем в знаменателе означала бы деление на 0, которое невозможно.
Дробная черта
Дробная черта кажется самым простым элементом записи, но без нее дроби вообще бы не было. Она отделяет числитель от знаменателя и одновременно заменяет знак деления:
124 = 12 : 4 = 3.
Например, четыре друга решили поровну разделить 3 одинаковые пиццы. На каждого придется: 3 : 4 = 34 пиццы.
Так дробь позволяет записать результат даже тогда, когда одно число не делится на другое нацело.
это интересно
Единицы измерения времени
Какие единицы используют для измерения времени и как переводить значения из одной единицы в другую
Подробнее
Основное свойство дроби
Представьте две одинаковые шоколадки. Первую разделили на 2 равные части и взяли одну:
12.
Вторую разделили на 4 части и взяли две:
24.
Выглядят дроби по-разному, но количество шоколада получилось одинаковым — ровно половина плитки:
12 = 24.
Можно продолжить делить те же кусочки еще мельче:
12 = 24 = 48 = 816.
Именно это объясняет основное свойство дроби: если числитель и знаменатель дроби умножить или разделить на одно и то же ненулевое число, значение дроби не изменится.
Например, умножим числитель и знаменатель дроби 23 на 4:
2 × 43 × 4 = 812.
Мы как будто разбили каждую треть еще на четыре маленькие части. Частей стало больше, но само количество осталось прежним.
То же правило работает в обратную сторону:
1520 = 15 : 520 : 5 = 34.
Такое преобразование называется сокращением дроби. Основное свойство понадобится и позже: при сравнении дробей, приведении их к общему знаменателю, сложении и вычитании.
Виды обыкновенных дробей
Обыкновенные дроби могут выглядеть по-разному. Иногда мы берем только часть целого, а иногда целое или даже больше одного целого. В зависимости от того, как соотносятся числитель и знаменатель, дроби делят на правильные и неправильные.
Правильная дробь — это дробь, у которой числитель меньше знаменателя:
38, 57, 1115.
Такая дробь всегда меньше единицы.
Неправильная дробь — это дробь, у которой числитель больше знаменателя или равен ему:
98, 75, 44.
Неправильная дробь может быть равна единице или быть больше нее. Если значение дроби больше единицы, ее можно представить в виде смешанного числа.
Обыкновенные дроби на координатном луче
Обыкновенная дробь — такое же число, как 1, 2 или 5, поэтому ей можно найти свое место на координатном луче, или координатной прямой. Для этого сначала нужно определить, на сколько равных частей разделить единичный отрезок.
Рассмотрим дроби:
12, 34, 98.
Чтобы отметить их на одном координатном луче, приведем дроби к общему знаменателю:
12 = 48, 34 = 68, 98 = 98.
Теперь единичный отрезок от 0 до 1 можно разделить на 8 равных частей. Каждая такая часть соответствует 18.
Тогда 12 = 48 находится на четвертом делении после 0, 34 = 68 — на шестом делении, а 98 — уже правее единицы, на девятом делении от начала координат.
Таким способом на координатном луче можно отметить любую обыкновенную дробь. Если дробь меньше единицы, соответствующая ей точка будет находиться между 0 и 1. Если дробь равна единице — совпадет с точкой 1. А если дробь больше единицы, ее нужно искать правее 1.
Задачи и ответы по теме «Обыкновенные дроби»
Теория становится гораздо понятнее, когда начинаешь применять ее самостоятельно. Проверим, сможете ли вы по условию составить дробь, определить ее вид и воспользоваться основным свойством дроби. Сначала попробуйте решить каждую задачу без подсказки, а затем сверьтесь с подробным решением.
Задача 1
В коробке лежало 12 одинаковых конфет. Маша взяла 5 конфет. Какую часть всех конфет она взяла? Назовите числитель и знаменатель получившейся дроби и объясните, что показывает каждое из этих чисел.
Решение и ответ к задаче 1
Всего в коробке было 12 конфет, поэтому знаменатель дроби равен 12. Маша взяла 5 из них, значит, числитель равен 5.
Получаем:
512.
Числитель 5 показывает, сколько конфет взяли, а знаменатель 12 — сколько конфет было всего.
Ответ: 512; числитель — 5, знаменатель — 12.
Задача 2
Запишите три дроби со знаменателем 9:
а) правильную дробь;
б) неправильную дробь, равную единице;
в) неправильную дробь, большую единицы.
Решение и ответ к задаче 2
У правильной дроби числитель должен быть меньше знаменателя. Например:
49
Чтобы дробь была равна единице, ее числитель должен быть равен знаменателю:
99 = 1
Чтобы неправильная дробь была больше единицы, числитель должен быть больше знаменателя. Например:
119
Подойдут и другие дроби, которые удовлетворяют этим условиям.
Ответ: например, 49; 99; 119.
Задача 3
Заполните пропуск так, чтобы равенство было верным:
35 = ?20.
Решение и ответ к задаче 3
Знаменатель 5 умножили на 4:
5 · 4 = 20.
По основному свойству дроби числитель нужно умножить на то же ненулевое число:
3 · 4 = 12.
Получаем:
35 = 1220.
Значение дроби при этом не изменилось.
Ответ: 12
Популярные вопросы и ответы
Отвечает Алексей Смирнов, учитель математики и физики, репетитор по подготовке к ЕГЭ по математике и физике:
Может ли числитель обыкновенной дроби быть равен нулю?
Да, числитель обыкновенной дроби может быть равен нулю. Такая дробь равна нулю при любом допустимом знаменателе: 0/5 = 0, 0/17 = 0.
Это легко объяснить через смысл дроби. Знаменатель показывает, на сколько равных частей разделили целое, а числитель — сколько таких частей взяли. Если не взяли ни одной части, получаем ноль.
Также дробная черта обозначает деление, а ноль, разделенный на любое ненулевое число, равен нулю.
Это легко объяснить через смысл дроби. Знаменатель показывает, на сколько равных частей разделили целое, а числитель — сколько таких частей взяли. Если не взяли ни одной части, получаем ноль.
Также дробная черта обозначает деление, а ноль, разделенный на любое ненулевое число, равен нулю.
Может ли знаменатель обыкновенной дроби быть равен нулю?
Нет, знаменатель обыкновенной дроби не может быть равен нулю.
Дробная черта обозначает деление, поэтому запись 5/0 означала бы деление 5 на 0. Такое действие в математике не определено.
Именно поэтому при записи обыкновенной дроби a/b всегда указывают условие: b ≠ 0.
Дробная черта обозначает деление, поэтому запись 5/0 означала бы деление 5 на 0. Такое действие в математике не определено.
Именно поэтому при записи обыкновенной дроби a/b всегда указывают условие: b ≠ 0.
Чем обыкновенная дробь отличается от десятичной?
Обыкновенная и десятичная дроби — это разные формы записи чисел.
Обыкновенная дробь записывается с помощью числителя, знаменателя и дробной черты: 3/4.
В десятичной дроби используется позиционная десятичная запись с запятой: 0,75.
При этом одно и то же число часто можно представить обоими способами:
3/4 = 0,75.
Однако не каждая обыкновенная дробь превращается в конечную десятичную. Например: 1/3 = 0,3333…
В этом случае получается бесконечная периодическая десятичная дробь.
Обыкновенная дробь записывается с помощью числителя, знаменателя и дробной черты: 3/4.
В десятичной дроби используется позиционная десятичная запись с запятой: 0,75.
При этом одно и то же число часто можно представить обоими способами:
3/4 = 0,75.
Однако не каждая обыкновенная дробь превращается в конечную десятичную. Например: 1/3 = 0,3333…
В этом случае получается бесконечная периодическая десятичная дробь.
Почему тему по математике «Обыкновенные дроби» изучают в 5–6 классах?
К 5–6 классам школьники уже уверенно работают с натуральными числами, знают основные арифметические действия и понимают смысл деления. Это позволяет перейти к следующему важному этапу — числам, которые позволяют представить не только целое, но и его части.
Обыкновенные дроби становятся основой сразу для большого количества следующих тем. Школьники учатся сравнивать, сокращать, складывать, вычитать, умножать и делить дроби, работают со смешанными числами, пропорциями и процентами.
Позже дроби постоянно встречаются в алгебре и геометрии: в формулах, уравнениях, функциях и других задачах. Поэтому важно научиться понимать устройство обыкновенной дроби и уверенно работать с ней еще в 5–6 классах.
Изучение обыкновенных дробей входит в содержание школьного курса математики в соответствии с Федеральной рабочей программой.2
Обыкновенные дроби становятся основой сразу для большого количества следующих тем. Школьники учатся сравнивать, сокращать, складывать, вычитать, умножать и делить дроби, работают со смешанными числами, пропорциями и процентами.
Позже дроби постоянно встречаются в алгебре и геометрии: в формулах, уравнениях, функциях и других задачах. Поэтому важно научиться понимать устройство обыкновенной дроби и уверенно работать с ней еще в 5–6 классах.
Изучение обыкновенных дробей входит в содержание школьного курса математики в соответствии с Федеральной рабочей программой.2
В каких заданиях ОГЭ и ЕГЭ по математике встречаются обыкновенные дроби?
На ОГЭ и ЕГЭ обычно не требуется отдельно давать определение обыкновенной дроби или называть ее числитель и знаменатель. Однако сами дроби встречаются во множестве экзаменационных заданий.
Умение работать с ними необходимо при вычислении значений числовых выражений, решении уравнений и неравенств, задач на проценты и пропорции, преобразовании алгебраических выражений и работе с формулами.
Поэтому обыкновенные дроби относятся к базовым темам школьной математики: отдельного сложного задания исключительно на определение дроби на экзамене может не быть, но без уверенного владения действиями с дробями решить многие задания ОГЭ и ЕГЭ значительно сложнее.
Задания, в которых используются вычисления и преобразования выражений с обыкновенными дробями, представлены в открытых банках заданий ОГЭ и ЕГЭ Федерального института педагогических измерений. 3
Умение работать с ними необходимо при вычислении значений числовых выражений, решении уравнений и неравенств, задач на проценты и пропорции, преобразовании алгебраических выражений и работе с формулами.
Поэтому обыкновенные дроби относятся к базовым темам школьной математики: отдельного сложного задания исключительно на определение дроби на экзамене может не быть, но без уверенного владения действиями с дробями решить многие задания ОГЭ и ЕГЭ значительно сложнее.
Задания, в которых используются вычисления и преобразования выражений с обыкновенными дробями, представлены в открытых банках заданий ОГЭ и ЕГЭ Федерального института педагогических измерений. 3
5 тем по математике, которые помогут работать с дробями
- Наибольший общий делитель: как находить НОД нескольких чисел и использовать его при работе с дробями
- Наименьшее общее кратное: как находить НОК нескольких чисел и использовать его для приведения дробей к общему знаменателю
- Рациональные числа: что такое рациональные числа, какими они бывают и как выполнять с ними арифметические действия
- Действительные числа: что такое действительные числа, какие числа входят в это множество и какими свойствами они обладают
- Числовые промежутки: что такое числовые промежутки, какими они бывают и как их записывать и изображать на числовой прямой
Источники
Материал подготовлен на основании официальных документов и рекомендаций:
1. Министерство просвещения России. Федеральный перечень учебников. URL: https://fpu.edu.ru/
- Виленкин Н. Я., Жохов В. И., Чесноков А. С., Александрова Л. А., Шварцбурд С. И. «Математика. 5 класс. Базовый уровень»
- Виленкин Н. Я., Жохов В. И., Чесноков А. С. и др. «Математика. 6 класс. Базовый уровень»
2. Министерство просвещения России. Федеральная рабочая программа по учебному предмету «Математика». URL: https://static.edsoo.ru/projects/fop/index.html#/sections/200215
3. Федеральный институт педагогических измерений. Открытый банк заданий ОГЭ и ЕГЭ по математике. Методические рекомендации для учителей. URL: https://fipi.ru/
