Сумма углов треугольника
У любого треугольника, независимо от его формы и размеров, сумма внутренних углов остается неизменной. Разберемся, чему она равна, как доказать это свойство и использовать его для нахождения неизвестных углов
На первый взгляд треугольники могут сильно отличаться друг от друга. Один может быть узким и вытянутым, другой — равносторонним, третий — иметь прямой или тупой угол. При изменении формы меняются величины отдельных углов, но между ними сохраняется одна важная закономерность.
Если один угол треугольника становится больше, два остальных вместе должны уменьшиться так, чтобы их общая сумма оставалась неизменной. Именно эта связь позволяет находить неизвестные углы, определять вид треугольника и доказывать многие геометрические утверждения.
Вместе с экспертом разберемся, чему равна сумма углов треугольника, докажем соответствующую теорему, рассмотрим ее основные следствия и научимся применять полученные знания при решении задач.
Что такое сумма углов треугольника в геометрии
У любого треугольника есть три внутренних угла — по одному при каждой вершине. Суммой углов треугольника называют сумму величин этих трех внутренних углов.
Рассмотрим треугольник ABC. Его внутренние углы расположены при вершинах A, B и C.
Если обозначить величины углов через α, β и γ, их сумму можно записать так:
α + β + γ.
При этом форма и размеры треугольника могут быть разными. Например, один из его углов может быть острым, прямым или тупым. Однако между величинами всех трех внутренних углов существует постоянная связь. Какая именно — установим с помощью теоремы о сумме углов треугольника в следующем разделе.
Полезная информация о сумме углов треугольника
С величинами углов треугольника связано несколько важных закономерностей, которые помогают находить неизвестные углы и определять свойства фигуры. Собрали основные факты о сумме углов треугольника в таблице, а далее разберем их подробнее и выясним, почему они выполняются.
| Сумма углов треугольника | Описание |
|---|---|
| Сумма внутренних углов | Всегда равна 180° |
| Неизвестный угол | Чтобы его найти, нужно из 180° вычесть сумму двух известных углов |
| Прямой или тупой угол | В треугольнике может быть не более одного прямого или тупого угла |
| Прямоугольный треугольник | Сумма двух острых углов равна 90° |
| Равносторонний треугольник | Каждый внутренний угол равен 60° |
Теорема о сумме углов треугольника
Величины отдельных углов треугольника могут быть разными, однако их сумма остается неизменной. Эту закономерность устанавливает теорема о сумме углов треугольника:
Сумма внутренних углов треугольника равна 180°.
Обозначим внутренние углы треугольника через α, β и γ. Согласно теореме:
∠α + ∠β + ∠γ = 180°.
Например, если два угла треугольника равны 45° и 60°, то третий угол составляет:
180° − (45° + 60°) = 75°.
Теорема справедлива для любого треугольника независимо от длин его сторон и величин отдельных углов.
Доказательство теоремы о сумме углов треугольника
Докажем теорему с помощью свойств углов, образованных при пересечении параллельных прямых секущей.
Рассмотрим треугольник ABC и проведем через вершину B прямую, параллельную стороне AC.
Обозначим внутренние углы треугольника через α, β и γ. При этом угол β расположен при вершине B.
Стороны AB и BC пересекают две параллельные прямые. Поэтому образовавшиеся при вершине B углы соответственно равны углам α и γ как накрест лежащие.
Три угла при вершине B — α, β и γ — вместе образуют развернутый угол. Следовательно, их сумма равна 180°:
∠α + ∠β + ∠γ = 180°.
Значит, сумма внутренних углов треугольника равна 180°.
Что и требовалось доказать.
Теорема о сумме углов треугольника и ее следствия рассматриваются в школьных учебниках геометрии, включенных в Федеральный перечень учебников Министерства просвещения России.1
Как найти неизвестный угол треугольника
Теорема о сумме углов треугольника позволяет найти один из его углов, если известны два других. Для этого из 180° нужно вычесть сумму величин известных углов.
Если неизвестный угол обозначить через γ, а известные — через α и β, получим формулу:
∠γ = 180° − (∠α + ∠β).
Например, два угла треугольника равны 52° и 73°. Найдем третий:
∠γ = 180° − (52° + 73°) = 55°.
Иногда величины углов заданы не числами, а выражениями через неизвестную. В этом случае используют ту же теорему: складывают выражения для всех трех углов, приравнивают полученную сумму к 180° и решают уравнение.
Например, углы треугольника равны x, 2x и 3x. Составим уравнение:
x + 2x + 3x = 180°,
6x = 180°,
x = 30°.
Следовательно, углы треугольника равны 30°, 60° и 90°.
это интересно
Следствия из теоремы о сумме углов треугольника
Из теоремы о сумме углов треугольника можно получить несколько важных следствий. Они помогают определять возможные величины углов и свойства треугольника без дополнительных вычислений.
В любом треугольнике не может быть больше одного прямого или тупого угла. Если один угол равен 90°, сумма двух остальных равна 90°, а если он больше 90°, их сумма меньше 90°. В обоих случаях оставшиеся углы будут острыми.
В прямоугольном треугольнике сумма двух острых углов равна 90°. Один из его углов равен 90°, поэтому на два остальных приходится:
180° − 90° = 90°.
Значит, если острые углы прямоугольного треугольника обозначить через α и β, то:
∠α + ∠β = 90°.
В равностороннем треугольнике каждый угол равен 60°. Все три угла такого треугольника равны между собой, а их сумма составляет 180°. Поэтому:
180° : 3 = 60°.
Эти следствия позволяют по известным особенностям треугольника сразу получить дополнительную информацию о его углах и использовать ее при решении задач.
Согласно федеральной рабочей программе по математике, теорема о сумме углов треугольника входит в содержание курса геометрии 7 класса.2
Задачи и ответы по теме «Сумма углов треугольника»
Закрепить теорему о сумме углов треугольника лучше всего на практике. Попробуйте решить задачи самостоятельно, а затем сверьтесь с решениями и ответами.
Задача 1
Два угла треугольника равны 47° и 68°. Найдите третий угол.
Решение и ответ к задаче 1
Сумма углов треугольника равна 180°. Поэтому третий угол равен:
180° − (47° + 68°) = 65°.
Ответ: 65°
Задача 2
Один из острых углов прямоугольного треугольника равен 34°. Найдите второй острый угол.
Решение и ответ к задаче 2
В прямоугольном треугольнике один угол равен 90°, а сумма двух остальных углов составляет 90°. Поэтому:
90° − 34° = 56°.
Ответ: 56°
Задача 3
Углы треугольника относятся как 2 : 3 : 4. Найдите величину каждого угла.
Решение и ответ к задаче 3
Пусть величины углов равны 2x, 3x и 4x. По теореме о сумме углов треугольника:
2x + 3x + 4x = 180°,
9x = 180°,
x = 20°.
Тогда:
2x = 40°,
3x = 60°,
4x = 80°.
Ответ: 40°, 60° и 80°
Популярные вопросы и ответы
Отвечает Алексей Смирнов, учитель математики и физики, репетитор по подготовке к ЕГЭ по математике и физике:
Может ли сумма углов треугольника быть больше или меньше 180°?
В школьной геометрии сумма внутренних углов треугольника всегда равна 180°. Она не зависит от формы, размеров и вида треугольника.
Почему тему «Сумма углов треугольника» изучают в 7 классе?
К этому моменту школьники уже знакомы с основными видами углов, свойствами смежных углов и параллельных прямых. Эти знания позволяют не только сформулировать теорему о сумме углов треугольника, но и самостоятельно разобраться в ее доказательстве.
Кроме того, эта теорема становится одним из базовых инструментов дальнейшего изучения геометрии. С ее помощью находят неизвестные углы, исследуют свойства разных видов треугольников и доказывают другие геометрические утверждения.
Кроме того, эта теорема становится одним из базовых инструментов дальнейшего изучения геометрии. С ее помощью находят неизвестные углы, исследуют свойства разных видов треугольников и доказывают другие геометрические утверждения.
В каких заданиях ОГЭ и ЕГЭ по математике используется теорема о сумме углов треугольника?
Теорема о сумме углов треугольника используется во многих задачах по планиметрии. Она может понадобиться при нахождении неизвестных углов, работе с прямоугольными и равнобедренными треугольниками, параллельными прямыми, четырехугольниками и другими геометрическими фигурами.
В заданиях ОГЭ и ЕГЭ эта теорема нередко применяется не как единственное правило для решения, а как один из промежуточных шагов. Поэтому важно уметь замечать треугольник на чертеже и использовать сумму его углов вместе с другими известными свойствами фигур.
Задачи, при решении которых используются свойства углов треугольника, представлены в экзаменационных материалах и открытых банках заданий ФИПИ.3
В заданиях ОГЭ и ЕГЭ эта теорема нередко применяется не как единственное правило для решения, а как один из промежуточных шагов. Поэтому важно уметь замечать треугольник на чертеже и использовать сумму его углов вместе с другими известными свойствами фигур.
Задачи, при решении которых используются свойства углов треугольника, представлены в экзаменационных материалах и открытых банках заданий ФИПИ.3
5 тем по геометрии, которые помогут лучше разобраться в свойствах треугольников
- Внешний угол треугольника: почему он равен сумме двух внутренних углов, не смежных с ним
- Средняя линия треугольника: что происходит, когда мы соединяем середины двух сторон треугольника
- Высота треугольника: где ее искать, если она оказывается за пределами самого треугольника
- Медиана треугольника: что особенного в отрезке, который соединяет вершину с серединой противоположной стороны
- Биссектриса треугольника: вспомним «крысу, которая бегает по углам», и разберемся, что на самом деле делает биссектриса
Источники
Материал подготовлен в соответствии с официальными документами и рекомендациями.
1. Министерство просвещения России. Федеральный перечень учебников. URL: https://fpu.edu.ru/
- Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б. «Геометрия. 7-9 классы. Базовый уровень»
- Мерзляк А.Г., Полонский В.Б., Якир М.С. «Математика. Геометрия. 7 класс. Базовый уровень»
- Смирнов В.А., Смирнова И.М. «Геометрия. 7 класс»
2. Министерство просвещения России. Федеральная рабочая программа по учебному предмету «Математика». URL: https://static.edsoo.ru/projects/fop/index.html#/sections/200215
3. Федеральный институт педагогических измерений. Открытый банк заданий ОГЭ и ЕГЭ по математике, демоверсии, методические рекомендации для учителей. URL: https://fipi.ru/
