Андрей родился 8 ноября 1951 года в Москве, в большой и дружной семье. У него было три старшие сестры. В детстве маленький Андрей мечтал стать морским офицером. Но судьба сложилась так, что в 1969 году он поступил в Ярославское театральное училище.
С 1973 по 1974 годы работал в Пермском ТЮЗе. Самыми счастливыми в своей театральной карьере считает годы, которые он проработал в Горьковском ТЮЗе (1974-1979 гг.). Из всего огромного списка ролей в театре и кино особо выделяет две: герцог Орсино («Двенадцатая ночь» реж. Б. Наравцевич худ. С. Бархин) и Тузенбах («Три сестры» реж. Б. Наравцевич худ. С. Бархин).
В 1982 году поступил в ГИТИС на экспериментальный курс О. Табакова. Так же с 1979 года Бронников играет в Московском ТЮЗе. Его лучшие спектакли «Казнь декабристов» «Пушкин. Дуэль.Смерть» (реж. Кама Гинкас) «Иванов и другие» «Свидетель обвинения» (реж. Генриетта Яновская).
Интересно, что в спектакле «Аристон» Андрей играет сразу 4 роли: жреца, Тиресия, пастуха, Лая.
Роли в МТЮЗе:Принц Болталон «Оловянные кольца» Аника-воин «Кто царевну поцелует...» Хлюстин «Пушкин.Дуэль.Смерть»Судья «Свидетель обвинения»Мэфф Поттер; Вдова Дуглас «Невероятные приключения Т.С. и Г.Ф. по Марку Твену»Отец; Старый господин «Роберто Зукко»Мужик «Повесть о том, как один мужик двух генералов прокормил»
Архивные спектакли:Андрей Болконский «Наташа Ростова» реж. Жигульский (1979)Клаудио «Много шума из ничего» реж. Левертов (1981)Персонаж из оперы «Аида» «Собачье сердце» реж. Г. Яновская (1987)«Соловей» реж. Г. Яновская (1988)Шницлер «Казнь декабристов» реж. К. Гинкас (1995)«Гуд-бай, Америка!!!», реж. Г. Яновская (1989)
Основные роли в кино:«Маленькие трагедии» реж. М. Швейцер (1980)Ферзь «Небо в алмазах» реж. В. Пичул (1998)Сторож «Свадьба» реж. П. Лунгин (2000)«Олигарх» реж. П. Лунгин (2002)Генерал «Сонька золотая ручка» реж. Ю. Дамскер (2002)Отец Тельнова «Пятый ангел» реж. В. Фокин (2004)Отец Фома «Дело о мертвых душах» реж. П. Лунгин (2005)Врубель «Полный вперед» реж. А. Панин (2005)«Тайная стража» реж. К. Смирнов (2005)Натурщик «Внук Гагарина» реж. А. Панин (2007)«Рожденный в СССР» реж. А. Черных (2007)Михалыч «Промзона» реж. Кабулов (2007)Криминалист Черноусан «Ликвидация» реж. С. Урсулак (2007)
Телесериалы:Петрович «Возвращение Мухтара» реж. А. Полынников (2003)