КП
Реклама О проекте
Ирина Соколова Автор КП Алексей Смирнов Репетитор по физике и математике
Содержание
  1. Что это такое
  2. Полезная информация
  3. Формулы площади
  4. Задачи и ответы по теме
  5. Вопросы и ответы
  6. 5 тем по геометрии, которые помогут лучше разобраться в свойствах треугольника

Площадь прямоугольного треугольника

Прямой угол помогает упростить вычисление площади. Посмотрим, какие способы подходят для прямоугольного треугольника и как выбрать формулу по условию задачи

Площадь прямоугольного треугольника. Изображение: Александр Морозов / нейросети
Алексей Смирнов Репетитор по физике и математике Ирина Соколова Автор КП
Содержание
  1. Что это такое
  2. Полезная информация
  3. Формулы площади
  4. Задачи и ответы по теме
  5. Вопросы и ответы
  6. 5 тем по геометрии, которые помогут лучше разобраться в свойствах треугольника

Чтобы найти площадь произвольного треугольника, обычно нужно знать основание и проведенную к нему высоту. В прямоугольном треугольнике эта задача упрощается: его катеты перпендикулярны друг другу, поэтому один из них уже может служить основанием, а второй — высотой.

Однако в задачах два катета известны далеко не всегда. Вместо них могут быть даны гипотенуза, острый угол, высота, проведенная к гипотенузе, или радиус вписанной окружности. В каждом случае к площади можно прийти своим способом.

Вместе с экспертом разберемся, что такое площадь прямоугольного треугольника, какие формулы используют для ее вычисления и как понять, какая из них подходит к условию конкретной задачи.

Что такое площадь прямоугольного треугольника в геометрии

Прямоугольный треугольник — это треугольник, у которого один из углов равен 90°. Стороны, образующие прямой угол, называют катетами, а сторону напротив него — гипотенузой.

Площадь прямоугольного треугольника показывает величину части плоскости, ограниченной его сторонами. Ее обозначают буквой S и измеряют в квадратных единицах: мм2, см2, м2 и других.

Полезная информация о площади прямоугольного треугольника

Формулу для вычисления площади прямоугольного треугольника выбирают в зависимости от того, какие его элементы известны в условии. Иногда достаточно двух катетов, а в других задачах понадобятся гипотенуза, высота, острый угол или радиус вписанной окружности. Основные способы вычисления площади собрали в таблице-шпаргалке.

Площадь прямоугольного треугольникаФормула и пояснение
ОбозначениеS
Единицы измерениямм2, см2, дм2, м2, км2, а также ар (а) и гектар (га)
Через катетыS = ab / 2, где a и b — катеты
Через гипотенузу и высотуS = chc / 2, где c — гипотенуза, hc — проведенная к ней высота
Через гипотенузу и острый уголS = c2 sin α cos α / 2, где c — гипотенуза, α — известный острый угол
Через катет и острый уголS = (b2 tg α) / 2, если b — прилежащий катет, α — известный острый угол S = a2 / (2 tg α), если a — противолежащий катет, α — известный острый угол
Через полупериметр и радиус вписанной окружностиS = pr, где p — полупериметр, r — радиус вписанной окружности
Равнобедренный прямоугольный треугольникS = a2 / 2 = c2 / 4, где a — катет, c — гипотенуза

Материал по теме «Площадь прямоугольного треугольника» представлен в школьных учебниках геометрии для 7–9 классов, включенных в Федеральный перечень учебников Министерства просвещения России.1

Формулы площади прямоугольного треугольника

Площадь прямоугольного треугольника можно найти несколькими способами. Выбор формулы зависит от того, какие стороны, углы и другие элементы известны в условии задачи.

Перед вычислениями важно убедиться, что все длины выражены в одинаковых единицах. Например, если один катет равен 5 см, а второй — 40 мм, сначала переведем 40 мм в 4 см и только после этого подставим значения в формулу.

Через два катета

Самый простой способ найти площадь прямоугольного треугольника — использовать длины его катетов. Поскольку катеты перпендикулярны друг другу, один из них можно принять за основание, а второй — за высоту.

Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения его катетов:

S=ab2,S = \frac{ab}{2},

где:

  • S — площадь прямоугольного треугольника,
  • a и b — длины катетов.

Почему произведение катетов нужно разделить на два? Если дополнить прямоугольный треугольник вторым таким же треугольником, получится прямоугольник со сторонами a и b. Его площадь равна ab, а диагональ делит фигуру на два равных треугольника. Поэтому площадь каждого из них составляет ab / 2.

Например, если катеты равны 6 см и 8 см:

S=6⋅8/2=24 cm2.S = 6 \cdot 8 / 2 = 24 \text{ cm}^2.

Если прямоугольный треугольник равнобедренный, его катеты равны. Обозначив длину каждого через a, получим:

S=a22.S = \frac{a^2}{2}.

Например, при a = 10 см:

S=1022=50 см2.S = \frac{10^2}{2} = 50 \text{ см}^2.

Если известны только гипотенуза и один катет, второй катет можно сначала найти по теореме Пифагора. Пусть известны катет a и гипотенуза c. Тогда:

b=c2−a2.b = \sqrt{c^2 — a^2}.

После этого используем формулу площади через два катета:

S=ac2−a22.S = \frac{a\sqrt{c^2 — a^2}}{2}.

Например, если гипотенуза равна 13 см, а один из катетов — 5 см, найдем второй катет:

b=132−52=144=12 смb = \sqrt{13^2 — 5^2} = \sqrt{144} = 12\text{ см}

Тогда площадь равна:

S=5⋅12/2=30 см2S = 5 \cdot 12 / 2 = 30 \text{ см}^2

Такой способ позволяет использовать основную формулу через катеты даже в тех случаях, когда в условии дана длина только одного из них. 

Через гипотенузу и высоту

Площадь любого треугольника равна половине произведения основания на проведенную к нему высоту. Если в прямоугольном треугольнике принять за основание гипотенузу, получим:

S=chc2,S = \frac{ch_c}{2},

где:

  • S — площадь прямоугольного треугольника,
  • c — длина гипотенузы,
  • hc — высота, проведенная к гипотенузе из вершины прямого угла.

Важно использовать именно высоту к гипотенузе. Катет не перпендикулярен гипотенузе, поэтому заменить им величину hc нельзя.

Площадь
Высота прямоугольного треугольника, проведенная к гипотенузе. Изображение: Александр Морозов

Например, если гипотенуза равна 10 см, а высота к ней — 4,8 см:

S = 10 · 4,8 / 2 = 24 см2.

Площадь одного и того же прямоугольного треугольника можно выразить как через катеты, так и через гипотенузу и проведенную к ней высоту:

ab2=chc2,\frac{ab}{2} = \frac{ch_c}{2},

Отсюда высоту к гипотенузе можно найти по формуле:

hc=abc,h_c = \frac{ab}{c},

Это соотношение удобно использовать, если известны стороны треугольника и требуется найти проведенную к гипотенузе высоту. 

Через гипотенузу и острый угол

Если известны гипотенуза и один из острых углов прямоугольного треугольника, катеты можно выразить через синус и косинус этого угла.

Пусть c — гипотенуза, α — известный острый угол, a — противолежащий ему катет, а b — прилежащий. Тогда:

a=c⋅sin⁡α,b=c⋅cos⁡α.\begin{aligned} a = c \cdot \sin \alpha,\\ b = c \cdot \cos \alpha. \end{aligned}

Подставим эти выражения в формулу площади через два катета:

S=c2⋅sin⁡α⋅cos⁡α2,S = \frac{c^2 \cdot \sin \alpha \cdot \cos \alpha}{2},

где:

  • S — площадь прямоугольного треугольника,
  • c — длина гипотенузы,
  • α — известный острый угол треугольника.

Например, гипотенуза равна 12 см, а один из острых углов — 30°. Поскольку sin 30° = 1/2, а cos 30° = √3/2, получаем:

S=122⋅12⋅322=183 см2,S = \frac{12^2 \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}}{2} = 18\sqrt{3}\text{ см}^2,

Одной длины гипотенузы недостаточно, чтобы определить площадь прямоугольного треугольника: при одинаковой гипотенузе катеты могут иметь разную длину. Исключением является равнобедренный прямоугольный треугольник. В нем острые углы равны 45°, а площадь можно найти по формуле:

S=c24.S = \frac{c^2}{4}.
это интересно
Сумма углов треугольника
Почему два острых угла прямоугольного треугольника в сумме дают 90°
подробнее

Через катет и острый угол

Если известны катет и острый угол, способ вычисления площади зависит от того, как расположен данный катет относительно этого угла.

Пусть α — известный острый угол, a — противолежащий ему катет, а b — прилежащий.

Если известен прилежащий катет b, то:

tg⁡α=ab.\tg \alpha = \frac{a}{b}.

Отсюда:

a=b⋅tg⁡α.a = b \cdot \tg \alpha.

Подставим полученное выражение в формулу площади через два катета:

S=b2⋅tg⁡α2,S = \frac{b^2 \cdot \tg \alpha}{2},

где:

  • S — площадь прямоугольного треугольника,
  • b — длина катета, прилежащего к углу α,
  • α — известный острый угол треугольника.

Например, если b = 6 см, а α = 45°, то tg 45° = 1:

S = 62 · 1 / 2 = 18 см2.

Если известен противолежащий катет a, то:

b=atg⁡α.b = \frac{a}{\tg \alpha}.

Следовательно:

S=a22tg⁡α,S = \frac{a^2}{2 \tg \alpha},

где:

  • S — площадь прямоугольного треугольника,
  • a — длина катета, противолежащего углу α,
  • α — известный острый угол треугольника.

Эту же формулу можно записать через котангенс:

S=a2⋅ctg⁡α2.S = \frac{a^2 \cdot \ctg \alpha}{2}.

Например, если a = 4 см, а α = 30°, то ctg 30° = √3:

S = 42 · √3 / 2 = 8√3 см2.

В таких задачах важно сначала определить положение известного катета относительно данного угла. Если перепутать прилежащий и противолежащий катеты, будет выбрана другая формула.

Через полупериметр и радиус вписанной окружности

В любой треугольник можно вписать окружность. Ее радиус связан с площадью и полупериметром треугольника формулой:

S=pr,S = pr,

где:

  • S — площадь прямоугольного треугольника,
  • p — полупериметр треугольника,
  • r — радиус вписанной окружности.

Полупериметр равен половине суммы длин всех трех сторон:

p=a+b+c2.p = \frac{a + b + c}{2}.
Высота прямоугольного треугольника, проведенная к гипотенузе. Изображение_ Александр Морозов
Прямоугольный треугольник и вписанная окружность. Изображение: Александр Морозов

Эту формулу можно объяснить геометрически. Соединим центр вписанной окружности с вершинами треугольника. Получатся три треугольника с основаниями a, b и c. Высота каждого из них, проведенная из центра окружности к соответствующей стороне, равна радиусу r. Поэтому:

S=ar2+br2+cr2=r(a+b+c)2=pr.S = \frac{ar}{2} + \frac{br}{2} + \frac{cr}{2} = \frac{r(a + b + c)}{2} = pr.

Например, если полупериметр равен 12 см, а радиус вписанной окружности — 2 см:

S = 12 · 2 = 24 см2.

Для прямоугольного треугольника также выполняется соотношение:

r=a+b−c2.r = \frac{a + b — c}{2}.

Из него следует:

p=c+r.p = c + r.

Поэтому, если известны гипотенуза и радиус вписанной окружности, площадь можно найти по формуле:

S=r(c+r).S = r(c + r).

Например, если c = 10 см, а r = 2 см:

S = 2 · (10 + 2) = 24 см2.

Площадь прямоугольного треугольника инфо
Скачать

Задачи и ответы по теме «Площадь прямоугольного треугольника»

Попробуйте сначала решить задачи самостоятельно. Перед вычислениями определите, какие элементы треугольника известны, и выберите формулу, в которой они используются.

Задача 1

Катеты прямоугольного треугольника равны 9 см и 12 см. Найдите его площадь.

Решение и ответ к задаче 1

Оба катета известны, поэтому используем формулу:

S = ab / 2.

Подставим значения:

S = 9 · 12 / 2 = 54 см2.

Ответ: 54 см2

Задача 2

Гипотенуза прямоугольного треугольника равна 15 см, а один из катетов — 9 см. Найдите площадь треугольника.

Решение и ответ к задаче 2

Сначала найдем второй катет по теореме Пифагора:

Подставим значения:

Теперь найдем площадь через два катета:

S = 9 · 12 / 2 = 54 см2.

Ответ: 54 см2

Задача 3

Гипотенуза прямоугольного треугольника равна 20 см, а высота, проведенная к ней, — 7,2 см. Найдите площадь треугольника.

Решение и ответ к задаче 3

Используем формулу площади через гипотенузу и проведенную к ней высоту:

S = chc / 2.

Подставим значения:

S = 20 · 7,2 / 2 = 72 см2.

Ответ: 72 см2

Задача 4

Гипотенуза прямоугольного треугольника равна 8 см, а один из его острых углов — 30°. Найдите площадь треугольника.

Решение и ответ к задаче 4

Используем формулу площади через гипотенузу и острый угол:

Известно, что:

sin 30° = 1/2,

cos 30° = √3/2.

Подставим значения:

Ответ: 8√3 см2

Задача 5

Гипотенуза прямоугольного треугольника равна 13 см, а радиус вписанной окружности — 2 см. Найдите площадь треугольника.

Решение и ответ к задаче 5

Для прямоугольного треугольника полупериметр можно найти по формуле:

p = c + r.

Подставим известные значения:

p = 13 + 2 = 15 см.

Теперь используем формулу площади через полупериметр и радиус вписанной окружности:

S = pr.

Получаем:

S = 15 · 2 = 30 см2.

Ответ: 30 см2

Популярные вопросы и ответы

Отвечает Алексей Смирнов, учитель математики и физики, репетитор по подготовке к ЕГЭ по математике и физике:

Можно ли найти площадь прямоугольного треугольника по формулам для произвольного треугольника?

Да. Прямоугольный треугольник подчиняется тем же общим формулам, что и любой другой.
 
Например, его площадь можно найти как половину произведения основания на проведенную к нему высоту. Особенность прямоугольного треугольника в том, что его катеты уже перпендикулярны друг другу, поэтому один из них можно принять за основание, а второй — за высоту. Так из общей формулы получается более простая: S = ab / 2.

Можно использовать и другие общие формулы площади треугольника, если известны необходимые для них элементы.

Почему тему по геометрии «Площадь прямоугольного треугольника» изучают в 7–9 классах?

Эта тема объединяет знания, которые школьники получают постепенно. В 7 классе они знакомятся с прямоугольным треугольником, его элементами и свойствами. В 8 классе изучают площади фигур, теорему Пифагора и тригонометрические функции острого угла прямоугольного треугольника. В 9 классе эти знания используют при решении треугольников и изучении тригонометрических формул площади. Поэтому способы вычисления площади прямоугольного треугольника постепенно усложняются.

Согласно федеральной рабочей программе по математике, знания о прямоугольном треугольнике, его площади, теореме Пифагора и тригонометрических соотношениях последовательно формируются и применяются в курсе геометрии 7–9 классов. 2

В каких заданиях ОГЭ и ЕГЭ по математике нужно находить площадь прямоугольного треугольника?

На экзаменах площадь прямоугольного треугольника может понадобиться в геометрических задачах, где нужно работать со сторонами, высотами, углами и другими элементами фигуры. При этом ее не всегда просят найти напрямую. Площадь может быть промежуточной величиной, необходимой для дальнейшего решения.

Например, сначала может потребоваться найти неизвестный катет по теореме Пифагора или выразить сторону через синус, косинус или тангенс, а уже затем вычислить площадь. Поэтому важно не только помнить формулы, но и уметь выбирать способ решения по тем данным, которые приведены в условии.

Задачи, при решении которых используются свойства прямоугольного треугольника и формулы площади, представлены в экзаменационных материалах и открытых банках заданий ФИПИ. 3

5 тем по геометрии, которые помогут лучше разобраться в свойствах треугольника

Материал подготовлен в соответствии с официальными документами и рекомендациями.

1. Министерство просвещения России. Федеральный перечень учебников. URL: https://fpu.edu.ru/ 

  • Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б. «Математика. Геометрия. 7–9 классы. Базовый уровень»
  • Мерзляк А.Г., Полонский В.Б., Якир М.С. «Математика. Геометрия. 7 класс. Базовый уровень»
  • Мерзляк А.Г., Полонский В.Б., Якир М.С. «Математика. Геометрия. 8 класс. Базовый уровень»
  • Мерзляк А.Г., Полонский В.Б., Якир М.С. «Математика. Геометрия. 9 класс. Базовый уровень»
  • Смирнов В.А., Смирнова И.М. «Геометрия. 7 класс. Базовый уровень»
  • Смирнов В.А., Смирнова И.М. «Геометрия. 8 класс. Базовый уровень»
  • Смирнов В.А., Смирнова И.М. «Геометрия. 9 класс. Базовый уровень»

2. Министерство просвещения России. Федеральная рабочая программа по учебному предмету «Математика». URL: https://static.edsoo.ru/projects/fop/index.html#/sections/200215
3. Федеральный институт педагогических измерений. Открытый банк заданий ОГЭ и ЕГЭ по математике, демоверсии, методические рекомендации для учителей. URL: https://fipi.ru/

КП
Реклама О проекте