Премия Рунета-2020
Россия
Москва
+29°
Boom metrics
Наука8 июня 2024 17:01

Ученые раскрыли непристойную тайну математики: Блогеры спорят до хрипа, простые люди испуганы

Математик Плэйт опубликовал сумму всех цифр и спровоцировал скандал
Математический парадокс называют секретом математики, который тщательнее всего охраняется от посторонних глаз.

Математический парадокс называют секретом математики, который тщательнее всего охраняется от посторонних глаз.

Фото: Shutterstock.

Мы решили сложить все натуральные числа: 1+2+3+4… и так до бесконечности. Что получим в итоге? Конечно, бесконечность! Нет, -1/12 (минус одну двенадцатую), говорит высокая наука. И это действительно выносит мозг.

Странный результат получен математиком Шринивасом Рамануджаном еще в начале ХХ века, и когда гений решил его обнародовать, то всерьез боялся, что его упекут в дурку. Профессор Эдвард Френкель назвал парадокс «секретом математики, который тщательнее всего охраняется от посторонних глаз». И, пока посторонние глаза не зыркали, все было хорошо. Но недавно группа очень известных математиков вынесла скелет из шкафа на просторы социальных сетей. И теперь интернет бурлит. Стороны унижают друг друга, насколько позволяет врожденная интеллигентность, блогеры разделились на два лагеря и без сантиментов фонтанируют в оппонентов помоями, в комментариях ад.

Так что на самом деле? Попробуем разобраться.

ВСЮДУ МЕРЕЩАТСЯ ТРЕУГОЛЬНИКИ

Еще Пифагор с учениками заметили занятную штуку. Давайте складывать натуральные числа последовательно и на каждом этапе смотреть, что получится. Итак, 1+2=3, 3+3=6, 6+4=10, и так далее, и особенность всех этих чисел в том, что они треугольные. То есть, представив числа в виде точек или камешков, мы каждую «кучку чисел» можем сложить так, что получится равносторонний треугольник.

«Это неспроста», решили склонные к мистике греки. Не иначе, треугольник есть тайная фигура Вселенной, которая прячется за числами. На том и порешили.

К XVII веку математики всерьез озадачились теорией числовых рядов. Стало понятно, что каждую функцию (а у нас именно функция, ведь мы постоянно прибавляем единицу, то есть не от бадлы написали этот ряд, а по некоему правилу), даже очень причудливую, можно представить как сумму других функций, простых и элементарных. Точного сходства вы не получите, но, если постараться, можно бесконечно приближаться к реальности, в итоге довольно быстро получив приемлемый результат.

Цель тут была сугубо практическая. Народы устремились в море. В море – приливы. Надо было точно предсказывать силу приливов. Если просто стоять в бухте, и измерять высоту воды, может показаться, никакой закономерности нет. Но мы-то знаем, что в основе явления лежит тяготение Луны и Солнца. То и другое легко описывается простыми гармоническими функциями. А вот сумма этих простых функций уже выглядит причудливой. Ага, это ли не ключ! Значит, хаос можно свести к простоте.

В результате появились вычислительные машины, где вращались колесики (электричества-то не было), а перо на бумаге чертило высоту прилива. Жан-Батист Фурье придумал преобразование (названное его именем). И сегодня, когда вы слушаете музыку из компьютерных колонок или в наушниках – знайте: реальный, живой звук преобразован в «цифру» с помощью формул Фурье, а потом «цифра» – назад в звук. Колесики арифмометров начала XIX века и блютус – казалось бы, какая связь? И, кстати, теперь вы понимаете, почему цифровая музыка никогда не даст полного тождества со звуками реальных инструментов и голосов. Аудиофилы, скупающие виниловые «вертушки», правы.

ОБУЗДАТЬ БЕСКОНЕЧНОСТЬ

Но вернемся к рядам. Стало сразу понятно (а интуитивно это и так понятно), что ряды чисел могут сходиться к какому-то значению, а могут улетать в бесконечность. Такие, улетающие ряды назвали «расходящимися» (на мой взгляд, неудачно), и наша последовательность 1+2+3… и есть расходящийся ряд. Во всяком случае, великий Леонард Эйлер еще в XVIII веке решил именно так, и… это так, потому что мы берем «край» последовательности, прибавляем единицу, продолжаем ее, и так без конца. Края-то и нет.

Но на практике иногда (на самом деле часто) требуется присвоить сумме таких рядов хоть какое-то значение. Инженеры приставали к математикам, и те не подкачали.

В XIX веке Эрнест Чезаро задался вопросом, какова сумма ряда 1-1+1-1+1… и так до бесконечности. Понятно, что на самом деле у ряда нет суммы. Все зависит от того, где ты его оборвешь. У тебя получится или 0, или 1. Но что, если обрывать его очень много раз, и записывать результат? Интуитивно понятно, что у тебя получится равное число единиц и нулей, а среднее – одна вторая. Вот Чезаро и постулировал, что сумма (со всеми оговорками, в том числе, что это не вполне сумма) такого ряда – 0,5.

Тогда же Нильс Абель проделал то же самое с более замысловатым рядом 1-2+3-4+5… и получил одну четвертую.

Здесь, как вы понимаете, рукой подать до попытки просуммировать все натуральные числа. Но не все так просто. Ряды Чезаро и Абеля колеблющиеся. Видите, плюс сменяется на минус? С этим работать можно, в конце концов, мы имеем дело с волной (скорее со ступеньками), а волны что в океане, что в математике науке вроде бы поддаются. Интересующий же нас ряд расходится (улетает в бесконечность) без оговорок.

ОШЕЛОМЛЯЮЩИЙ РЕЗУЛЬТАТ

В 1913 году математик-самоучка Шринивас Рамануджан делает в блокноте пометку «1+2+3… = -1/12», никак не комментируя свой результат (что для него было обычно). Сегодня говорят, что к такому же результату пришел и Леонард Эйлер в XVIII веке, только публиковать не стал – но прямых записей на этот счет в бумагах не нашли.

Решив, что это… странно, и страдая комплексом самозванца, Рамануджан пишет математику Годфри Харди, который тогда считался ого-го и авторитетом всей науки. Именно в этом письме индус предполагает, что его упекут в психушку, но в итоге они с Харди написали совместную работу, где все и обосновали.

Но как, и что такое «обосновали»?

Выше мы недаром так много говорили о приливах и о том, как хаотичное и сложное сделать простым. Он взял формулу Эйлера-Маклорена (найдена независимо упомянутым Леонардом Эйлером и Колином Маклореном в 1730-е годы). В дебри не полезем (формула не так, чтобы проста), но скажем, что она позволяет как бы сглаживать ряды, состоящие из отдельных чисел-точек (а у нас именно так), и тем самым находить сумму таких рядов. Индус модифицировал формулу, применил к нашей задаче, и получил то, что получил.

Сегодня научпоп-блогеры предлагают другое доказательство, хотя на самом деле оно такое же, но без формул. Собственно, вот нашумевшее «доказательство» от знаменитого канала Numberphile (его ведут лучшие математики мира, и там миллионы подписчиков, но ребята частенько подтрунивают над аудиторией).

Итак, пусть искомая сумма 1+2+3+…=S. Искать эту S, мы, однако, будем не в лоб. Умный в гору не пойдет.

Сначала вспомним, 1-2+3-4…= ¼. «Ряд Абеля», восклицает внимательный читатель. Да, это оно. Назовем это S*.

А теперь вычтем из ряда 1+2+3+4… ряд Абеля. Мы получим

1+2+3+4…

-(1-2+3-4…)

причудливый ряд 0+4+0+8+0+12… Закономерность улавливаете? Вынесем 4 за скобки:

4(1+2+3+4+5…)

Дальше – задачка для второго класса средней школы. Если S-S*=4S, а S*, как мы помним, это ¼, то S=-1/12. Вы еще тут? Мы только что доказали невероятную штуку, если что.

ОНИ МОШЕННИКИ!

Ужас и срам, который начался в соцсетях после публикации этого, давно известного, результата, показывает, что скелет в шкафу трогать было нельзя.

Хотя «доказательство», приведенное выше, опубликовал на канале известный ученый Фил Плэйт, не менее известный физик Грег Гбур отреагировал очень жестко: это позор и очковтирательство. Но вчитаемся в суть претензии. «Люди предполагают, что математика — это какое-то волшебство, которое могут понять только сверхразумные ученые. Демонстрация безумного результата только усиливает эту точку зрения и, на мой взгляд, оказывает математике плохую услугу», написал он. То есть на самом деле он не сказал, что «доказательство» неверно, и вообще никто не решился так заявить. Он просто отругал Плэйта с компанией за то, что тайну математики непосвященным показали.

Забавно, что математика сохраняет некую элитарность. Так, ученик Пифагора, раскрывший некоторые тайны его школы, жестоко за это поплатился – его тихонько утопили, пока он плавал в море. С тех пор, видимо, и повелось, что непосвященным в храм математики соваться негоже. Физики более демократичны. Эйнштейн вон язык показывал. А где вы видели математика с высунутым языком?

ТАК ЭТО ПРАВИЛЬНОЕ ДОКАЗАТЕЛЬСТВО ИЛИ НЕТ?

Вы уже все поняли сами. «Доказательство» базируется на результате, что ряд Абеля равен ¼, а это, в свою очередь, выводится из ряда Чезаро (1-1+1-1+1…=1/2). Но мы помним, что результат Чезаро – это НЕ ВПОЛНЕ ½. Мы можем получить такой результат, если будем очень долго «бросать кости», то есть пробовать суммировать этот ряд, получая то 0, то 1, а затем усредним до ½. Здесь-то собака и порылась.

Мы можем применить результат Чезаро для некоторых практических задач. Но мы знаем, что его ряд на самом деле не имеет суммы.

Точно так же нет суммы и у ряда 1+2+3…. Остановившись в любой точке, мы получим некое число. Продолжив, и остановившись потом, мы обретем еще большее чисто. Чтобы найти сумму, требуется бесконечное время. А значит, суммы не существует.

ФИЗИКИ РАДЫ

Тем не менее, нашлось несколько областей физики, где этот результат очень даже пригодился. Так, в теории струн требуется найти наименьшую энергию, которой может обладать струна. Поскольку там все завязано на другие измерения, число которых бесконечно, бесконечны и компоненты, из которых складывается энергия струны. Такое в ряд Фурье не разложишь. Зато, если считать «сумму бесконечности» минус одной двенадцатой, все сходится.

Удачно получилось и с объяснением эффекта Казимира. Квантовая механика говорит, что в абсолютно пустом пространстве есть, однако, некие силы, которые получаются «из ничего» потому, что энергия вакуума не может быть определена (ноль – это определенность, значит, энергия не равна нулю). Удивительно, но «энергию пустоты» нашли экспериментально: две пластины в полном вакууме притягиваются не потому, что электрически заряжены, или их тянет друг другу гравитацией. Это зримое воплощение энергии вакуума. Так вот, рассчитать «силу Казимира» также удалось только с помощью этого «безумного» равенства.

Итак, физики считают, что бесконечность равна -1/12, хотя это не так. В свое время пресс-служба МФТИ объяснила этот парадокс тем, что многие пограничные вещи в физике известны неточно. «Так, оценки плотности энергии вакуума на основе квантовой теории поля и на основе астрофизических наблюдений различаются более чем на 120 порядков. То есть в 10^120 степени раз», а значит, отчего бы и не округлить. Мне кажется, это не вполне удачное объяснение. Дело не в неточности, а в специфичности задач, которые решает высокая физика. Если вас попросят прикинуть, сколько яблок в громадной куче, и вы ляпнете «тяготеет к минус 1/12», вы будете очень сильно неправы.

Тем не менее, в высоком смысле сумма натуральной бесконечности в самом деле тяготеет (так, что ли, выразиться) к неочевидной, еще и отрицательной, дроби. Пусть «доказательство» Плэйта грубоватое (зато наглядное): доказательство Рамануджана намного лучше, но там и мнимые числа, и регуляризация дзета-функции (нам не нужно знать, что это), но результат-то такой же. Вот так устроена природа.

Лично мне еще более поразительным кажется открытие Пифагором треугольных чисел, и как не вспомнить, что группа физиков из США уже несколько лет топит за странную идею. Дескать, во Вселенной существует лишь один кристалл в 28-м, кажется, измерении, а его проекция на наш трехмерный мир дает тетраэдр (советский «треугольный» пакет молока). Отсюда и вся магия чисел и фигур. А может! Тогда что мы страдаем с бесконечными суммами. Мир-то все равно иллюзорен. Есть только один кристалл, и больше ничего.