Область допустимых значений (ОДЗ)

Попробуйте разделить на калькуляторе 5 на 0 или извлечь квадратный корень из -9. Вместо ответа на экране появится ошибка. Калькулятор при этом исправен, он просто сообщает, что у такого действия нет результата среди действительных чисел. В алгебре те же запреты действуют и для выражений с переменными. Набор значений переменной, при которых выражение имеет смысл, называют областью допустимых значений, или сокращенно ОДЗ.

Вместе с экспертом разберем, какие ограничения накладывают дроби, корни, степени, логарифмы, тангенс и котангенс, научимся находить ОДЗ по шагам и выясним, почему эта проверка часто спасает решение уравнения или неравенства от лишнего ответа.

Что такое область допустимых значений в алгебре

Подставим в выражение $\frac{12}{x}$ несколько чисел. При x = 3 получаем 4, при x = -2 получаем -6, а при x = 0 вычислить не удастся, потому что делить на ноль нельзя. Значит, ноль для этого выражения недопустим, а любое другое число подходит.

Значения переменных, при которых выражение имеет смысл, называют допустимыми значениями переменных. Все такие значения вместе образуют область допустимых значений (ОДЗ).

Выражение имеет смысл, если каждое действие в нем выполнимо и в результате получается действительное число. В школьной алгебре ограничения возникают в нескольких ситуациях, если в выражении есть:

• деление на выражение с переменной;
• корень четной степени;
• степень с нулевым, отрицательным или дробным показателем;
• логарифм;
• тангенс или котангенс.

Если ничего из этого нет, как, например, в многочлене 3x² — 5x + 1, то вместо переменной можно подставить любое действительное число, и ОДЗ совпадает со всей числовой прямой: x ∈ R.

ОДЗ записывают с помощью неравенств или числовых промежутков. Для выражения $\frac{12}{x}$ подойдут обе формы: x ≠ 0 или x ∈ (-∞; 0) ∪ (0; +∞).

Понятие области допустимых значений и основные правила ее нахождения рассматриваются в школьных учебниках алгебры, включенных в Федеральный перечень учебников. ¹

Полезная информация об области допустимых значений

Основные ограничения при нахождении ОДЗ можно свести к нескольким правилам. Мы собрали их в таблицу, чтобы было удобно определять допустимые значения переменной для разных выражений. Буквами A и B здесь обозначены выражения с переменной.

Область допустимых значений	Условие допустимости
Определение ОДЗ	Множество значений переменной, при которых выражение имеет смысл
Дробь: $\frac{A}{B}$	B ≠ 0
Корень четной степени: $\sqrt{A},\ \sqrt[4]{A}$ и другие	A ≥ 0
Корень нечетной степени: $\sqrt[3]{A},\ \sqrt[5]{A}$ и другие	Ограничений нет
Степень с нулевым или целым отрицательным показателем: A0, A-n	A ≠ 0, где n ∈ N
Степень с дробным показателем: Am/n	A ≥ 0, если m/n > 0  A > 0, если m/n < 0
Логарифм logAB	A > 0, A ≠ 1, B > 0
Тангенс tg A	A ≠ π/2 + πn, n ∈ Z
Котангенс ctg A	A ≠ πn, n ∈ Z
ОДЗ уравнения или неравенства	Пересечение ОДЗ всех выражений, которые в него входят

ОДЗ дроби

На ноль делить нельзя — это правило знакомо еще с начальной школы. Поэтому главное ограничение для дроби связано со знаменателем: он не должен равняться нулю. Числитель при этом может быть равен нулю.

Чтобы найти ОДЗ дроби $\frac{A}{B}$, нужно:

1. Приравнять знаменатель к нулю и решить уравнение B = 0.
2. Записать ОДЗ: все действительные числа, кроме найденных значений переменной, если других ограничений нет.

Такого алгоритма достаточно, если числитель и знаменатель являются многочленами. Если же в дроби встречаются корни, логарифмы или другие выражения с ограничениями, их тоже необходимо учитывать.

Примеры

Рассмотрим несколько примеров с разными знаменателями. Выясним, какие значения переменной нужно исключить из ОДЗ и в каких случаях ограничений вообще не возникает.

Пример 1

Найдем ОДЗ выражения $\frac{7}{x-4}$.

Знаменатель обращается в ноль при x — 4 = 0, то есть при x = 4.

Ответ: x ≠ 4, или x ∈ (-∞; 4) ∪ (4; +∞)

Пример 2

Найдем ОДЗ выражения $\frac{x+1}{x^2-9}$.

Знаменатель обращается в ноль при x² — 9 = 0.

Решим уравнение x² — 9 = 0 → x² = 9 → x = 3 или x = -3.

Ответ: x ≠ ±3, или x ∈ (-∞; -3) ∪ (-3; 3) ∪ (3; +∞)

Пример 3

Найдем ОДЗ выражения $\frac{5x}{x^2+4}$.

Знаменатель обращается в ноль при x² + 4 = 0.

Уравнение x² + 4 = 0 равносильно x² = -4. Квадрат действительного числа не бывает отрицательным, поэтому корней нет, и знаменатель никогда не равен нулю.

Ответ: x ∈ R

ОДЗ корня

Ограничение для корня зависит от его показателя. Арифметический квадратный корень $\sqrt{a}$ существует только для неотрицательных чисел, ведь ни одно действительное число при возведении в квадрат не дает отрицательный результат. Так же устроены и все остальные корни четной степени: $\sqrt[4]{a},\ \sqrt[6]{a}$ и так далее.

Корень нечетной степени можно извлекать из любого числа. Например, $\sqrt[3]{-8}=-2$, так как (-2)³ = -8. Поэтому корень нечетной степени сам по себе ОДЗ не сужает.

Для корня четной степени $\sqrt[n]{A}$ условие такое: A ≥ 0.

Для корня нечетной степени $\sqrt[n]{A}$ограничений нет.

Обратите внимание, что подкоренное выражение может равняться нулю, потому что $\sqrt{0}$= 0. Именно поэтому в условии стоит нестрогий знак ≥. Но если корень оказался в знаменателе, нулю он равняться уже не может, и условие становится строгим: A > 0.

Примеры

Посмотрим, как эти правила работают на практике. Сначала разберем простые случаи, а затем рассмотрим выражения, в которых корень стоит в знаменателе или для нахождения ОДЗ нужно решить квадратное неравенство.

Пример 1

Найдем ОДЗ выражения $\sqrt{2x-6}$.

2x — 6 ≥ 0 → 2x ≥ 6 → x ≥ 3.

Ответ: x ∈ [3; +∞)

Пример 2

Найдем ОДЗ выражения $\sqrt[3]{x-10}$.

Корень третьей степени нечетный, поэтому ограничений нет.

Ответ: x ∈ R

Пример 3

Найдем ОДЗ выражения $\frac{1}{\sqrt{5-x}}$.

Корень стоит в знаменателе, значит, подкоренное выражение строго больше нуля: 5 — x > 0 → x < 5.

Ответ: x ∈ (-∞; 5)

Пример 4

Найдем ОДЗ выражения $\sqrt{x^2-4x}$.

Нужно решить квадратное неравенство x² — 4x ≥ 0, или x(x — 4) ≥ 0. Корни левой части x = 0 и x = 4. Ветви параболы y = x² — 4x направлены вверх, поэтому выражение неотрицательно левее нуля, правее четырех и в самих корнях.

Ответ: x ∈ (-∞; 0] ∪ [4; +∞)

ОДЗ степени с рациональным показателем

Степень с натуральным показателем можно вычислить при любом действительном значении основания. Например, выражения x², x⁵ и x¹⁰⁰ определены для всех x. Ограничения появляются, когда показатель степени равен нулю, является отрицательным целым или дробным числом.

Нулевой и целый отрицательный показатель. По определению a⁰ = 1 и $a^{-n}=\frac{1}{a^n}$, где n — натуральное число. В обоих случаях основание не должно равняться нулю. Выражение 0⁰ в школьной алгебре не определено, а при отрицательном показателе степень превращается в дробь, знаменатель которой не может быть равен нулю. Поэтому для таких степеней условие одно: a ≠ 0.

Дробный показатель. Степень $a^{\frac{m}{n}}$, где m — целое число, а n — натуральное число больше единицы, определяют через корень: $a^{\frac{m}{n}}=\sqrt[n]{a^m}$.

В школьном курсе для степеней с нецелым дробным показателем используют неотрицательные основания. Если показатель положительный, основание может равняться нулю. Если показатель отрицательный, ноль исключают, поскольку отрицательная степень предполагает деление.

При этом важно различать корни и дробные степени. Например, кубический корень из −8 существует и равен −2. Однако для дробной степени отрицательное основание в школьном курсе не допускается. Это позволяет избежать противоречий при применении свойств степеней.

Таким образом, при нахождении ОДЗ степени используют следующие правила.

• Натуральный показатель: дополнительных ограничений нет.
• Нулевой или целый отрицательный показатель: основание не равно нулю.
• Положительный дробный показатель: основание больше или равно нулю.
• Отрицательный дробный показатель: основание строго больше нуля.

Примеры

Рассмотрим три примера с разными показателями степени. В каждом случае определим, какие значения переменной допустимы.

Пример 1

Найдем ОДЗ выражения: $(x-2)^{-3}$.

Показатель целый отрицательный, поэтому основание не должно равняться нулю: x — 2 ≠ 0 → x ≠ 2.

Ответ: x ∈ (-∞; 2) ∪ (2; +∞)

Пример 2

Найдем ОДЗ выражения $(x+5)^{\frac{1}{2}}$.

Показатель дробный и положительный, поэтому основание должно быть неотрицательным: x + 5 ≥ 0 → x ≥ -5.

Ответ: x ∈ [-5; +∞)

Пример 3

Найдем ОДЗ выражения $(3-x)^{-\frac{2}{3}}$.

Показатель дробный и отрицательный, поэтому основание должно быть строго положительным: 3 — x > 0 → x < 3.

Ответ: x ∈ (-∞; 3)

ОДЗ логарифма

Логарифм $\log_a b$ показывает, в какую степень нужно возвести число a, чтобы получить b. Но логарифм определен не для любых чисел. Чтобы выражение имело смысл, должны выполняться три условия

1. b > 0. Выражение под знаком логарифма должно быть строго положительным. Это связано с тем, что положительное основание в любой действительной степени дает положительный результат.
2. a > 0. Основание логарифма должно быть положительным.
3. a ≠ 1. Основание не может равняться единице, поскольку единица в любой степени остается единицей.

Если основание логарифма задано допустимым числом, например 3 или 10, достаточно проверить выражение под знаком логарифма. Если переменная входит в основание, необходимо учитывать и ограничения на него.

Примеры

Рассмотрим несколько примеров. Сначала найдем ОДЗ логарифмов с числовым основанием, а затем разберем случай, когда переменная находится и в основании, и под знаком логарифма.

Пример 1

Найдем ОДЗ выражения: $\log_3(x+2)$.

Основание равно 3, поэтому достаточно потребовать, чтобы выражение под знаком логарифма было положительным: x + 2 > 0 → x > -2.

Ответ: x ∈ (-2; +∞)

Пример 2

Найдем ОДЗ выражения: $\lg(4-x^2)$.

Десятичный логарифм определен только для положительных чисел. Поэтому решим неравенство: 4 — x² > 0 → x² < 4 → -2 < x < 2.

Ответ: x ∈ (-2; 2)

Пример 3

Найдем ОДЗ выражения: $\log_x(6-x)$.

Переменная есть и под знаком логарифма, и в основании, поэтому записываем три условия:

Первое дает x < 6. Учитывая все условия вместе, получаем 0 < x < 6, причем x ≠ 1.

Ответ: x ∈ (0; 1) ∪ (1; 6)

ОДЗ тангенса и котангенса

Синус и косинус определены при любом действительном значении аргумента. А вот тангенс и котангенс имеют ограничения, поскольку выражаются через дроби:

Знаменатель дроби не должен равняться нулю, поэтому для каждой функции существуют запрещенные значения аргумента.

• Тангенс существует при cos x ≠ 0. Поэтому $x\ne\frac{\pi}{2}+\pi n$, где n ∈ Z.
• Котангенс существует при sin x ≠ 0. Поэтому $x\ne\pi n$, где n ∈ Z.

На единичной окружности косинус равен нулю при углах 90° и 270°, а синус — при 0° и 180°. Эти значения повторяются через каждые 180°, или π радиан. Поэтому в условиях появляется целое число n, которое позволяет записать все запрещенные значения.

Если вместо x под знаком тангенса или котангенса стоит выражение с переменной, ограничение записывают для всего аргумента.

Примеры

Рассмотрим три примера. Сначала найдем ОДЗ тангенса и котангенса с выражением в аргументе, а затем разберем случай, когда тангенс находится в знаменателе дроби.

Пример 1

Найдем ОДЗ выражения tg 2x.

Тангенс не определен, когда его аргумент равен $x\ne\frac{\pi}{2}+\pi n.$ Поэтому: $2x\ne\frac{\pi}{2}+\pi n$ → $x\ne\frac{\pi}{4}+\frac{\pi n}{2}$ , n ∈ Z.

Ответ: $x\ne\frac{\pi}{3}+\pi n$, n ∈ Z

Пример 2

Найдем ОДЗ выражения $\operatorname{ctg}\left(x-\frac{\pi}{3}\right)$.

Котангенс не определен, когда его аргумент равен πn. Запишем ограничение: $x-\frac{\pi}{3}\ne\pi n$ → $x\ne\frac{\pi}{3}+\pi n$, n ∈ Z.

Ответ: $x\ne\frac{\pi}{3}+\pi n$, n ∈ Z

Пример 3

Найдем ОДЗ выражения $\frac{1}{\operatorname{tg}x}$.

Здесь необходимо учитывать два условия. Во-первых, тангенс должен существовать, поэтому:

$x\ne\frac{\pi}{2}+\pi n.$

Во-вторых, он находится в знаменателе и не должен равняться нулю:

$x\ne\pi n.$

Оба условия вместе исключают все целые кратные π/2.

Ответ: $x\ne\frac{\pi n}{2}$, n ∈ Z

Обратите внимание, что выражения $\frac{1}{\operatorname{tg}x}$ и ctg x равны при всех значениях, где оба имеют смысл, но их ОДЗ различаются. Например, при $x=\frac{\pi}{2}$ котангенс существует и равен нулю, а выражение $\frac{1}{\operatorname{tg}x}$ не определено.

Как найти ОДЗ

Если выражение содержит сразу несколько ограничений, их необходимо учитывать одновременно. Чтобы ничего не пропустить, удобно действовать по алгоритму.

1. Найти все выражения, которые могут накладывать ограничения: знаменатели, корни четной степени, логарифмы, степени с дробными или отрицательными показателями, тангенсы и котангенсы.
2. Записать условие допустимости для каждого из них.
3. Решить полученные уравнения и неравенства. Чаще всего это простые уравнения, линейные неравенства или квадратные.
4. Найти общую часть решений, то есть значения переменной, которые удовлетворяют всем условиям одновременно. Для наглядности их можно отметить на координатной прямой.
5. Записать ОДЗ с помощью неравенств или числовых промежутков.

Примеры

Рассмотрим два примера, в которых необходимо учитывать сразу несколько ограничений.

Пример 1

Найдем ОДЗ выражения:

Подкоренное выражение должно быть неотрицательным:

x + 3 ≥ 0 → x ≥ -3.

Знаменатель не должен равняться нулю:

x — 1 ≠ 0 → x ≠ 1.

Оба условия выполняются при x ≥ -3, кроме x = 1.

Ответ: x ∈ [-3; 1) ∪ (1; +∞)

Пример 2

Найдем ОДЗ выражения:

Здесь необходимо учесть три ограничения:

• Логарифм: x — 1 > 0 → x > 1.
• Дробь: x — 4 ≠ 0 → x ≠ 4.
• Корень: 7 — x ≥ 0 → x ≤ 7.

Общая часть решений — числа больше 1 и не больше 7, кроме 4.

Ответ: x ∈ (1; 4) ∪ (4; 7]

ОДЗ в уравнениях и неравенствах

ОДЗ уравнения или неравенства — это значения переменной, при которых имеют смысл обе его части. Учитывать ограничения особенно важно при преобразованиях: некоторые из них могут приводить к появлению посторонних корней.

Например, решим рациональное уравнение:

Сначала найдем ОДЗ: x ≠ 1.

Умножим обе части на x — 1:

x² — 1 = 2x — 2,
(x — 1)² = 0,
x = 1.

Но найденное значение не входит в ОДЗ, поэтому уравнение не имеет решений.

При этом одного учета ОДЗ не всегда достаточно. Например, иррациональное уравнение $\sqrt{x+2}=x$ после возведения в квадрат дает два корня: x = 2 и x = -1. Оба входят в ОДЗ x ≥ -2, но при подстановке x = -1 равенство не выполняется. Поэтому найденные корни необходимо проверять.

При решении неравенств также нужно учитывать ОДЗ. Это касается рациональных, логарифмических и других неравенств.  

Например, решим неравенство:

Сначала найдем ОДЗ:

x — 3 > 0 → x > 3.

Поскольку основание логарифма больше единицы, получаем:

x — 3 < 4 → x < 7.

Учитывая ОДЗ, получаем окончательный ответ: x ∈ (3; 7).

Ответ: x ∈ (3; 7)  

Ошибки при нахождении ОДЗ

При нахождении ОДЗ школьники нередко допускают одни и те же ошибки. Разберем самые распространенные из них и выясним, как их избежать.

Путать строгий и нестрогий знак. Под корнем четной степени ноль допустим, поэтому используют знак ≥. Знаменатель не должен равняться нулю, а выражение под знаком логарифма должно быть строго положительным.

Искать ОДЗ после преобразований. Например, по формулам сокращенного умножения дробь $\frac{x^2-4}{x-2}$ можно сократить до x + 2, но только при x ≠ 2. После сокращения дроби ограничение исчезает из записи, хотя для исходного выражения оно остается. Поэтому ОДЗ нужно находить для исходного выражения.

Забывать про основание логарифма. Если переменная стоит в основании, помимо условия на выражение под знаком логарифма нужны еще два: основание должно быть больше нуля и не равно единице.

Неаккуратно применять свойства. Равенство $\lg(x^2)=2\lg x$ верно только при x > 0, хотя выражение $\lg(x^2)$ имеет смысл при любом x ≠ 0. Правильная запись для всех допустимых значений: $\lg(x^2)=2\lg|x|$. По той же причине $\sqrt{x^2}$равен не x, а модулю числа x, то есть |x|.

Запрещать нулевой числитель. Если числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю, дробь просто равна нулю. Такое значение переменной допустимо. Однако если числитель содержит корни, логарифмы или другие выражения с ограничениями, их тоже нужно учитывать.

Объединять условия вместо пересечения. ОДЗ состоит из значений переменной, которые удовлетворяют всем условиям одновременно, а не хотя бы одному из них.

Задачи и ответы по теме «Область допустимых значений»

Закрепим материал на практике. Попробуйте решить задачи самостоятельно, а потом сверьтесь с подробными решениями.

Задача 1

Найдите область допустимых значений выражения:

Задача 2

Решите уравнение:

Популярные вопросы и ответы

Отвечает Алексей Смирнов, учитель математики и физики, репетитор по подготовке к ЕГЭ по математике и физике:

5 тем по алгебре, которые помогут уверенно решать уравнения

• Линейные уравнения: как решаются самые простые уравнения
• Квадратные уравнения: какими бывают квадратные уравнения и какими способами их решают
• Дискриминант: как по одному числу узнать, сколько корней у квадратного уравнения
• Теорема Виета: какая связь между корнями квадратного уравнения и его коэффициентами
• Системы линейных уравнений: учимся находить сразу несколько неизвестных

Источники

Материал подготовлен на основании официальных документов и рекомендаций:

1. Министерство просвещения России. Федеральный перечень учебников. URL: https://fpu.edu.ru/ 

• Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И., Суворова С.Б. «Алгебра. 8 класс. Базовый уровень»;
• Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И., Суворова С.Б. «Алгебра. 9 класс. Базовый уровень»;
• Алимов Ш. А., Колягин Ю. М., Ткачева М. В. и др. «Алгебра и начала математического анализа. 10-11 классы. Базовый и углубленный уровни».

2. Министерство просвещения России. Федеральная рабочая программа по учебному предмету «Математика». URL: https://static.edsoo.ru/projects/fop/index.html#/sections/200215
3. Федеральный институт педагогических измерений. Открытый банк заданий ОГЭ и ЕГЭ по математике. Методические рекомендации для учителей. URL: https://fipi.ru/